Введение
Дивергенции, возникающие в физике высоких энергий
В физике ультрафиолетовая дивергенция, или УФ-дивергенция, — это ситуация, в которой интеграл, например, диаграмма Фейнмана, расходится из-за вкладов от объектов с неограниченной энергией или, что эквивалентно, из-за физических явлений на бесконечно малых расстояниях.
Обзор
Поскольку бесконечный результат нефизичен, ультрафиолетовые расхождения часто требуют специальной обработки для устранения нефизических эффектов, присущих возмутительным формализмам. В частности, ультрафиолетовые расхождения часто можно устранить с помощью регуляризации и перенормировки. Успешное разрешение ультрафиолетовой дивергенции известно как ультрафиолетовое завершение. Если их нельзя устранить, это означает, что теория не является хорошо определенной в рамках теории возмущений на очень коротких расстояниях. Название происходит от самого раннего примера такого расхождения, "ультрафиолетовой катастрофы", впервые обнаруженной при изучении излучения абсолютно черного тела. Согласно классической физике конца XIX века, количество излучения в виде света, испускаемого на определенной длине волны, должно увеличиваться с уменьшением длины волны – в частности, излучение ультрафиолетового света от тела, излучающего как абсолютно черное тело, должно быть значительно больше, чем инфракрасного. Однако измерения показали обратное: максимальная энергия излучается на промежуточных длинах волн, что указывало на несостоятельность классической механики. Эта проблема в конечном итоге привела к развитию квантовой механики. Успешное разрешение первоначальной ультрафиолетовой катастрофы стимулировало поиск решений других проблем, связанных с ультрафиолетовыми расхождениями. Аналогичную проблему в электромагнетизме решил Ричард Фейнман, применив квантовую теорию поля с использованием групп перенормировки, что привело к успешному созданию квантовой электродинамики (КЭД). Схожие методы привели к созданию Стандартной модели физики элементарных частиц. Ультрафиолетовые расхождения остаются ключевым аспектом в исследовании новых физических теорий, таких как суперсимметрия.
Пролиферация в теории возмущений
Комментируя тот факт, что современные теории о квантовом рассеянии фундаментальных частиц выросли из применения процедуры квантования к классическим полям, удовлетворяющим волновым уравнениям, Дж. Д. Бьёркен и Сидни Дрелл указали на следующие факты об этой процедуре, которые остаются актуальными и сегодня, как и в 1965 году:
Во-первых, мы приходим к теории с дифференциальным распространением волн. Функции поля являются непрерывными функциями непрерывных параметров x и t, и изменения в полях в точке x определяются свойствами полей, бесконечно близких к этой точке x. Для большинства волновых полей (например, звуковых волн и колебаний струн и мембран) такое описание является идеализацией, справедливой для расстояний, превышающих характерную длину, определяющую гранулярность среды. Для меньших расстояний эти теории претерпевают существенные изменения. Электромагнитное поле является заметным исключением. Действительно, до тех пор, пока специальная теория относительности не отменила необходимость механистической интерпретации, физики прилагали значительные усилия для обнаружения доказательств такого механического описания поля излучения. После отказа от требования существования эфира, распространяющего световые волны, стало значительно проще принять ту же идею, когда наблюдаемые волновые свойства электрона подсказали введение нового поля. Действительно, нет никаких свидетельств существования эфира, лежащего в основе электронной волны. Однако, экстраполировать современные экспериментальные знания, предполагая, что волновое описание, успешное на «больших» расстояниях (то есть атомных длинах ≈10⁻⁸ см), может быть распространено на расстояния на много порядков меньшие (например, меньше ядерных длин ≈10⁻¹³ см) – грубое и глубокое упрощение. В релятивистской теории мы видели, что предположение о корректности описания поля в произвольно малых пространственно-временных интервалах в теории возмущений привело к расходящимся выражениям для самоэнергии электрона и его голого заряда. Теория перенормировки позволила обойти эти трудности с расходимостями, что может указывать на неудачу разложения в ряд возмущений. Однако, широко распространено мнение, что расходимости являются симптомом хронического неблагополучия в поведении теории на малых расстояниях. Тогда возникает вопрос, почему локальные теории поля, то есть теории полей, которые можно описать дифференциальными законами распространения волн, получили столь широкое распространение и признание. Существует несколько причин, включая важную – с их помощью была достигнута значительная область согласования с наблюдениями. Но главная причина предельно проста: не существует убедительной теории, которая избегала бы использования дифференциальных уравнений поля.
The first is that we are led to a theory with differential wave propagation. The field functions are continuous functions of continuous parameters x and t, and the changes in the fields at a point x are determined by properties of the fields infinitesimally close to the point x. For most wave fields (for example, sound waves and the vibrations of strings and membranes) such a description is an idealization which is valid for distances larger than the characteristic length which measures the granularity of the medium. For smaller distances these theories are modified in a profound way. The electromagnetic field is a notable exception. Indeed, until the special theory of relativity obviated the necessity of a mechanistic interpretation, physicists made great efforts to discover evidence for such a mechanical description of the radiation field. After the requirement of an “ether” which propagates light waves had been abandoned, there was considerably less difficulty in accepting this same idea when the observed wave properties of the electron suggested the introduction of a new field. Indeed there is no evidence of an ether which underlies the electron wave. However, it is a gross and profound extrapolation of present experimental knowledge to assume that a wave description successful at “large” distances (that is, atomic lengths ≈10 −8 cm) may be extended to distances an indefinite number of orders of magnitude smaller (for example, to less than nuclear lengths ≈10 −13 cm). In the relativistic theory, we have seen that the assumption that the field description is correct in arbitrarily small space time intervals has led—in perturbation theory—to divergent expressions for the electron self energy and the bare charge. Renormalization theory has sidestepped these divergence difficulties, which may be indicative of the failure of the perturbation expansion. However, it is widely felt that the divergences are symptomatic of a chronic disorder in the small distance behaviour of the theory. We might then ask why local field theories, that is, theories of fields which can be described by differential laws of wave propagation, have been so extensively used and accepted. There are several reasons, including the important one that with their aid a significant region of agreement with observations has been found. But the foremost reason is brutally simple: there exists no convincing form of a theory which avoids differential field equations.