Кіріспе
Рет теориясының математикалық саласында, жоғарғы және төменгі шектерді құруға қолданылатын таралушылықтың әртүрлі ұғымдары бар. Бұл ұғымдардың көпшілігі кем дегенде торлар болатын ішінара реттелген жиындықтарға қатысты, бірақ осы ұғымды жартылай торларға да қолдануға болады.
Тарату торлары
Бәлкім, таралудың ең көп кездесетін түрі – торлар үшін анықталған таралу, онда бинарлық жоғарғы және төменгі шектердің құрылуы қосылу және кездесу операцияларын қамтамасыз етеді. Осы екі операцияның таралушылығы барлық x, y және z элементтері үшін келесі теңдік орындалуымен көрініс береді.
hold for all elements x, y, and z. This distributivity law defines the class of distributive lattices. Note that this requirement can be rephrased by saying that binary meets preserve binary joins. The above statement is known to be equivalent to its order dual
such that one of these properties suffices to define distributivity for lattices. Typical examples of distributive lattice are totally ordered sets, Boolean algebras, and Heyting algebras. Every finite distributive lattice is isomorphic to a lattice of sets, ordered by inclusion (Birkhoff's representation theorem).
Бұл таралу заңы таралушы торлар класын анықтайды. Бұл талапты екілік кездесулер екілік қосылыстарды сақтайды деп қайта формулиреуге болады. Аталған мәлімдеме оның реттік дуалымен эквивалентті екені белгілі, сондықтан осы қасиеттердің бірі ғана торлар үшін таралушылықты анықтауға жеткілікті. Таралушы торлардың классикалық мысалдары – толығымен реттелген жиынтықтар, Буль алгебралары және Хейтинг алгебралары. Кез келген шекті таралушы тор жиынтықтар торына изоморфты, олар кіріктірілу бойынша реттелген (Биркгоффтың өкілдік теоремасы).
hold for all elements x, y, and z. This distributivity law defines the class of distributive lattices. Note that this requirement can be rephrased by saying that binary meets preserve binary joins. The above statement is known to be equivalent to its order dual
such that one of these properties suffices to define distributivity for lattices. Typical examples of distributive lattice are totally ordered sets, Boolean algebras, and Heyting algebras. Every finite distributive lattice is isomorphic to a lattice of sets, ordered by inclusion (Birkhoff's representation theorem).
Толық торлар үшін үлестірілу заңдылықтары
Толық тор үшін кез келген кіші жиынтықтың инфимумы және супремумы болады, сондықтан шексіз кездесу және қосылу операциялары қолжетімді. Осылайша, дистрибутивтіліктің бірнеше кеңейтілген түсініктерін сипаттауға болады. Мысалы, шексіз дистрибутивтік заң үшін, шекті кездесулер кез келген қосылыстарға таралуы мүмкін, яғни, тордың барлық x элементтері және барлық S кіші жиындары үшін келесі теңдік орындалуы мүмкін:
may hold for all elements x and all subsets S of the lattice. Complete lattices with this property are called frames, locales or complete Heyting algebras. They arise in connection with pointless topology and Stone duality. This distributive law is not equivalent to its dual statement
which defines the class of dual frames or complete co Heyting algebras. Now one can go even further and define orders where arbitrary joins distribute over arbitrary meets. Such structures are called completely distributive lattices. However, expressing this requires formulations that are a little more technical. Consider a doubly indexed family {xj,k | j in J, k in K(j)} of elements of a complete lattice, and let F be the set of choice functions f choosing for each index j of J some index f(j) in K(j). A complete lattice is completely distributive if for all such data the following statement holds:
Complete distributivity is again a self dual property, i. e. dualizing the above statement yields the same class of complete lattices. Completely distributive complete lattices (also called completely distributive lattices for short) are indeed highly special structures. See the article on completely distributive lattices.
Бұл қасиетке ие толық торлар фреймдер, локальдер немесе толық Хейтинг алгебралары деп аталады. Олар мағынасыз топология және Стоунның дуалдылығымен байланысты туындайды. Бұл дистрибутивтік заң оның қос нұсқасына тең емес, ол қос фреймдер класын немесе толық ко-Хейтинг алгебраларын анықтайды. Енді одан әрі барып, кез келген қосылыстар кез келген кездесулерге таралатын реттерді анықтауға болады. Мұндай құрылымдар толық дистрибутивтік торлар деп аталады. Алайда, мұны айту үшін, сәл көбірек техникалық терминология қолдану қажет. Толық тордың элементтерінен {xj,k | j ∈ J, k ∈ K(j)} екі рет индекстелген отбасын қарастырайық, ал F – әрбір J индексі үшін K(j) ішіндегі f(j) индексін таңдайтын таңдау функцияларының f жиынтығы болсын. Толық тор толық дистрибутивтік болады, егер барлық осындай деректер үшін келесі тұжырым орындалса:
may hold for all elements x and all subsets S of the lattice. Complete lattices with this property are called frames, locales or complete Heyting algebras. They arise in connection with pointless topology and Stone duality. This distributive law is not equivalent to its dual statement
which defines the class of dual frames or complete co Heyting algebras. Now one can go even further and define orders where arbitrary joins distribute over arbitrary meets. Such structures are called completely distributive lattices. However, expressing this requires formulations that are a little more technical. Consider a doubly indexed family {xj,k | j in J, k in K(j)} of elements of a complete lattice, and let F be the set of choice functions f choosing for each index j of J some index f(j) in K(j). A complete lattice is completely distributive if for all such data the following statement holds:
Complete distributivity is again a self dual property, i. e. dualizing the above statement yields the same class of complete lattices. Completely distributive complete lattices (also called completely distributive lattices for short) are indeed highly special structures. See the article on completely distributive lattices.
Толық дистрибутивтік тағы да өзіне дуалды қасиет, яғни, жоғарыдағы тұжырымды дуализациялау толық торлардың сол класын береді. Толық дистрибутивтік толық торлар (немесе қысқаша толық дистрибутивтік торлар) шынымен арнайы құрылымдар болып табылады. Толық дистрибутивтік торлар туралы мақаланы қараңыз.
may hold for all elements x and all subsets S of the lattice. Complete lattices with this property are called frames, locales or complete Heyting algebras. They arise in connection with pointless topology and Stone duality. This distributive law is not equivalent to its dual statement
which defines the class of dual frames or complete co Heyting algebras. Now one can go even further and define orders where arbitrary joins distribute over arbitrary meets. Such structures are called completely distributive lattices. However, expressing this requires formulations that are a little more technical. Consider a doubly indexed family {xj,k | j in J, k in K(j)} of elements of a complete lattice, and let F be the set of choice functions f choosing for each index j of J some index f(j) in K(j). A complete lattice is completely distributive if for all such data the following statement holds:
Complete distributivity is again a self dual property, i. e. dualizing the above statement yields the same class of complete lattices. Completely distributive complete lattices (also called completely distributive lattices for short) are indeed highly special structures. See the article on completely distributive lattices.