Введение

Процесс построения кривой, наилучшим образом аппроксимирующей ряд точек данных.

Аппроксимация кривой – это процесс построения кривой или математической функции, которая наилучшим образом соответствует ряду точек данных, возможно, с учетом ограничений. Аппроксимация кривой может включать либо интерполяцию, где требуется точное соответствие данным, либо сглаживание, при котором строится "гладкая" функция, приближенно соответствующая данным. Связанной темой является регрессионный анализ, который больше фокусируется на вопросах статистического вывода, таких как степень неопределенности в кривой, построенной на основе данных, полученных с учетом случайных ошибок. Аппроксимированные кривые могут использоваться для визуализации данных, для определения значений функции в точках, где данные отсутствуют, и для обобщения взаимосвязей между двумя или более переменными. Экстраполяция – это использование аппроксимированной кривой за пределами диапазона наблюдаемых данных, что сопряжено с определенной степенью неопределенности, поскольку результат может зависеть как от метода построения кривой, так и от самих наблюдаемых данных. Для линейного алгебраического анализа данных "аппроксимация" обычно означает поиск кривой, минимизирующей вертикальное (по оси y) отклонение точки от кривой (например, метод наименьших квадратов). Однако для графических и изобразительных приложений геометрическая аппроксимация стремится обеспечить наилучшее визуальное соответствие, что обычно означает минимизацию ортогонального расстояния до кривой (например, метод наименьших квадратов в общем смысле) или учет обеих осей отклонения точки от кривой. Геометрическая аппроксимация не очень популярна, поскольку обычно требует нелинейных и/или итерационных вычислений, хотя она имеет преимущество в виде более эстетичного и геометрически точного результата.

Алгебраическое приспособление функций к точкам данных

Чаще всего подбирают функцию вида .

Встроение других функций в точки данных

В некоторых случаях могут использоваться и другие типы кривых, такие как тригонометрические функции (например, синус и косинус). В спектроскопии данные могут быть аппроксимированы гауссовскими, лоренцковскими, функциями Войта и связанными с ними функциями. В биологии, экологии, демографии, эпидемиологии и многих других областях рост популяции, распространение инфекционных заболеваний и т.п. могут быть описаны с помощью логистической функции. В сельском хозяйстве инвертированная логистическая сигмоида (S-образная кривая) используется для описания зависимости урожайности от факторов роста. Синяя кривая построена на основе сигмоидальной регрессии данных, измеренных на сельскохозяйственных землях. Можно заметить, что первоначально, то есть при низкой засоленности почвы, урожайность снижается медленно с увеличением засоленности, а затем снижение ускоряется.

Геометрическое приспособление плоских кривых к точкам данных

Если функцию вида нельзя постулировать, можно попытаться аппроксимировать плоской кривой. В некоторых случаях могут также использоваться другие типы кривых, такие как конические сечения (окружность, эллипс, парабола и гипербола) или тригонометрические функции (например, синус и косинус). Например, траектории тел, движущихся под действием силы тяжести, описываются параболой при пренебрежении сопротивлением воздуха. Следовательно, сопоставление данных о траектории с параболической кривой будет оправданным. Приливы и отливы подчиняются синусоидальному закономерностям, поэтому данные о приливах следует аппроксимировать синусоидой или суммой двух синусоид с разными периодами, если учитывать влияние Луны и Солнца. Для параметрической кривой эффективно аппроксимировать каждую из ее координат как отдельную функцию от длины дуги; предполагая, что точки данных можно упорядочить, можно использовать расстояние между точками по хорде.

Приспособление к окружности по геометрическому укладке

Куп рассматривает задачу нахождения наилучшего визуального соответствия окружности набору двумерных точек данных. Метод элегантно преобразует обычно нелинейную задачу в линейную, которую можно решить без использования итеративных численных методов, что делает его значительно быстрее предыдущих подходов.

Приспособление эллипса по геометрическому укладке

Вышеописанный метод обобщается для произвольных эллипсов путем добавления нелинейного шага, что приводит к быстрому алгоритму, находящему визуально привлекательные эллипсы с любой ориентацией и смещением.

Поверхности для монтажа

Обратите внимание, что, хотя это обсуждение велось о двумерных кривых, большая часть этой логики также применима к трехмерным поверхностям, каждый участок которых определяется сеткой кривых в двух параметрических направлениях, обычно называемых u и v. Поверхность может состоять из одного или нескольких участков в каждом направлении.

Программное обеспечение

Многие статистические пакеты, такие как R, и программное обеспечение для численных расчетов, такое как gnuplot, GNU Scientific Library, MLAB, Maple, MATLAB, TK Solver 6.0, Scilab, Mathematica, GNU Octave и SciPy, включают команды для подгонки кривых в различных ситуациях. Существуют также программы, разработанные специально для подгонки кривых; их можно найти в списках программ для статистического и численного анализа, а также в категории: Программное обеспечение для регрессии и подгонки кривых.