Кіріспе

Математикалық мәселе
Математикада Литтлвуд болжамы — 1930 жылдар шамасында Джон Эденсор Литтлвуд ұсынған Диофантиандық жуықтау саласындағы ашық мәселе (2024 жылғы сәуірге дейін). Ол кез келген екі α және β нақты саны үшін келесідей деп тұжырымдайды:

мұндағы — ең жақын бүтін санға дейінгі қашықтық.

Қосымша болжамдарға байланысты

Сандар геометриясының бір нәтижесінен, нақты үш айнымалыдағы үш сызықтық форманың көбейтіндісіндегі нөлдік емес тор нүктесінің ең кіші мәні туралы туындайтыны белгілі: бұл салдарды 1955 жылы Кассельс пен Суиннертон-Дайер көрсеткен. Бұл топтық теориялық тұрғыдан да айтылуы мүмкін. Қазір тағы бір болжам бар, ол n ≥ 3 үшін орындалуы күтілуде: ол G = SLn(R), Γ = SLn(Z) және G-дегі диагональдық матрицалардың D кіші тобы арқылы тұжырымдалған.

Болжам: Егер G/Γ-дағы кез келген g үшін Dg салыстырмалы түрде жиынтық (G/Γ-да) болса, онда Dg жабық болады. Бұл өз кезегінде Ли топтарындағы Маргулис атындағы жалпы болжамның ерекше жағдайы.

Ішінара нәтижелер

Борел 1909 жылы болжамның тұжырымын бұзатын нақты жұптардың (α,β) ерекше жиыны Лебег өлшемі нөлге тең екенін көрсетті. Манфред Эйнсидлер, Анатоль Каток және Илон Линденстраус оның Хаусдорф өлшемінің нөл болуы керек екенін көрсетті; және іс жүзінде ол нөлдік қорап санау өлшеміне ие көптеген ықшам жиындардың бірігуі болып табылады. Бұл нәтиже жоғары дәрежелі топтардың диагональдық әрекеттері үшін өлшем жіктеу теоремасы және Линденштраус пен Барак Вайс дәлелдеген оқшаулау теоремасын қолдану арқылы дәлелденді. Бұл нәтижелер болжамды қанағаттандыратын тривиалды емес жұптардың бар екенін көрсетеді: атап айтқанда, егер α нақты саны болса, онда (α,β) болжамды қанағаттандыратын нақты β құрастыру мүмкін.