Введение
безымянные числовые константы. Магическая константа или магическая сумма магического квадрата — это сумма чисел в любой строке, столбце или диагонали магического квадрата. Например, магический квадрат, показанный ниже, имеет магическую константу 15. Для нормального магического квадрата порядка n — то есть магического квадрата, содержащего числа 1, 2, ..., n2 — магическая константа равна . Для нормальных магических квадратов порядка n = 3, 4, 5, 6, 7 и 8 магические константы составляют: 15, 34, 65, 111, 175 и 260 (последовательность A006003 в OEIS). Например, нормальный квадрат 8 × 8 всегда будет равен 260 для каждой строки, столбца или диагонали. Нормальная магическая константа порядка n — это наибольшая магическая константа нормального магического квадрата, которая также является: треугольным числом 15 (решает диофантово уравнение 1=x2 = y3 + 16y + 16, где y делится на 4); квадратным числом 1 (решает диофантово уравнение 1=x2 = y3 + 4y, где y чётное); обобщённым пятиугольным числом 171535 (решает диофантово уравнение 1=x2 = y3 + 144y + 144, где y делится на 12); тетраэдрическим числом 2925. Обратите внимание, что 0 и 1 — единственные нормальные магические константы рационального порядка, которые также являются рациональными квадратами. Однако существует бесконечно много рациональных треугольных чисел, рациональных обобщённых пятиугольных чисел и рациональных тетраэдрических чисел, которые также являются магическими константами рационального порядка. Термин «магическая константа» или «магическая сумма» аналогично применяется к другим «магическим» фигурам, таким как магические звёзды и магические кубы. Числовые фигуры на треугольной сетке, разделённой на равные области полиамондов, содержащие равные суммы, дают магическую постоянную полиамонда.
The magic constant or magic sum of a magic square is the sum of numbers in any row, column, or diagonal of the magic square. For example, the magic square shown below has a magic constant of 15. For a normal magic square of order n – that is, a magic square which contains the numbers 1, 2, , n2 – the magic constant is
For normal magic squares of orders n = 3, 4, 5, 6, 7, and 8, the magic constants are, respectively: 15, 34, 65, 111, 175, and 260 (sequence A006003 in the OEIS). For example, a normal 8 × 8 square will always equate to 260 for each row, column, or diagonal. The normal magic constant of order n is The largest magic constant of normal magic square which is also a:
triangular number is 15 (solve the Diophantine equation 1=x2 = y3 + 16y + 16, where y is divisible by 4);
square number is 1 (solve the Diophantine equation 1=x2 = y3 + 4y, where y is even);
generalized pentagonal number is 171535 (solve the Diophantine equation 1=x2 = y3 + 144y + 144, where y is divisible by 12);
tetrahedral number is 2925. Note that 0 and 1 are the only normal magic constants of rational order which are also rational squares. However, there are infinitely many rational triangular numbers, rational generalized pentagonal numbers and rational tetrahedral numbers which are also magic constants of rational order. The term magic constant or magic sum is similarly applied to other "magic" figures such as magic stars and magic cubes. Number shapes on a triangular grid divided into equal polyiamond areas containing equal sums give polyiamond magic constant.
Волшебные звезды
Магическая константа нормальной магической звезды с n вершинами равна .
Серия "Магия"
В 2013 году Дирк Киннес обнаружил магический политоп серии. Количество уникальных последовательностей, формирующих магическую константу, теперь известно до .
Момент инерции
В модели масс значение в каждой ячейке определяет массу этой ячейки. Эта модель обладает двумя примечательными свойствами. Во-первых, она демонстрирует сбалансированность всех магических квадратов. Если такую модель подвесить за центральную ячейку, структура сохранит равновесие (исходя из того, что магические суммы строк и столбцов соответствуют массе, расположенной на одинаковом расстоянии). Второе свойство, которое можно вычислить, – это момент инерции. Суммирование индивидуальных моментов инерции (квадрат расстояния от центра, умноженный на значение ячейки) дает момент инерции магического квадрата, который зависит исключительно от порядка квадрата.