Введение

Математический метод

В математической области численного анализа сплайн-интерполяция — это форма интерполяции, при которой интерполянтом является специальный тип кусочно-полиномиальной функции, называемый сплайном. То есть, вместо того чтобы подгонять один многочлен высокой степени ко всем значениям сразу, сплайн-интерполяция подгоняет многочлены низкой степени к небольшим подмножествам значений, например, подгоняя девять кубических многочленов между каждой парой из десяти точек, вместо того чтобы подгонять один многочлен девятой степени ко всем точкам. Сплайн-интерполяция часто предпочтительнее полиномиальной интерполяции, поскольку ошибка интерполяции может быть сделана малой даже при использовании многочленов низкой степени для сплайна. Сплайн-интерполяция также позволяет избежать проблемы феномена Рунге, при котором могут возникать колебания между точками при интерполяции с использованием многочленов высокой степени.

Введение

Первоначально сплайном называли гибкие линейки, которые изгибались для прохождения через ряд предопределенных точек, или узлов. Они использовались для ручного создания технических чертежей для судостроения и строительства, как показано на рисунке. Мы хотим смоделировать подобные кривые, используя набор математических уравнений. Предположим, у нас есть последовательность узлов, через каждый последовательный участок между узлами и будет проходить кубический полином, соединяющий их. Таким образом, будет полиномов, первый из которых начинается в точке , а последний заканчивается в точке . Кривизна любой кривой определяется как

где и – первая и вторая производные по . Чтобы сплайн принял форму, минимизирующую изгиб (при условии прохождения через все узлы), мы определим как , так и непрерывными везде, включая узлы. Каждый последовательный полином должен иметь равные значения (равные y-координате соответствующей точки данных), производные и вторые производные в точках соединения – узлах, то есть

Это возможно только при использовании полиномов степени 3 (кубических полиномов) или выше. Классический подход – использование полиномов точно 3-й степени – кубических сплайнов. В дополнение к трем вышеуказанным условиям, «естественный кубический сплайн» имеет условие, что . В дополнение к трем основным условиям, «закрепленный кубический сплайн» имеет условия, что и , где – производная интерполируемой функции. В дополнение к трем основным условиям, «сплайн ‘не узел’» имеет условия, что и .