Диаграммы Фейнмана: Визуализация поведения субатомных частиц

Введение

Изобразительное представление поведения субатомных частиц

В теоретической физике диаграмма Фейнмана – это наглядное представление математических выражений, описывающих поведение и взаимодействие субатомных частиц. Эта схема названа в честь американского физика Ричарда Фейнмана, который впервые представил эти диаграммы в 1948 году. Взаимодействие субатомных частиц может быть сложным и трудным для понимания; диаграммы Фейнмана обеспечивают простое визуальное представление того, что в противном случае было бы сложной и абстрактной формулой. По словам Дэвида Кайзера, «с середины XX века теоретические физики все чаще используют этот инструмент для выполнения важных вычислений. Диаграммы Фейнмана произвели революцию практически во всех аспектах теоретической физики». Хотя диаграммы применяются главным образом в квантовой теории поля, они также могут использоваться в других областях физики, таких как теория твердого тела. Фрэнк Вильчек писал, что вычисления, за которые он получил Нобелевскую премию по физике в 2004 году, «будут буквально невозможны без диаграмм Фейнмана, как и вычисления [Вильчека], которые проложили путь к производству и наблюдению частицы Хиггса». Фейнман использовал интерпретацию Эрнста Штюкельберга позитрона как электрона, движущегося назад во времени. Таким образом, античастицы изображаются движущимися в обратном направлении по оси времени на диаграммах Фейнмана. Вычисление амплитуд вероятности в теоретической физике частиц требует использования довольно громоздких и сложных интегралов по большому числу переменных. Диаграммы Фейнмана позволяют графически представлять эти интегралы. Диаграмма Фейнмана – это графическое представление возмущающего вклада в амплитуду перехода или корреляционную функцию квантовой механической или статистической теории поля. В канонической формулировке квантовой теории поля диаграмма Фейнмана представляет собой член в расширении Вика возмущающей S-матрицы. Альтернативно, интегральное представление квантовой теории поля выражает амплитуду перехода как взвешенную сумму всех возможных траекторий системы от начального до конечного состояния, рассматриваемых с точки зрения частиц или полей. Амплитуда перехода затем определяется как матричный элемент S-матрицы между начальным и конечным состояниями квантовой системы.

In theoretical physics, a Feynman diagram is a pictorial representation of the mathematical expressions describing the behavior and interaction of subatomic particles. The scheme is named after American physicist Richard Feynman, who introduced the diagrams in 1948. The interaction of subatomic particles can be complex and difficult to understand; Feynman diagrams give a simple visualization of what would otherwise be an arcane and abstract formula. According to David Kaiser, "Since the middle of the 20th century, theoretical physicists have increasingly turned to this tool to help them undertake critical calculations. Feynman diagrams have revolutionized nearly every aspect of theoretical physics." While the diagrams are applied primarily to quantum field theory, they can also be used in other areas of physics, such as solid state theory. Frank Wilczek wrote that the calculations that won him the 2004 Nobel Prize in Physics "would have been literally unthinkable without Feynman diagrams, as would [Wilczek's] calculations that established a route to production and observation of the Higgs particle." Feynman used Ernst Stueckelberg's interpretation of the positron as if it were an electron moving backward in time. Thus, antiparticles are represented as moving backward along the time axis in Feynman diagrams. The calculation of probability amplitudes in theoretical particle physics requires the use of rather large and complicated integrals over a large number of variables. Feynman diagrams can represent these integrals graphically. A Feynman diagram is a graphical representation of a perturbative contribution to the transition amplitude or correlation function of a quantum mechanical or statistical field theory. Within the canonical formulation of quantum field theory, a Feynman diagram represents a term in the Wick's expansion of the perturbative S matrix. Alternatively, the path integral formulation of quantum field theory represents the transition amplitude as a weighted sum of all possible histories of the system from the initial to the final state, in terms of either particles or fields. The transition amplitude is then given as the matrix element of the S matrix between the initial and final states of the quantum system.

