Введение

В математике арифметическая группа — это группа, полученная из целых точек алгебраической группы, например. Они возникают естественным образом при изучении арифметических свойств квадратичных форм и других классических разделов теории чисел. Они также приводят к очень интересным примерам римановых многообразий и, следовательно, представляют интерес для дифференциальной геометрии и топологии. Наконец, эти две области объединяются в теории автоморфных форм, которая является фундаментальной в современной теории чисел.

История

Одним из источников математической теории арифметических групп является алгебраическая теория чисел. Классическая теория редукции квадратичных и эрмитовых форм, разработанная Шарлем Эрмитом, Германом Минковским и другими, может рассматриваться как вычисление фундаментальных областей для действия определенных арифметических групп на соответствующих симметричных пространствах. Эта тема была связана с геометрией чисел Минковского и ранним развитием изучения арифметических инвариантов числовых полей, таких как дискриминант. Арифметические группы можно рассматривать как широкое обобщение групп единиц числовых полей в некомутативном случае. Те же группы также появились в аналитической теории чисел в связи с изучением классических модулярных форм и их обобщений. Разумеется, эти две области были связаны, что видно, например, в вычислении Лэнглендсом объема определенных фундаментальных областей с использованием аналитических методов. Эта классическая теория завершилась работами Зигеля, который во многих случаях доказал конечность объема фундаментальной области. Для начала современной теории требовалась основополагающая работа, которую предоставили исследования Армана Бореля, Андре Вейля, Жака Титса и других по алгебраическим группам. Вскоре после этого Борель и Хариш-Чандра полностью доказали конечность кообъема. Параллельно с этим был достигнут прогресс в общей теории решеток в группах Ли благодаря работам Атле Сельберга, Григория Маргулиса, Давида Каждана, М. С. Рагхунатана и других. Состояние дел после этого периода было в основном зафиксировано в трактате Рагхунатана, опубликованном в 1972 году. В 1970-х годах Маргулис совершил революцию в этой области, доказав, что в "большинстве" случаев арифметические построения дают все решетки в заданной группе Ли. Некоторые ограниченные результаты в этом направлении были получены ранее Сельбергом, но методы Маргулиса (использование эргодических теоретических инструментов для действий на однородных пространствах) были совершенно новыми в этом контексте и оказали огромное влияние на последующие разработки, фактически возродив старую область геометрии чисел и позволив самому Маргулису доказать гипотезу Оппенгейма; более сильные результаты (теоремы Ратнер) позднее были получены Мариной Ратнер. В другом направлении классическая тема модулярных форм превратилась в современную теорию автоморфных форм. Главной движущей силой этих усилий является программа Лэнглендса, инициированная Робертом Лэнглендсом. Одним из основных инструментов, используемых там, является формула следа, берущая начало в работах Сельберга и разработанная в наиболее общем виде Джеймсом Артуром. Наконец, арифметические группы часто используются для построения интересных примеров локально симметричных римановых многообразий. Особенно активной областью исследований являются арифметические гиперболические 3-многообразия, которые, как писал Уильям Терстон, "часто кажутся особенно красивыми".

Использование числовых полей

Естественное обобщение вышеописанной конструкции следующее: пусть — числовое поле с кольцом целых чисел и — алгебраическая группа над . Если нам дано вложение , определенное над , то подгруппу можно обоснованно назвать арифметической группой. С другой стороны, класс групп, полученных таким образом, не шире, чем класс арифметических групп, определенных выше. Действительно, если рассмотреть алгебраическую группу над , полученную ограничением скаляров из в и вложение , индуцированное (где ), то группа, построенная выше, равна .

Примеры

Классическим примером арифметической группы является , или тесно связанные группы , и . Для группы , или иногда , называется модульной группой, поскольку она связана с модульной кривой. Аналогичные примеры – модульные группы Зигеля. Другие хорошо известные и изученные примеры включают группы Бьянки , где – целое число, свободное от квадратов, а – кольцо целых чисел в поле , и модульные группы Гильберта – Блюменталя. Другой классический пример задается интегральными элементами в ортогональной группе квадратичной формы, определенной над числовым полем, например . Связанная конструкция состоит в рассмотрении групп единиц порядков в кватернионных алгебрах над числовыми полями (например, порядок кватернионов Гурвица). Подобные конструкции могут быть выполнены с унитарными группами эрмитовых форм, хорошо известным примером является модульная группа Пикара.

Арифметические решетки в полупростых группах Ли

Когда группа Ли, можно определить арифметическую решетку следующим образом: для любой алгебраической группы, определенной над полем , для которой существует морфизм с компактным ядром, образ арифметической подгруппы в является арифметической решеткой в . Таким образом, например, если и является подгруппой в , то является арифметической решеткой в (но существует множество других, соответствующих другим вложениям); например, является арифметической решеткой в .

Теорема Бореля-Хариша-Чандры

Сетка в группе Ли обычно определяется как дискретная подгруппа с конечным коволюмом. Введенная выше терминология согласуется с этим, поскольку теорема, доказанная Борелем и Харишем-Чандрой, утверждает, что арифметическая подгруппа в полупростой группе Ли имеет конечный коволюм (дискретность очевидна). Теорема более точна: она утверждает, что арифметическая решетка является кокомпактной тогда и только тогда, когда "форма", используемая для ее определения (то есть группа), является анизотропной. Например, арифметическая решетка, связанная с квадратичной формой от переменных над , будет кокомпактной в соответствующей ортогональной группе тогда и только тогда, когда квадратичная форма не обращается в нуль ни в одной точке в .

