Введение
Свойство многих линейных систем с инвариантностью ко времени (LTI). Бесконечный импульсный отклик (IIR) – это характеристика, присущая многим линейным системам с инвариантностью ко времени, отличающаяся тем, что её импульсный отклик не становится точно равным нулю после определенного момента, а продолжается бесконечно. Это противопоставляется системе с конечным импульсным откликом (FIR), в которой импульсный отклик действительно становится равным нулю в моменты времени для некоторого конечного значения , то есть имеет конечную длительность. Распространенными примерами линейных систем с инвариантностью ко времени являются большинство электронных и цифровых фильтров. Системы, обладающие этой характеристикой, известны как IIR-системы или IIR-фильтры. На практике импульсный отклик, даже у IIR-систем, обычно стремится к нулю и может быть пренебрежимо мал после определенной точки. Однако физические системы, порождающие IIR- или FIR-отклики, различны, и именно в этом заключается важность этого различия. Например, аналоговые электронные фильтры, состоящие из резисторов, конденсаторов и/или индукторов (и, возможно, линейных усилителей), как правило, являются IIR-фильтрами. С другой стороны, дискретные фильтры (обычно цифровые фильтры), основанные на линией задержки с отводами, не использующие обратную связь, обязательно являются FIR-фильтрами. Конденсаторы (или индукторы) в аналоговом фильтре обладают "памятью", и их внутреннее состояние никогда полностью не возвращается в исходное после импульса (исходя из классической модели конденсаторов и индукторов, где квантовые эффекты игнорируются). Но в последнем случае, после того как импульс достиг конца линии задержки с отводами, система больше не сохраняет информацию об этом импульсе и возвращается в свое начальное состояние; её импульсный отклик после этой точки точно равен нулю.
Infinite impulse response (IIR) is a property applying to many linear time invariant systems that are distinguished by having an impulse response that does not become exactly zero past a certain point but continues indefinitely. This is in contrast to a finite impulse response (FIR) system, in which the impulse response does become exactly zero at times for some finite , thus being of finite duration. Common examples of linear time invariant systems are most electronic and digital filters. Systems with this property are known as IIR systems or IIR filters. In practice, the impulse response, even of IIR systems, usually approaches zero and can be neglected past a certain point. However the physical systems which give rise to IIR or FIR responses are dissimilar, and therein lies the importance of the distinction. For instance, analog electronic filters composed of resistors, capacitors, and/or inductors (and perhaps linear amplifiers) are generally IIR filters. On the other hand, discrete time filters (usually digital filters) based on a tapped delay line employing no feedback are necessarily FIR filters. The capacitors (or inductors) in the analog filter have a "memory" and their internal state never completely relaxes following an impulse (assuming the classical model of capacitors and inductors where quantum effects are ignored). But in the latter case, after an impulse has reached the end of the tapped delay line, the system has no further memory of that impulse and has returned to its initial state; its impulse response beyond that point is exactly zero.
Реализация и проектирование
Хотя почти все аналоговые электронные фильтры являются IIR, цифровые фильтры могут быть как IIR, так и FIR. Наличие обратной связи в топологии дискретного фильтра (например, на блок-схеме, показанной ниже) обычно приводит к IIR-отклику. Передаточная функция в z-области IIR-фильтра содержит ненулевой знаменатель, описывающий эти элементы обратной связи. Передаточная функция FIR-фильтра, напротив, имеет только числитель, выраженный в общей форме, приведенной ниже. Все коэффициенты, связанные с обратной связью, равны нулю, и фильтр не имеет конечных полюсов. Передаточные функции аналоговых электронных IIR-фильтров были широко изучены и оптимизированы по их амплитудно-фазовым характеристикам. Эти функции фильтров непрерывного времени описываются в лапласовской области. Желаемые решения могут быть перенесены на случай дискретных фильтров, чьи передаточные функции выражаются в z-области, с использованием определенных математических методов, таких как билинейное преобразование, метод инвариантности импульса или метод согласования полюсов и нулей. Таким образом, цифровые IIR-фильтры могут быть основаны на известных решениях для аналоговых фильтров, таких как фильтр Чебышева, фильтр Баттерворта и эллиптический фильтр, наследуя характеристики этих решений.
Преимущества и недостатки
Основным преимуществом цифровых IIR-фильтров над FIR-фильтрами является их эффективность реализации при необходимости соответствия заданным требованиям к полосе пропускания, полосе задерживания, пульсациям и/или крутизне спада. Для достижения такого набора требований достаточно IIR-фильтра более низкого порядка (Q в вышеприведенных формулах), чем потребовалось бы для FIR-фильтра с теми же характеристиками. При реализации в сигнальном процессоре это означает соответствующее уменьшение числа вычислений на временной шаг; вычислительная экономия часто бывает весьма значительной. С другой стороны, FIR-фильтры могут быть проще в разработке, например, для соответствия конкретным требованиям к частотной характеристике. Это особенно актуально, когда требования выходят за рамки стандартных случаев (фильтры высоких частот, низких частот, режекторные фильтры и т.д.), которые были изучены и оптимизированы для аналоговых фильтров. Кроме того, FIR-фильтры легко реализовать с линейной фазой (постоянной групповой задержкой от частоты) – свойство, которое сложно обеспечить в IIR-фильтрах и то лишь приближенно (например, с помощью фильтра Бесселя). Еще одна проблема, связанная с цифровыми IIR-фильтрами, – это возможность возникновения самоколебаний в режиме простоя из-за системы обратной связи в сочетании с квантованием.