Введение

Движение объекта по круговому пути

В физике круговое движение — это движение объекта по окружности или вращение по круговой дуге. Оно может быть равномерным, с постоянной угловой скоростью и постоянной тангенциальной скоростью, или неравномерным, с изменяющейся угловой скоростью. Вращение трехмерного тела вокруг фиксированной оси включает круговое движение его частей. Уравнения движения описывают движение центра масс тела, который остается на постоянном расстоянии от оси вращения. При круговом движении расстояние между телом и фиксированной точкой на его поверхности остается неизменным, то есть тело считается абсолютно твердым. Примеры кругового движения включают: специальные спутниковые орбиты вокруг Земли (круговые орбиты), лопасти потолочного вентилятора, вращающиеся вокруг оси, камень, привязанный к веревке и вращающийся по окружности, автомобиль, поворачивающий на вираже гоночной трассы, электрон, движущийся перпендикулярно однородному магнитному полю, и зубчатое колесо, вращающееся внутри механизма. Поскольку вектор скорости объекта постоянно меняет направление, движущийся объект испытывает ускорение под действием центростремительной силы, направленной к центру вращения. Без этого ускорения объект двигался бы по прямой линии, согласно законам Ньютона.

Однородное круговое движение

В физике, равномерное круговое движение описывает движение тела по окружности с постоянной скоростью. Поскольку тело движется по окружности, его расстояние до оси вращения остаётся постоянным в любой момент времени. Хотя скорость тела постоянна, его *вектор* скорости не является постоянным: скорость, являясь векторной величиной, зависит как от величины скорости тела, так и от направления его движения. Это изменение скорости указывает на наличие ускорения; это центростремительное ускорение имеет постоянную величину и всегда направлено к оси вращения. Это ускорение, в свою очередь, вызывается центростремительной силой, которая также постоянна по величине и направлена к оси вращения. В случае вращения жёсткого тела вокруг фиксированной оси, если размеры тела не пренебрежимо малы по сравнению с радиусом траектории, каждая точка тела описывает равномерное круговое движение с одинаковой угловой скоростью, но с изменяющейся скоростью и ускорением в зависимости от её положения относительно оси.

Скорость

На рисунке 1 показаны векторы скорости и ускорения для равномерного движения в четырех различных точках орбиты. Поскольку скорость 'v' является касательной к круговой траектории, никакие два вектора скорости не указывают в одном и том же направлении. Хотя объект движется с постоянной скоростью, его направление постоянно меняется. Это изменение скорости вызвано ускорением 'a', величина которого (как и величина скорости) остается постоянной, но направление также постоянно меняется. Ускорение направлено радиально внутрь (по центростремительной) и перпендикулярно скорости. Это ускорение известно как центростремительное ускорение. Для траектории радиуса r, при прохождении угла θ, расстояние, пройденное по окружности орбиты, равно s = rθ. Следовательно, скорость движения по орбите равна

где ω – угловая скорость вращения. (Из этого следует, что ω = v/r.) Таким образом, v является постоянной, и вектор скорости 'v' также вращается с постоянной величиной v, с той же угловой скоростью ω.

Ускорение

Левый круг на рисунке 2 представляет собой орбиту, показывающую векторы скорости в два последовательных момента времени. На рисунке справа эти два вектора скорости сдвинуты так, чтобы их начала совпадали. Поскольку скорость постоянна, векторы скорости на правой стороне очерчивают окружность по мере течения времени. Для угла поворота 1 = dθ = ω dt изменение вектора 'v' является вектором, перпендикулярным 'v', и его величина равна v dθ, что, в свою очередь, означает, что величина ускорения определяется как

