Stone's representation theorem for Boolean algebras
Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр: каждая алгебра изоморфна полю множеств. Основа для понимания булевой алгебры, разработанная Маршаллом Стоуном.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Каждая булева алгебра изоморфна некоторому полю множеств.
Every Boolean algebra is isomorphic to a certain field of sets
В математике теорема представления Стоуна для булевых алгебр утверждает, что каждая булева алгебра изоморфна некоторому полю множеств. Эта теорема является фундаментальной для более глубокого понимания булевой алгебры, которое сформировалось в первой половине XX века. Теорема была впервые доказана Маршаллом Х. Стоуном. Стоун пришел к ней в ходе изучения спектральной теории операторов в гильбертовом пространстве.
In mathematics, Stone's representation theorem for Boolean algebras states that every Boolean algebra is isomorphic to a certain field of sets. The theorem is fundamental to the deeper understanding of Boolean algebra that emerged in the first half of the 20th century. The theorem was first proved by Marshall H. Stone. Stone was led to it by his study of the spectral theory of operators on a Hilbert space.
Каменные пространства
Каждая булева алгебра B имеет ассоциированное топологическое пространство, обозначаемое здесь S(B), называемое её пространством Стоуна. Точками в S(B) являются ультрафильтры на B, или, эквивалентно, гомоморфизмы из B в булеву алгебру из двух элементов. Топология на S(B) порождается базой, состоящей из всех множеств вида
Each Boolean algebra B has an associated topological space, denoted here S(B), called its Stone space. The points in S(B) are the ultrafilters on B, or equivalently the homomorphisms from B to the two element Boolean algebra. The topology on S(B) is generated by a basis consisting of all sets of the form
где b – элемент B. Эти множества также замкнуты и, следовательно, являются клипен (одновременно замкнутыми и открытыми). Это топология поточечной сходимости сетей гомоморфизмов в булеву алгебру из двух элементов. Для каждой булевой алгебры B, S(B) является компактным, полностью несвязным пространством Хаусдорфа; такие пространства называются пространствами Стоуна (также проконечными пространствами). Обратно, для любого топологического пространства X, множество подмножеств X, являющихся клипен, образует булеву алгебру.
where b is an element of B. These sets are also closed and so are clopen (both closed and open). This is the topology of pointwise convergence of nets of homomorphisms into the two element Boolean algebra. For every Boolean algebra B, S(B) is a compact totally disconnected Hausdorff space; such spaces are called Stone spaces (also profinite spaces). Conversely, given any topological space X, the collection of subsets of X that are clopen is a Boolean algebra.
Теорема представления
Простая версия теоремы представления Стоуна утверждает, что каждая булева алгебра B изоморфна алгебре клопенных подмножеств своего пространства Стоуна S(B). Изоморфизм сопоставляет элемент множеству всех ультрафильтров, содержащих b. Это множество является клопенным благодаря выбору топологии на S(B) и тому факту, что B является булевой алгеброй. Переформулируя теорему на языке теории категорий, можно сказать, что существует двойственность между категорией булевых алгебр и категорией пространств Стоуна. Эта двойственность означает, что помимо соответствия между булевыми алгебрами и их пространствами Стоуна, каждому гомоморфизму из булевой алгебры A в булеву алгебру B естественным образом соответствует непрерывная функция из S(B) в S(A). Иными словами, существует контравариантный функтор, дающий эквивалентность между этими категориями. Это был один из первых примеров нетривиальной двойственности категорий. Теорема является частным случаем дуальности Стоуна – более общей структуры для двойственностей между топологическими пространствами и частично упорядоченными множествами. Доказательство требует либо аксиомы выбора, либо её ослабленной формы. В частности, теорема эквивалентна теореме о булевых простых идеалах, принципу ослабленного выбора, утверждающему, что каждая булева алгебра имеет простой идеал. Расширение классической дуальности Стоуна на категорию булевых пространств (то есть, нульмерных локально компактных пространств Хаусдорфа) и непрерывных отображений (соответственно, совершенных отображений) было получено Г. Д. Димовым (соответственно, Х. П. Доктором).
A simple version of Stone's representation theorem states that every Boolean algebra B is isomorphic to the algebra of clopen subsets of its Stone space S(B). The isomorphism sends an element to the set of all ultrafilters that contain b. This is a clopen set because of the choice of topology on S(B) and because B is a Boolean algebra. Restating the theorem using the language of category theory; the theorem states that there is a duality between the category of Boolean algebras and the category of Stone spaces. This duality means that in addition to the correspondence between Boolean algebras and their Stone spaces, each homomorphism from a Boolean algebra A to a Boolean algebra B corresponds in a natural way to a continuous function from S(B) to S(A). In other words, there is a contravariant functor that gives an equivalence between the categories. This was an early example of a nontrivial duality of categories. The theorem is a special case of Stone duality, a more general framework for dualities between topological spaces and partially ordered sets. The proof requires either the axiom of choice or a weakened form of it. Specifically, the theorem is equivalent to the Boolean prime ideal theorem, a weakened choice principle that states that every Boolean algebra has a prime ideal. An extension of the classical Stone duality to the category of Boolean spaces (that is, zero dimensional locally compact Hausdorff spaces) and continuous maps (respectively, perfect maps) was obtained by G. D. Dimov (respectively, by H. P. Doctor).