Мотивация и история

При расчете сечений рассеяния в физике частиц взаимодействие между частицами можно описать, исходя из свободного поля, описывающего входящие и выходящие частицы, и включая гамильтониан взаимодействия для описания того, как частицы отклоняют друг друга. Амплитуда рассеяния — это сумма по всем возможным историям взаимодействия, учитывающим все возможные промежуточные состояния частиц. Порядок разложения в теории возмущений определяется количеством применений гамильтониана взаимодействия, а теория возмущений по времени для полей известна как ряд Дайсона. Если промежуточные состояния в промежуточные моменты времени являются собственными состояниями энергии (наборами частиц с определенным импульсом), то ряд называется старомодной теорией возмущений (или теорией возмущений, зависящей от времени/упорядоченной по времени). Ряд Дайсона можно переписать как сумму по диаграммам Фейнмана, где на каждой вершине сохраняются энергия и импульс, но длина четырехвектора энергии-импульса не обязательно равна массе, то есть промежуточные частицы называются находящимися вне оболочки. Диаграммы Фейнмана гораздо удобнее отслеживать, чем «старомодные» члены, поскольку старомодный подход рассматривает вклады частицы и античастицы как отдельные. Каждая диаграмма Фейнмана представляет собой сумму экспоненциально большого числа старомодных членов, поскольку каждая внутренняя линия может отдельно представлять частицу или античастицу. В нерелятивистской теории нет античастиц и нет дублирования, поэтому каждая диаграмма Фейнмана включает только один член. Фейнман предложил процедуру вычисления амплитуды (правила Фейнмана, ниже) для любой заданной диаграммы, исходя из лагранжиана теории поля. Каждая внутренняя линия соответствует фактору, определяемому пропагатором виртуальной частицы; каждая вершина, где линии сходятся, дает вклад, полученный из члена взаимодействия в лагранжиане, а входящие и выходящие линии переносят энергию, импульс и спин. Помимо своей ценности как математического инструмента, диаграммы Фейнмана дают глубокое физическое понимание природы взаимодействий частиц. Частицы взаимодействуют всеми возможными способами; фактически, промежуточным виртуальным частицам разрешено распространяться быстрее света. Вероятность каждого конечного состояния затем получается суммированием по всем таким возможностям. Это тесно связано с функциональным интегральным формализмом квантовой механики, также изобретенным Фейнманом — см. интеграл по траекториям. Наивное применение таких вычислений часто приводит к диаграммам с бесконечными амплитудами, поскольку взаимодействия частиц на коротких расстояниях требуют аккуратной предельной процедуры, включающей самодействия частиц. Техника перенормировки, предложенная Эрнстом Штюкельбергом и Гансом Бете и реализованная Дайсоном, Фейнманом, Швингером и Томонагой, компенсирует этот эффект и устраняет нежелательные бесконечности. После перенормировки вычисления с использованием диаграмм Фейнмана согласуются с экспериментальными результатами с очень высокой точностью. Методы диаграмм Фейнмана и интеграла по траекториям также используются в статистической механике и могут даже применяться к классической механике.