+ Центростремительное ускорение для некоторых значений радиуса и величины скорости colspan="2" rowspan="2" 1 м/с³ 3,6 км/ч 2,2 мили/ч 2 м/с 7,2 км/ч 4,5 мили/ч 5 м/с 18 км/ч 11 мили/ч 10 м/с 36 км/ч 22 мили/ч 20 м/с 72 км/ч 45 мили/ч 50 м/с 180 км/ч 110 мили/ч 100 м/с 360 км/ч 220 мили/ч Медленная ходьба Велосипед Легковой автомобиль Аэробатика 10 см 3,9 дюйма Лабораторная центрифуга 10 м/с² 21,0 g 40 м/с² 4,1 g 250 м/с² 25 g 1,0 км/с² 100 g 4,0 км/с² 410 g 25 км/с² 2500 g 100 км/с² 10000 g 20 см 7,9 дюйма 5,0 м/с² 0,51 g 20 м/с² 2,0 g 130 м/с² 13 g 500 м/с² 51 g 2,0 км/с² 200 g 13 км/с² 1300 g 50 км/с² 5100 g 50 см 1,6 фута 2,0 м/с² 0,20 g 8,0 м/с² 0,82 g 50 м/с² 5,1 g 200 м/с² 20 g 800 м/с² 82 g 5,0 км/с² 510 g 20 км/с² 2000 g 1 м 3,3 фута Карусель 1,0 м/с² 0,10 g 4,0 м/с² 0,41 g 25 м/с² 2,5 g 100 м/с² 10 g 400 м/с² 41 g 2,5 км/с² 250 g 10 км/с² 1000 g 2 м 6,6 фута 500 мм/с² 0,051 g 2,0 м/с² 0,20 g 13 м/с² 1,3 g 50 м/с² 5,1 g 200 м/с² 20 g 1,3 км/с² 130 g 5,0 км/с² 510 g 5 м 16 футов 200 мм/с² 0,020 g 800 мм/с² 0,082 g 5,0 м/с² 0,51 g 20 м/с² 2,0 g 80 м/с² 8,2 g 500 м/с² 51 g 2,0 км/с² 200 g 10 м 33 фута Американские горки, вертикальная петля 100 мм/с² 0,010 g 400 мм/с² 0,041 g 2,5 м/с² 0,25 g 10 м/с² 1,0 g 40 м/с² 4,1 g 250 м/с² 25 g 1,0 км/с² 100 g 20 м 66 футов 50 мм/с² 0,0051 g 200 мм/с² 0,020 g 1,3 м/с² 0,13 g 5,0 м/с² 0,51 g 20 м/с² 2 g 130 м/с² 13 g 500 м/с² 51 g 50 м 160 футов 20 мм/с² 0,0020 g 80 мм/с² 0,0082 g 500 мм/с² 0,051 g 2,0 м/с² 0,20 g 8,0 м/с² 0,82 g 50 м/с² 5,1 g 200 м/с² 20 g 100 м 330 футов Разгон на шоссе 10 мм/с² 0,0010 g 40 мм/с² 0,0041 g 250 мм/с² 0,025 g 1,0 м/с² 0,10 g 4,0 м/с² 0,41 g 25 м/с² 2,5 g 100 м/с² 10 g 200 м 660 футов 5,0 мм/с² 0,00051 g 20 мм/с² 0,0020 g 130 м/с² 0,013 g 500 мм/с² 0,051 g 2,0 м/с² 0,20 g 13 м/с² 1,3 g 50 м/с² 5,1 g 500 м 1600 футов 2,0 мм/с² 0,00020 g 8,0 мм/с² 0,00082 g 50 мм/с² 0,0051 g 200 мм/с² 0,020 g 800 мм/с² 0,082 g 5,0 м/с² 0,51 g 20 м/с² 2,0 g 1 км 3300 футов Высокоскоростная железная дорога 1,0 мм/с² 0,00010 g 4,0 мм/с² 0,00041 g 25 мм/с² 0,0025 g 100 мм/с² 0,010 g 400 мм/с² 0,041 g 2,5 м/с² 0,25 g 10 м/с² 1,0 g

Приложения

Решение задач, связанных с неравномерным круговым движением, включает анализ сил. При равномерном круговом движении единственная сила, действующая на объект, движущийся по окружности, – это центростремительная сила. В неравномерном круговом движении на объект действуют дополнительные силы из-за ненулевого тангенциального ускорения. Хотя на объект действуют дополнительные силы, сумма всех сил, действующих на объект, должна быть равна центростремительной силе. Радиальное ускорение используется при расчете результирующей силы. Тангенциальное ускорение не используется при расчете результирующей силы, поскольку оно не отвечает за удержание объекта на круговой траектории. Единственное ускорение, отвечающее за удержание объекта в движении по окружности, – это радиальное ускорение. Поскольку сумма всех сил является центростремительной силой, изображение центростремительной силы на диаграмме свободных сил не требуется и обычно не рекомендуется. Используя , можно построить диаграммы свободных сил, чтобы перечислить все силы, действующие на объект, а затем приравнять их к . После этого можно решить для любой неизвестной величины (это может быть масса, скорость, радиус кривизны, коэффициент трения, сила нормальной реакции и т. д.). Например, схема выше, показывающая объект в верхней точке полукруга, будет выражена как . В равномерном круговом движении полное ускорение объекта, движущегося по окружности, равно радиальному ускорению. Из-за наличия тангенциального ускорения в неравномерном круговом движении это больше не верно. Чтобы найти полное ускорение объекта при неравномерном круговом движении, необходимо найти векторную сумму тангенциального и радиального ускорений. Радиальное ускорение по-прежнему равно , а тангенциальное ускорение – это просто производная скорости в любой данной точке: . Эта сумма квадратов отдельных радиальных и тангенциальных ускорений верна только для кругового движения; для общего движения в плоскости с использованием полярных координат , необходимо добавить член Кориолиса к , в то время как радиальное ускорение становится .