Кіріспе
Математикалық әдіс
Сандық талдаудың математикалық саласында, сплайн интерполяциясы – интерполяцияның бір түрі, онда интерполянт сплайн деп аталатын бөліктік көпмүшенің ерекше түрі болып табылады. Яғни, барлық мәндерге бірден жоғары дәрежелі көпмүше сыйғызудың орнына, сплайн интерполяциясы мәндердің кіші топтарына төмен дәрежелі көпмүшелерді сыйғызады, мысалы, он нүктенің әр жұбы арасына тоғыз кубтық көпмүше сыйғызу, олардың бәріне бірден тоғыз дәрежелі көпмүше сыйғызудың орнына. Сплайн интерполяциясы көбінесе полиномдық интерполяциядан артықшылыққа ие, себебі интерполяция қатесі сплайн үшін төмен дәрежелі полиномдар қолданылғанда да кіші болып жатпайды. Сплайн интерполяциясы сондай-ақ Рунге құбылысын болдырмайды, онда жоғары дәрежелі полиномдарды қолдану арқылы интерполяция кезінде нүктелер арасында тербеліс пайда болуы мүмкін.
Кіріспе
Бастапқыда, сплайн – бұл бірнеше алдын ала белгіленген нүктелер немесе түйіндер арқылы өту үшін иілген серіппелі сызықтар. Олар кеме жасау және құрылыс салаларында қолмен техникалық суреттер салу үшін қолданылды, суретте көрсетілгендей. Біз математикалық теңдеулер жиынтығын қолдана отырып, осыған ұқсас қисықтарды модельдеуді қалаймыз. Егер бізде түйіндер тізбегі болса, онда әрбір екі тізбектес түйін арасында және оларға жалғасатын үшінші дәрежелі полином болады. Осылайша, бірінші полиномнан басталатын және соңғы полиноммен аяқталатын полиномдар саны болады. Кез келген қисықтың қисықтығы – бұл оның бірінші және екінші туындыларының арақатынасы, яғни: . Сплайн қисықтығын азайту үшін (барлық түйіндерден өту шартымен), біз бірінші және екінші туындыларды барлық жерде, соның ішінде түйіндерде де үздіксіз деп анықтаймыз. Әрбір тізбектес полиномның мәндері (сәйкес дерек нүктесінің y координатасына тең), туындылары және екінші туындылары қосылатын түйіндерде тең болуы керек. Яғни, мұны тек үшінші дәрежелі (кубтық) немесе одан жоғары дәрежелі полиномдарды қолдану арқылы ғана іске асыруға болады. Классикалық тәсіл – дәл үшінші дәрежелі кубтық сплайндарды қолдану. Жоғарыда аталған үш шартқа қоса, «табиғи кубтық сплайн» үшін қосымша шарт бар. Жоғарыда аталған үш шартқа қоса, «бекітілген кубтық сплайн» үшін және , мұнда – интерполяцияланған функцияның туындысы шарттары қойылады. Жоғарыда аталған үш шартқа қоса, «түйін емес сплайн» үшін және шарттары орындалуы керек.
The curvature of any curve is defined as
where and are the first and second derivatives of with respect to To make the spline take a shape that minimizes the bending (under the constraint of passing through all knots), we will define both and to be continuous everywhere, including at the knots. Each successive polynomial must have equal values (which are equal to the y value of the corresponding datapoint), derivatives, and second derivatives at their joining knots, which is to say that
This can only be achieved if polynomials of degree 3 (cubic polynomials) or higher are used. The classical approach is to use polynomials of exactly degree 3 — cubic splines. In addition to the three conditions above, a 'natural cubic spline' has the condition that
In addition to the three main conditions above, a 'clamped cubic spline' has the conditions that and where is the derivative of the interpolated function. In addition to the three main conditions above, a 'not a knot spline' has the conditions that and .