When calculating scattering cross sections in particle physics, the interaction between particles can be described by starting from a free field that describes the incoming and outgoing particles, and including an interaction Hamiltonian to describe how the particles deflect one another. The amplitude for scattering is the sum of each possible interaction history over all possible intermediate particle states. The number of times the interaction Hamiltonian acts is the order of the perturbation expansion, and the time dependent perturbation theory for fields is known as the Dyson series. When the intermediate states at intermediate times are energy eigenstates (collections of particles with a definite momentum) the series is called old fashioned perturbation theory (or time dependent/time ordered perturbation theory). The Dyson series can be alternatively rewritten as a sum over Feynman diagrams, where at each vertex both the energy and momentum are conserved, but where the length of the energy momentum four vector is not necessarily equal to the mass, i. e. the intermediate particles are so called off shell. The Feynman diagrams are much easier to keep track of than "old fashioned" terms, because the old fashioned way treats the particle and antiparticle contributions as separate. Each Feynman diagram is the sum of exponentially many old fashioned terms, because each internal line can separately represent either a particle or an antiparticle. In a non relativistic theory, there are no antiparticles and there is no doubling, so each Feynman diagram includes only one term. Feynman gave a prescription for calculating the amplitude (the Feynman rules, below) for any given diagram from a field theory Lagrangian. Each internal line corresponds to a factor of the virtual particle's propagator; each vertex where lines meet gives a factor derived from an interaction term in the Lagrangian, and incoming and outgoing lines carry an energy, momentum, and spin. In addition to their value as a mathematical tool, Feynman diagrams provide deep physical insight into the nature of particle interactions. Particles interact in every way available; in fact, intermediate virtual particles are allowed to propagate faster than light. The probability of each final state is then obtained by summing over all such possibilities. This is closely tied to the functional integral formulation of quantum mechanics, also invented by Feynman—see path integral formulation. The naïve application of such calculations often produces diagrams whose amplitudes are infinite, because the short distance particle interactions require a careful limiting procedure, to include particle self interactions. The technique of renormalization, suggested by Ernst Stueckelberg and Hans Bethe and implemented by Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga compensates for this effect and eliminates the troublesome infinities. After renormalization, calculations using Feynman diagrams match experimental results with very high accuracy. Feynman diagram and path integral methods are also used in statistical mechanics and can even be applied to classical mechanics.

Альтернативные названия

Мюррей Гелл-Манн всегда называл диаграммы Фейнмана диаграммами Штюкельберга, в честь швейцарского физика Эрнста Штюкельберга, который разработал аналогичную нотацию за много лет до этого. Штюкельберг был мотивирован необходимостью явно ковариантного формализма для квантовой теории поля, но не предложил автоматизированного способа обработки факторов симметрии и петель, хотя именно он первым дал правильную физическую интерпретацию в терминах траекторий частиц, движущихся вперед и назад во времени, и всё это – без использования интеграла по траекториям. Исторически, как инструмент для ведения расчетов в ковариантной теории возмущений, эти графики назывались диаграммами Фейнмана — Дайсона или графиками Дайсона, поскольку интеграл по траекториям был мало знаком, когда они были введены, а вывод Фримена Дайсона из классической теории возмущений, основанный на возмутительных разложениях в статистической механике, был более понятен физикам, подготовленным по более ранним методикам. Фейнману пришлось приложить немало усилий, чтобы диаграммы были приняты, так как они вызывали недоумение у физиков, привыкших к уравнениям и графикам.

Представление физической реальности

В своих представлениях фундаментальных взаимодействий, изложенных с позиций физики частиц, Жерар 'т Хоофт и Мартинус Велтман привели веские аргументы в пользу того, чтобы рассматривать оригинальные, нерегуляризованные диаграммы Фейнмана как наиболее сжатое представление наших современных знаний о физике квантового рассеяния фундаментальных частиц. Их мотивы согласуются с убеждениями Джеймса Дэниела Бьёркена и Сидни Дрелла: диаграммы и правила вычисления Фейнмана суммируют квантовую теорию поля в форме, тесно связанной с экспериментальными данными, которые мы стремимся понять. Хотя формулировка теории в терминах диаграмм может подразумевать теорию возмущений, использование графических методов в задаче о многих телах показывает, что этот формализм достаточно гибок для описания явлений непертурбативной природы. Некоторые модификации правил вычисления Фейнмана вполне могут пережить сложную математическую структуру локальной канонической квантовой теории поля.

В квантовых теориях поля диаграммы Фейнмана выводятся из лагранжиана с помощью правил Фейнмана. Размерностная регуляризация – это метод регуляризации интегралов при вычислении диаграмм Фейнмана, который приписывает им значения, являющиеся мероморфными функциями вспомогательного комплексного параметра d, называемого размерностью. Размерностная регуляризация представляет интеграл Фейнмана как интеграл, зависящий от пространственно-временной размерности d и координат пространства-времени.