Теорема арифметичности Маргулиса

Впечатляющий результат, полученный Маргулисом, является частным обратным к теореме Бореля — Хариша-Чандры: для определенных групп Ли любая решетка является арифметической. Этот результат верен для всех неприводимых решеток в полупростых группах Ли реального ранга больше двух. Например, все решетки в арифметичны, когда. Основным новым элементом, который Маргулис использовал для доказательства своей теоремы, была сверхжесткость решеток в группах более высокого ранга, которую он доказал специально для этой цели. Неприводимость играет роль только тогда, когда у группы есть фактор реального ранга один (в противном случае теорема всегда справедлива) и группа не является простой: это означает, что для любого произведения разложений решетка не соизмерима с произведением решеток в каждом из факторов. Например, решетка в неприводима, а не является. Теорема Маргулиса об арифметичности (и сверхжесткости) справедлива для некоторых групп Ли ранга один, а именно для и для исключительной группы. Известно, что она не справедлива во всех группах для (ссылка на GPS) и для когда. В группах когда, неизвестно неарифметических решеток.

Арифметические группы Фукса и Клейнина

Арифметическая группа Фукса строится из следующих данных: полностью реальное числовое поле, алгебра кватернионов над этим полем и порядок в ней. Требуется, чтобы для одного вложения алгебра была изоморфна матричной алгебре, а для всех остальных – кватернионам Гамильтона. Тогда группа единиц является решеткой в, изоморфной, и она кокомпактна во всех случаях, кроме случая, когда является матричной алгеброй над. Все арифметические решетки в получаются таким образом (с точностью до соизмеримости). Арифметические группы Клейна строятся аналогично, за исключением того, что требуется, чтобы поле имело ровно одно комплексное место и было изоморфно кватернионам Гамильтона во всех вещественных местах. Они порождают все арифметические классы соизмеримости в.

Классификация

Для каждой полупростой группы Ли теоретически возможно классифицировать (с точностью до соизмеримости) все арифметические решетки в , аналогично рассмотренным выше случаям. Это сводится к классификации алгебраических групп, чьи вещественные точки изоморфны (с точностью до компактного фактора) .

Проблема подгрупп конгруэнтности

Подгруппа соответствия — это (приблизительно) подгруппа арифметической группы, определяемая как множество всех матриц, удовлетворяющих определенным уравнениям по модулю целого числа, например, группа 2x2 целочисленных матриц с диагональными (соответственно, внедиагональными) коэффициентами, сравнимыми с 1 (соответственно, с 0) по модулю положительного целого числа. Это всегда подгруппы конечного индекса, и проблема о подгруппах соответствия, по сути, спрашивает, могут ли все подгруппы быть получены таким образом. Предположение (обычно приписываемое Жан-Пьеру Серру) состоит в том, что это верно для (неприводимых) арифметических решеток в группах более высокого ранга и неверно для групп ранга один. Эта проблема остается открытой в такой общей формулировке, но существует множество результатов, устанавливающих ее справедливость для конкретных решеток (как в положительных, так и в отрицательных случаях).

S-арифметические группы

Вместо того чтобы брать целые точки в определении арифметической решетки, можно брать точки, которые являются целыми вне конечного числа простых чисел. Это приводит к понятию арифметической решетки (где обозначает множество простых чисел, к которым взята обратная величина). Прототипическим примером является Они также естественным образом являются решетками в определенных топологических группах, например, является решеткой в

Определение

Формальное определение арифметической группы для конечного множества простых чисел такое же, как и для арифметических групп, с заменой на , где — произведение простых чисел из .

Графики экспандера

Арифметические группы, обладающие свойством Каждана (T) или более слабым свойством Любоцкого и Циммера, могут быть использованы для построения графов-экспандеров (Маргулис) или даже графов Рамануджана (Любоцкий, Филипс, Сарнак). Хотя вероятностные результаты показывают, что такие графы существуют в большом количестве, их явная конструкция представляет интерес.

Крайние поверхности и графики

Известно, что конгруэнтные покрытия арифметических поверхностей порождают поверхности с большим радиусом инъективности. Аналогично, графы Рамануджана, построенные Любоцким, Филлипсом и Сарнаком, обладают большой длиной окружности. Фактически, известно, что само свойство Рамануджана подразумевает, что локальные длины окружностей графа почти всегда велики.

Изоспектровые коллекторы

Арифметические группы могут быть использованы для построения изоспектральных многообразий. Это было впервые осознано Мари Франс Виньерас, и с тех пор появилось множество вариаций её построения. Задача об изоспектральности, на самом деле, особенно хорошо поддается изучению в ограниченном контексте арифметических многообразий.

Поддельные проекционные плоскости

Поддельная проективная плоскость — это комплексная поверхность, обладающая теми же числами Бетти, что и проективная плоскость, но не биголоморфная ей; первый пример был найден Мамфордом. Работами Клинглера (также независимо доказано Юнгом) установлено, что все такие поверхности являются фактор-пространствами 2-шара по арифметическим решеткам. Возможные решетки были классифицированы Прасадом и Юнгом, а завершение классификации, включающее определение всех поддельных проективных плоскостей в каждом классе Прасада — Юнга с использованием компьютерных вычислений, было выполнено Картрайтом и Стегером.