Введение

Математическая задача
В математике гипотеза Литтлвуда — нерешённая проблема (по состоянию на апрель 2024 года) в диофантовом приближении, предложенная Джоном Эденсором Литтлвудом примерно в 1930 году. Она утверждает, что для любых двух действительных чисел α и β,

где — расстояние до ближайшего целого числа.

Связь с дальнейшими предположениями

Известно, что это вытекает из результата в геометрии чисел, касающегося минимума произведения трех линейных форм в трех вещественных переменных на ненулевой точке решетки: это следствие было доказано Кассельсом и Суиннертоном-Дайером в 1955 году. Это можно сформулировать иначе, используя термины теории групп. Существует также другая гипотеза, которая, как ожидается, справедлива при n ≥ 3: она сформулирована в терминах G = SLn(R), Γ = SLn(Z) и подгруппы D диагональных матриц в G.

Гипотеза: для любого элемента g из G/Γ, такого что Dg относительно компактно (в G/Γ), Dg является замкнутым множеством. Это, в свою очередь, является частным случаем общей гипотезы Маргулиса для групп Ли.

Частичные результаты

Борель показал в 1909 году, что множество исключений, состоящее из пар вещественных чисел (α,β), для которых не выполняется утверждение гипотезы, имеет меру Лебега, равную нулю. Манфред Эйнсидлер, Анатоль Каток и Илон Линденстраус показали, что его размерность Хаусдорфа должна быть равна нулю, и что оно на самом деле является объединением счетного числа компактных множеств с размерностью счётного покрытия, равной нулю. Доказательство было получено с использованием теоремы классификации мер для диагонализируемых действий групп более высокого ранга и теоремы об изоляции, доказанной Линденстраусом и Бараком Вайсом. Из этих результатов следует, что существуют нетривиальные пары, удовлетворяющие гипотезе: действительно, для любого вещественного числа α, удовлетворяющего условию , можно построить явное значение β, такое что пара (α,β) удовлетворяет гипотезе.