Интерпретация пути частиц

Диаграмма Фейнмана — это графическое представление процессов квантовой теории поля с точки зрения взаимодействия частиц. Частицы изображаются линиями диаграммы, которые могут быть прямыми или волнистыми, с направляющей стрелкой или без неё, в зависимости от типа частицы. Точка, в которой линии соединяются с другими линиями, называется вершиной, и именно в ней частицы встречаются и взаимодействуют: излучая или поглощая новые частицы, отклоняясь друг от друга или изменяя свой тип. Существуют три типа линий: внутренние линии соединяют две вершины, входящие линии простираются от «прошлого» к вершине и представляют начальное состояние, а исходящие линии — от вершины к «будущему» и представляют конечное состояние (последние две также называются внешними линиями). Традиционно, нижняя часть диаграммы соответствует прошлому, а верхняя — будущему; в других случаях прошлое находится слева, а будущее — справа. При вычислении корреляционных функций вместо амплитуд рассеяния понятия прошлого и будущего отсутствуют, и все линии являются внутренними. Тогда частицы начинаются и заканчиваются на маленьких крестиках (x), обозначающих положения операторов, корреляция которых вычисляется. Диаграмма Фейнмана — это наглядное представление вклада в полную амплитуду процесса, который может происходить различными способами. Когда группа входящих частиц рассеивается, этот процесс можно представить как движение частиц по всем возможным траекториям, включая траектории, идущие назад во времени. Диаграммы Фейнмана часто путают с диаграммами пространства-времени и изображениями из пузырьковых камер, поскольку все они описывают рассеяние частиц. Диаграмма Фейнмана — это граф, представляющий взаимодействие частиц, а не их физическое положение в процессе рассеяния. В отличие от изображения из пузырьковой камеры, только сумма всех диаграмм Фейнмана описывает конкретное взаимодействие частиц; частицы не выбирают какую-либо одну диаграмму при каждом взаимодействии. Закон суммирования соответствует принципу суперпозиции: каждая диаграмма вносит вклад в общую амплитуду процесса.

A Feynman diagram is a representation of quantum field theory processes in terms of particle interactions. The particles are represented by the lines of the diagram, which can be squiggly or straight, with an arrow or without, depending on the type of particle. A point where lines connect to other lines is a vertex, and this is where the particles meet and interact: by emitting or absorbing new particles, deflecting one another, or changing type. There are three different types of lines: internal lines connect two vertices, incoming lines extend from "the past" to a vertex and represent an initial state, and outgoing lines extend from a vertex to "the future" and represent the final state (the latter two are also known as external lines). Traditionally, the bottom of the diagram is the past and the top the future; other times, the past is to the left and the future to the right. When calculating correlation functions instead of scattering amplitudes, there is no past and future and all the lines are internal. The particles then begin and end on little x's, which represent the positions of the operators whose correlation is being calculated. Feynman diagrams are a pictorial representation of a contribution to the total amplitude for a process that can happen in several different ways. When a group of incoming particles are to scatter off each other, the process can be thought of as one where the particles travel over all possible paths, including paths that go backward in time. Feynman diagrams are often confused with spacetime diagrams and bubble chamber images because they all describe particle scattering. Feynman diagrams are graphs that represent the interaction of particles rather than the physical position of the particle during a scattering process. Unlike a bubble chamber picture, only the sum of all the Feynman diagrams represent any given particle interaction; particles do not choose a particular diagram each time they interact. The law of summation is in accord with the principle of superposition—every diagram contributes to the total amplitude for the process.

