Кіріспе
Рекурсивті қосындыны қамтитын белгілі бір қасиеттері бар сандар. Сандар теориясында бақытты сан – әрбір цифрының квадратының қосындысымен алмастырылғанда 1-ге жететін сан. Мысалы, 13 бақытты сан, себебі , ал 4 бақытты сан емес, өйткені бастапқы тізбекпен және соңында бастапқы санға жететін тізбек шексіз циклмен жалғасады, бірақ ешқашан 1-ге жетпейді. Бақытты емес сан қайғылы немесе бақытсыз деп аталады. Жалпы алғанда, бақытты сан – берілген сандық базадағы натурал сан, ол толық сандық инвариант функциясын іштей қайталағанда 1-ге жетеді. Бақытты сандардың шығу тегі нақты емес. Бақытты сандарды Рег Алленбиге (британдық жазушы және Лидс университетінің таза математика бойынша аға оқытушысы) оның қызы мектепте үйренгеннен кейін хабарлады. Дегенмен, олар "Ресейде пайда болған болуы мүмкін".
In number theory, a happy number is a number which eventually reaches 1 when replaced by the sum of the square of each digit. For instance, 13 is a happy number because , and On the other hand, 4 is not a happy number because the sequence starting with and eventually reaches , the number that started the sequence, and so the process continues in an infinite cycle without ever reaching 1. A number which is not happy is called sad or unhappy. More generally, a happy number is a natural number in a given number base that eventually reaches 1 when iterated over the perfect digital invariant function for
The origin of happy numbers is not clear. Happy numbers were brought to the attention of Reg Allenby (a British author and senior lecturer in pure mathematics at Leeds University) by his daughter, who had learned of them at school. However, they "may have originated in Russia" .
B-бақытты сандардың табиғи тығыздығы
Алғашқы шамамен бір миллион бақытты санды қарап шыққанда, олардың шамамен 0,15-ке жуық табиғи тығыздығы бар екені көрінеді. Осыдан, күтпегендей, 10-дық бақытты сандардың асимптотикалық тығыздығы жоқ. Бақытты сандардың жоғарғы тығыздығы 0,18577-ден артық, ал төменгі тығыздығы 0,1138-ден кем.
Бақытты негіздер
Бақытты негіз – әрбір саны бақытты болатын сандар жүйесі. 5e8-ден кіші жалғыз бақытты бүтін сандар негізі 2 және 4 болып табылады.
4 бақытты сан
4-тік санау жүйесі үшін, жалғыз оң толық сандық инвариант - тривиалды толық сандық инвариант 1, және басқа циклдар жоқ. Барлық сандардың 4-тік санау жүйесінде алдын ала кезеңдік нүктелері болғандықтан, барлық сандар 1-ге жетеді және «бақытты» сандар болып табылады. Осыдан келіп, 4-тік санау жүйесі – бақытты санау жүйесі болып есептеледі.
Бақытты алғашқы сандар
Бақытты жай сан – бақытты да, жай сан болатын сан. Бақытты сандардан айырмашылығы, бақытты жай санның цифрларын орналастырудың ретін өзгерту міндетті түрде басқа бақытты жай санды тудырмайды. Мысалы, 19 – 10-дық санау жүйесінде бақытты жай сан, ал 91 = 13 × 7 – жай сан емес (бірақ ол да 10-дық санау жүйесінде бақытты). Барлық жай сандар 2-ші және 4-ші санау жүйесінде бақытты жай сандар болып табылады, себебі 2 және 4 – бақытты санау жүйелері.