Введение

В математической области теории порядка существует множество понятий общей концепции дистрибутивности, применяемых к формированию супремумов и инфимумов. Большинство из них применимы к частично упорядоченным множествам, являющимся хотя бы решётками, но данную концепцию можно разумно обобщить и на полурешётки.

Распределительные решетки

Вероятно, наиболее распространенным типом дистрибутивности является тот, который определяется для решеток, где образование бинарных супремумов и инфимумов обеспечивает общие операции объединения и пересечения. Дистрибутивность этих двух операций затем выражается требованием, чтобы выполнялось следующее равенство для всех элементов x, y и z. Этот закон дистрибутивности определяет класс дистрибутивных решеток. Следует отметить, что это требование можно перефразировать, сказав, что бинарные пересечения сохраняют бинарные объединения. Вышеуказанное утверждение известно как эквивалентное его порядковому двойственному, так что одного из этих свойств достаточно для определения дистрибутивности решеток. Типичными примерами дистрибутивных решеток являются тотально упорядоченные множества, булевы алгебры и алгебры Хейтинга. Каждая конечная дистрибутивная решетка изоморфна решетке множеств, упорядоченной по включению (теорема о представлении Биркгоффа).

Законы распределения для полных решеток

Для полной решетки произвольные подмножества имеют как инфимум, так и супремум, и, следовательно, доступны бесконечные операции взятия пересечения и объединения. Таким образом, можно описать несколько обобщенных понятий дистрибутивности. Например, для бесконечного закона дистрибутивности, конечные пересечения могут дистрибутивно распространяться на произвольные объединения, то есть может выполняться для всех элементов x и всех подмножеств S решетки. Полные решетки, обладающие этим свойством, называются фреймами, локалями или полными алгебрами Гейтинга. Они возникают в связи с топологией без точек и двойственностью Стоуна. Этот закон дистрибутивности не эквивалентен его двойственному утверждению, которое определяет класс двойных фреймов или полных ко-алгебр Гейтинга. Можно пойти еще дальше и определить порядки, в которых произвольные объединения дистрибутивно распространяются на произвольные пересечения. Такие структуры называются полностью дистрибутивными решетками. Однако для выражения этого требуются несколько более технические формулировки. Рассмотрим двойственно индексированное семейство {x<sub>j,k</sub> | j ∈ J, k ∈ K(j)} элементов полной решетки, и пусть F – множество функций выбора f, выбирающих для каждого индекса j из J некоторый индекс f(j) из K(j). Полная решетка является полностью дистрибутивной, если для всех таких данных выполняется следующее утверждение:

Полная дистрибутивность – это снова самодвойственное свойство, то есть дуализация вышеуказанного утверждения дает тот же класс полных решеток. Полностью дистрибутивные полные решетки (также кратко называемые полностью дистрибутивными решетками) действительно являются весьма специфическими структурами. См. статью о полностью дистрибутивных решетках.