Описание

Диаграмма Фейнмана представляет собой возмутительный вклад в амплитуду квантового перехода из некоторого начального квантового состояния в некоторое конечное квантовое состояние. Например, в процессе аннигиляции электрона и позитрона начальным состоянием является один электрон и один позитрон, а конечным состоянием — два фотона. Часто предполагается, что начальное состояние находится слева от диаграммы, а конечное состояние — справа (хотя другие соглашения также используются довольно часто). Диаграмма Фейнмана состоит из точек, называемых вершинами, и линий, прикрепленных к вершинам. Частицы в начальном состоянии изображаются линиями, идущими в направлении начального состояния (например, влево), а частицы в конечном состоянии — линиями, идущими в направлении конечного состояния (например, вправо). В КЭД существует два типа частиц: частицы материи, такие как электроны или позитроны (называемые фермионами), и частицы обмена (называемые калибровочными бозонами). Они представлены на диаграммах Фейнмана следующим образом: электрон в начальном состоянии изображается сплошной линией со стрелкой, указывающей на спин частицы, например, направленной к вершине (→•). Электрон в конечном состоянии изображается линией со стрелкой, указывающей на спин частицы, например, направленной от вершины (•→). Позитрон в начальном состоянии изображается сплошной линией со стрелкой, указывающей на спин частицы, например, направленной от вершины (←•). Позитрон в конечном состоянии изображается линией со стрелкой, указывающей на спин частицы, например, направленной к вершине (•←). Виртуальный фотон в начальном и конечном состоянии изображается волнистой линией (~• и •~). В КЭД вершина всегда имеет три линии, прикрепленные к ней: одну бозонную линию, одну фермионную линию со стрелкой, направленной к вершине, и одну фермионную линию со стрелкой, направленной от вершины. Вершины могут быть соединены бозонным или фермионным пропагатором. Бозонный пропагатор изображается волнистой линией, соединяющей две вершины (•~•). Фермионный пропагатор изображается сплошной линией (со стрелкой в том или ином направлении), соединяющей две вершины (•←•). Количество вершин определяет порядок члена в разложении в ряд возмущений амплитуды перехода.

A Feynman diagram represents a perturbative contribution to the amplitude of a quantum transition from some initial quantum state to some final quantum state. For example, in the process of electron positron annihilation the initial state is one electron and one positron, the final state: two photons. The initial state is often assumed to be at the left of the diagram and the final state at the right (although other conventions are also used quite often). A Feynman diagram consists of points, called vertices, and lines attached to the vertices. The particles in the initial state are depicted by lines sticking out in the direction of the initial state (e. g., to the left), the particles in the final state are represented by lines sticking out in the direction of the final state (e. g., to the right). In QED there are two types of particles: matter particles such as electrons or positrons (called fermions) and exchange particles (called gauge bosons). They are represented in Feynman diagrams as follows:
Electron in the initial state is represented by a solid line, with an arrow indicating the spin of the particle e. g. pointing toward the vertex (→•). Electron in the final state is represented by a line, with an arrow indicating the spin of the particle e. g. pointing away from the vertex: (•→). Positron in the initial state is represented by a solid line, with an arrow indicating the spin of the particle e. g. pointing away from the vertex: (←•). Positron in the final state is represented by a line, with an arrow indicating the spin of the particle e. g. pointing toward the vertex: (•←). Virtual Photon in the initial and the final state is represented by a wavy line (~• and •~). In QED a vertex always has three lines attached to it: one bosonic line, one fermionic line with arrow toward the vertex, and one fermionic line with arrow away from the vertex. The vertices might be connected by a bosonic or fermionic propagator. A bosonic propagator is represented by a wavy line connecting two vertices (•~•). A fermionic propagator is represented by a solid line (with an arrow in one or another direction) connecting two vertices, (•←•). The number of vertices gives the order of the term in the perturbation series expansion of the transition amplitude.

Формулирование интеграла пути

В интеграле по траекториям лагранжиан поля, интегрированный по всем возможным траекториям поля, определяет амплитуду вероятности перехода из одной конфигурации поля в другую. Чтобы теория поля имела смысл, она должна обладать чётко определённым основным состоянием, а интеграл должен быть немного сдвинут в область мнимого времени, то есть произведено вращение Вика. Формализм интеграла по траекториям полностью эквивалентен рассмотренному выше формализму канонических операторов.

