Введение

Специальная функция, заданная интегралом. В математике экспоненциальный интеграл Ei — специальная функция на комплексной плоскости. Он определяется как определённый интеграл отношения экспоненциальной функции к её аргументу.

Свойства

Несколько свойств экспоненциального интеграла, представленного ниже, в определенных случаях позволяют избежать его непосредственного вычисления, используя приведенное выше определение.

Асимптотические (дивергентные) ряды

К сожалению, сходимость ряда, приведенного выше, медленная для аргументов с большим модулем. Например, для получения результата с точностью до трех значащих цифр для требуется более 40 членов ряда. Однако для положительных значений x существует приближение с помощью расходящегося ряда, которое можно получить интегрированием по частям:

Относительная погрешность указанного приближения представлена на рисунке справа для различных значений *n*, количества членов в усеченной сумме (для *n* = 10 – красным, для *n* = 20 – розовым).

Асимптотики вне всех порядков

Используя интегрирование по частям, мы можем получить явную формулу. Для любого фиксированного значения абсолютное значение остаточного члена сначала уменьшается, а затем увеличивается. Минимум достигается в точке , в которой эта граница называется "асимптотикой, превосходящей все порядки".

Экспоненциальное и логарифмическое поведение: скобки

Из двух рядов, предложенных в предыдущих подразделах, следует, что функция ведет себя как отрицательная экспонента при больших значениях аргумента и как логарифм при малых значениях. Для положительных действительных значений аргумента её можно ограничить элементарными функциями следующим образом:

Левая часть этого неравенства показана на графике слева синим цветом, центральная часть – черным, а правая часть – красным.