Введение
Числа с определенным свойством, включающим рекурсивное суммирование. В теории чисел счастливое число — это число, которое в конечном итоге достигает 1, когда заменяется суммой квадратов его цифр. Например, 13 — счастливое число, потому что , а 4 — не счастливое число, поскольку последовательность, начинающаяся с и , в конечном итоге достигает , числа, с которого началась последовательность, и процесс продолжается в бесконечном цикле, не достигая 1. Число, которое не является счастливым, называется несчастливым или печальным. В более общем смысле, счастливое число — это натуральное число в заданной системе счисления, которое в конечном итоге достигает 1 при итеративном применении совершенной цифровой инвариантной функции. Происхождение счастливых чисел неясно. Счастливые числа стали известны Регу Алленби (британскому автору и старшему преподавателю чистой математики в Лидском университете) благодаря его дочери, которая узнала о них в школе. Однако предполагается, что они "могли возникнуть в России".
In number theory, a happy number is a number which eventually reaches 1 when replaced by the sum of the square of each digit. For instance, 13 is a happy number because , and On the other hand, 4 is not a happy number because the sequence starting with and eventually reaches , the number that started the sequence, and so the process continues in an infinite cycle without ever reaching 1. A number which is not happy is called sad or unhappy. More generally, a happy number is a natural number in a given number base that eventually reaches 1 when iterated over the perfect digital invariant function for
The origin of happy numbers is not clear. Happy numbers were brought to the attention of Reg Allenby (a British author and senior lecturer in pure mathematics at Leeds University) by his daughter, who had learned of them at school. However, they "may have originated in Russia" .
Естественная плотность счастливых чисел
При рассмотрении первых миллиона счастливых чисел, обнаруживается, что их естественная плотность составляет около 0,15. Возможно, удивительно, но счастливые числа не имеют асимптотической плотности. Верхняя плотность счастливых чисел превышает 0,18577, а нижняя плотность меньше 0,1138.
Счастливые базы
Счастливая система счисления — это система счисления, в которой каждое число является счастливым. Единственные счастливые целые системы счисления, меньшие 5e8, — это система счисления с основанием 2 и система счисления с основанием 4.
4 счастливых числа
Для основания 4, единственным положительным совершенным цифровым инвариантом является тривиальный совершенный цифровой инвариант 1, и других циклов нет. Поскольку все числа являются предпериодическими точками для этого преобразования, все числа сходятся к 1 и являются счастливыми. Следовательно, основание 4 является счастливым основанием.
Счастливые простые числа
Счастливое простое число – это число, которое является одновременно счастливым и простым. В отличие от счастливых чисел, перестановка цифр счастливого простого числа не обязательно создаст другое счастливое простое число. Например, хотя 19 является счастливым простым числом в десятичной системе, 91 = 13 × 7 не является простым (но всё равно является счастливым в десятичной системе). Все простые числа являются счастливыми в двоичной и четверичной системах, и, следовательно, существуют 4 счастливых простых числа, поскольку основание 2 и основание 4 – счастливые основания.