Взаимодействие

Взаимодействия представлены вкладами более высокого порядка, поскольку квадратичные вклады всегда гауссовские. Самое простое взаимодействие – это квартичное самодействие, с действием: Причина комбинаторного фактора 4! станет ясной в ближайшее время. Запишем действие в терминах решёточных (или континуальных) мод Фурье: где SF – свободное действие, функции корреляции которого задаются теоремой Вика. Экспонента S в интеграле по траекториям может быть разложена в ряд по λ, что даёт ряд поправок к свободному действию. Интеграл по траекториям для взаимодействующего действия, таким образом, представляет собой степенной ряд поправок к свободному действию. Термин, представленный X, следует представлять как четыре полулинии, по одной для каждого множителя φ(k). Полулинии сходятся в вершине, которая вносит дельта-функцию, обеспечивающую равенство суммы импульсов. Для вычисления корреляционной функции в взаимодействующей теории теперь появляется вклад от X-членов. Например, интеграл по траекториям для коррелятора четырёх полей: который в свободном поле был отличен от нуля только при равенстве импульсов k попарно, теперь отличен от нуля для всех значений k. Импульсы вставок φ(ki) теперь могут быть согласованы с импульсами X в разложении. Вставки также следует представлять как полулинии, в данном случае четыре, переносящие импульс k, но не интегрируемые. Вклад наименьшего порядка исходит от первого нетривиального члена e^(-SF)X в разложении Тейлора действия. Теорема Вика требует, чтобы импульсы в полулиниях X, множители φ(k) в X, согласовывались с импульсами внешних полулиний попарно. Новый вклад равен: Комбинаторный фактор 4! внутри X сокращается, поскольку существует ровно 4! способов сопоставить полулинии в X с внешними полулиниями. Каждый из этих различных способов сопоставления полулиний попарно вносит вклад ровно один раз, независимо от значений k1,2,3,4, согласно теореме Вика.

Порядок циклов

Диаграмма леса – это диаграмма, в которой импульс всех внутренних линий полностью определяется внешними линиями и условием равенства входящего и исходящего импульса в каждой вершине. Вклад этих диаграмм представляет собой произведение пропагаторов, без какого-либо интегрирования. Диаграмма дерева – это связная лесная диаграмма. Примером диаграммы дерева является диаграмма, в которой каждая из четырех внешних линий заканчивается на X. Другой пример – когда три внешних линии заканчиваются на X, а оставшаяся половина линии соединяется с другим X, а оставшиеся половины линии этого X выходят к внешним линиям. Все они также являются лесными диаграммами (поскольку каждое дерево – это лес); пример леса, который не является деревом, – это когда восемь внешних линий заканчиваются на двух X. Легко проверить, что во всех этих случаях импульс на всех внутренних линиях определяется внешним импульсом и условием сохранения импульса в каждой вершине. Диаграмма, которая не является лесной диаграммой, называется петлевой диаграммой, и примером является диаграмма, в которой две линии X соединены с внешними линиями, а остальные две линии соединены друг с другом. Две линии, соединенные друг с другом, могут иметь любой импульс, поскольку они входят и выходят из одной и той же вершины. Более сложный пример – это когда два X соединены друг с другом, соединяя их "ноги" друг с другом. На этой диаграмме нет внешних линий. Петлевые диаграммы называются петлевыми диаграммами, потому что число k-интегралов, оставшихся неопределенными из-за сохранения импульса, равно числу независимых замкнутых контуров на диаграмме, где независимые контуры подсчитываются как в теории гомологии. Гомология имеет действительные значения (фактически – значения из R^d), значение, связанное с каждой линией, – это импульс. Оператор границы отображает каждую линию в сумму конечных вершин с положительным знаком в головной точке и отрицательным знаком в хвостовой точке. Условие сохранения импульса – это точно условие, что граница графа с весом k равна нулю. Набор допустимых значений k может быть произвольно переопределен всякий раз, когда существует замкнутый контур. Замкнутый контур – это циклический путь смежных вершин, который никогда не возвращается к одной и той же вершине. Такой цикл можно рассматривать как границу гипотетической 2-ячейки. k-маркировки графа, сохраняющие импульс (т.е. имеющие нулевую границу) с точностью до переопределения k (т.е. с точностью до границ 2-ячеек), определяют первую гомологию графа. Число независимых импульсов, которые не определены, тогда равно числу независимых гомологических контуров. Для многих графов это равно числу контуров, подсчитанных наиболее интуитивным способом.

A forest diagram is one where all the internal lines have momentum that is completely determined by the external lines and the condition that the incoming and outgoing momentum are equal at each vertex. The contribution of these diagrams is a product of propagators, without any integration. A tree diagram is a connected forest diagram. An example of a tree diagram is the one where each of four external lines end on an X. Another is when three external lines end on an X, and the remaining half line joins up with another X, and the remaining half lines of this X run off to external lines. These are all also forest diagrams (as every tree is a forest); an example of a forest that is not a tree is when eight external lines end on two Xs. It is easy to verify that in all these cases, the momenta on all the internal lines is determined by the external momenta and the condition of momentum conservation in each vertex. A diagram that is not a forest diagram is called a loop diagram, and an example is one where two lines of an X are joined to external lines, while the remaining two lines are joined to each other. The two lines joined to each other can have any momentum at all, since they both enter and leave the same vertex. A more complicated example is one where two Xs are joined to each other by matching the legs one to the other. This diagram has no external lines at all. The reason loop diagrams are called loop diagrams is because the number of k integrals that are left undetermined by momentum conservation is equal to the number of independent closed loops in the diagram, where independent loops are counted as in homology theory. The homology is real valued (actually 'R'^(d) valued), the value associated with each line is the momentum. The boundary operator takes each line to the sum of the end vertices with a positive sign at the head and a negative sign at the tail. The condition that the momentum is conserved is exactly the condition that the boundary of the k valued weighted graph is zero. A set of valid k values can be arbitrarily redefined whenever there is a closed loop. A closed loop is a cyclical path of adjacent vertices that never revisits the same vertex. Such a cycle can be thought of as the boundary of a hypothetical 2 cell. The k labellings of a graph that conserve momentum (i. e. which has zero boundary) up to redefinitions of k (i. e. up to boundaries of 2 cells) define the first homology of a graph. The number of independent momenta that are not determined is then equal to the number of independent homology loops. For many graphs, this is equal to the number of loops as counted in the most intuitive way.

Представление пути частиц

Диаграммы Фейнмана были первоначально открыты Фейнманом методом проб и ошибок как способ отображения вклада различных классов траекторий частиц в S-матрицу.

Непертурбативные эффекты

Рассматривая диаграммы Фейнмана как ряд возмущений, непертурбативные эффекты, такие как туннелирование, не проявляются, поскольку любой эффект, стремящийся к нулю быстрее, чем любой полином, не оказывает влияния на ряд Тейлора. Даже связанные состояния отсутствуют, так как при любом конечном порядке частицами обмениваются лишь конечное число раз, а для образования связанного состояния связывающая сила должна действовать бесконечно долго. Однако этот взгляд вводит в заблуждение, поскольку диаграммы описывают не только рассеяние, но и представляют собой описание корреляций теории поля на коротких расстояниях. Они кодируют не только асимптотические процессы, такие как рассеяние частиц, но также правила умножения полей и разложение оператора произведения. Непертурбативные туннельные процессы включают в себя конфигурации поля, которые в среднем становятся большими при уменьшении константы связи, но каждая конфигурация представляет собой когерентную суперпозицию частиц, локальные взаимодействия которых описываются диаграммами Фейнмана. При малых значениях константы связи эти процессы становятся коллективными, вовлекая большое число частиц, при этом взаимодействие между каждой из частиц остаётся простым. (Ряд возмущений любой взаимодействующей квантовой теории поля имеет нулевой радиус сходимости, что усложняет предел бесконечного ряда диаграмм, необходимого (в пределе исчезающей связи) для описания таких конфигураций поля.) Это означает, что непертурбативные эффекты проявляются асимптотически при суммировании бесконечных классов диаграмм, и эти диаграммы могут быть локально простыми. Графы определяют локальные уравнения движения, а разрешённые крупномасштабные конфигурации описывают непертурбативную физику. Однако, поскольку пропагаторы Фейнмана нелокальны во времени, перевод полевого процесса на язык когерентных частиц не является интуитивно очевидным и был явно разработан лишь в некоторых частных случаях. В случае нерелятивистских связанных состояний уравнение Бете-Зальпетера описывает класс диаграмм, которые необходимо включить для описания релятивистского атома. Для квантовой хромодинамики правила сумм Шифмана-Вейнштейна-Захарова описывают непертурбативно возбужденные моды поля длинных волн на языке частиц, но лишь в феноменологическом приближении. Количество диаграмм Фейнмана при высоких порядках теории возмущений очень велико, поскольку их число равно числу графов с заданным количеством вершин. Непертурбативные эффекты оставляют свой след в поведении числа диаграмм и суммирований при высоких порядках, проявляясь в их расходимости. Именно благодаря тому, что непертурбативные эффекты проявляются в скрытой форме в диаграммах, стало возможным анализировать непертурбативные эффекты в теории струн, где во многих случаях описание Фейнмана является единственно доступным.

Thinking of Feynman diagrams as a perturbation series, nonperturbative effects like tunneling do not show up, because any effect that goes to zero faster than any polynomial does not affect the Taylor series. Even bound states are absent, since at any finite order particles are only exchanged a finite number of times, and to make a bound state, the binding force must last forever. But this point of view is misleading, because the diagrams not only describe scattering, but they also are a representation of the short distance field theory correlations. They encode not only asymptotic processes like particle scattering, they also describe the multiplication rules for fields, the operator product expansion. Nonperturbative tunneling processes involve field configurations that on average get big when the coupling constant gets small, but each configuration is a coherent superposition of particles whose local interactions are described by Feynman diagrams. When the coupling is small, these become collective processes that involve large numbers of particles, but where the interactions between each of the particles is simple. (The perturbation series of any interacting quantum field theory has zero radius of convergence, complicating the limit of the infinite series of diagrams needed (in the limit of vanishing coupling) to describe such field configurations.) This means that nonperturbative effects show up asymptotically in resummations of infinite classes of diagrams, and these diagrams can be locally simple. The graphs determine the local equations of motion, while the allowed large scale configurations describe non perturbative physics. But because Feynman propagators are nonlocal in time, translating a field process to a coherent particle language is not completely intuitive, and has only been explicitly worked out in certain special cases. In the case of nonrelativistic bound states, the Bethe–Salpeter equation describes the class of diagrams to include to describe a relativistic atom. For quantum chromodynamics, the Shifman–Vainshtein–Zakharov sum rules describe non perturbatively excited long wavelength field modes in particle language, but only in a phenomenological way. The number of Feynman diagrams at high orders of perturbation theory is very large, because there are as many diagrams as there are graphs with a given number of nodes. Nonperturbative effects leave a signature on the way in which the number of diagrams and resummations diverge at high order. It is only because non perturbative effects appear in hidden form in diagrams that it was possible to analyze nonperturbative effects in string theory, where in many cases a Feynman description is the only one available.

В популярной культуре

Использование вышеуказанной диаграммы виртуальной частицы, порождающей кварк-антикварковую пару, было показано в телевизионном комедийном сериале "Теория Большого взрыва" в эпизоде "Гипотеза о банке с летучими мышами". Комикс PhD Comics от 11 января 2012 года демонстрирует диаграммы Фейнмана, которые визуализируют и описывают квантовые академические взаимодействия, то есть пути, которые проходят аспиранты при взаимодействии со своими научными руководителями. В научно-фантастическом рассказе Стивена Бакстера "Вакуумные диаграммы" фигурирует одноименная вакуумная диаграмма – специфический тип диаграммы Фейнмана. Фейнман и его жена, Гвенет Хоуарт, приобрели Dodge Tradesman Maxivan в 1975 году и расписали его диаграммами Фейнмана. В настоящее время фургон принадлежит дизайнеру видеоигр и физику Шеймусу Блэкли. Номерной знак фургона был "Квантом".