Эффект Казимира: Квантовая сила притяжения и отталкивания.

Введение

Сила, возникающая в результате квантования поля.

В квантовой теории поля эффект Казимира (или сила Казимира) — это физическая сила, действующая на макроскопические границы ограниченного пространства, возникающая из квантовых флуктуаций поля. Эффект назван в честь голландского физика Хендрика Казимира, который предсказал его для электромагнитных систем в 1948 году. В том же году Казимир совместно с Дирком Полдером описал аналогичный эффект, испытываемый нейтральным атомом вблизи макроскопического интерфейса, который называется силой Казимира — Польдера. В 1997 году Стивен К. Ламоро провел прямой эксперимент, количественно измеривший силу Казимира с точностью до 5% от значения, предсказанного теорией. Поскольку значение этой энергии зависит от формы и расположения материалов, эффект Казимира проявляется как сила между этими объектами. Любая среда, поддерживающая колебания, имеет аналогичный эффект Казимира. Например, бусины на нити, а также пластины, погруженные в турбулентную воду или газ, иллюстрируют силу Казимира. В современной теоретической физике эффект Казимира играет важную роль в хиральной модели мешка нуклона; в прикладной физике он значим в некоторых аспектах развивающихся микро- и нанотехнологий.

Физические свойства

Типичный пример – две незаряженные проводящие пластины в вакууме, расположенные на расстоянии нескольких нанометров друг от друга. В классическом описании отсутствие внешнего поля означает, что между пластинами нет поля и никакая сила их не связывает. Когда это поле изучается с использованием квантового электродинамического вакуума, становится видно, что пластины действительно влияют на виртуальные фотоны, составляющие поле, и генерируют результирующую силу – либо притяжение, либо отталкивание, в зависимости от конкретного расположения пластин. Хотя эффект Казимира можно выразить в терминах взаимодействия виртуальных частиц с объектами, его лучше всего описывать и легче рассчитывать с точки зрения энергии нулевой точки квантованного поля в пространстве между объектами. Эта сила была измерена и является ярким примером эффекта, формально зафиксированного в рамках второго квантования. Обращение с граничными условиями в этих расчетах остаётся предметом споров. Фактически, "первоначальной целью Казимира было вычислить силу Ван-дер-Ваальса между поляризуемыми молекулами" проводящих пластин. Таким образом, его можно интерпретировать без обращения к энергии нулевой точки (энергии вакуума) квантовых полей. Поскольку величина силы быстро убывает с расстоянием, она измерима только при малых расстояниях между объектами. Эта сила становится настолько значительной, что становится доминирующей силой между незаряженными проводниками в субмикронном масштабе. Действительно, при разделении в 10 нм – примерно в 100 раз больше типичного размера атома – эффект Казимира создаёт эквивалент примерно 1 атмосферы давления (точное значение зависит от геометрии поверхности и других факторов). Эта особая форма называется силой Казимира-Польдера. После беседы с Нильсом Бором, который предположил, что это связано с энергией нулевой точки, Казимир самостоятельно сформулировал теорию, предсказывающую силу между нейтральными проводящими пластинами в 1948 году, или поляризацию в случае света, энергии и так далее. В среднем, большинство этих свойств компенсируют друг друга: вакуум, в конце концов, "пуст" в этом смысле. Одним важным исключением является вакуумная энергия или вакуумное ожидаемое значение энергии. Квантование простого гармонического осциллятора утверждает, что наименьшая возможная энергия или энергия нулевой точки, которой может обладать такой осциллятор, равна суммирование по всем возможным осцилляторам во всех точках пространства даёт бесконечное значение. Поскольку физически измеримы только разности энергий (за исключением гравитации, которая остаётся за пределами квантовой теории поля), эта бесконечность может рассматриваться как особенность математики, а не физики. Этот аргумент лежит в основе теории перенормировки. Работа с бесконечными величинами таким образом вызывала широкое беспокойство среди теоретиков квантовых полей до разработки в 1970-х годах группы перенормировки – математического формализма для преобразований масштаба, который обеспечивает естественную основу для этого процесса. Когда область физики расширяется, чтобы включить гравитацию, интерпретация этой формально бесконечной величины остаётся проблематичной. В настоящее время нет убедительного объяснения, почему она не должна приводить к космологической константе, которая на много порядков больше наблюдаемой. Однако, поскольку у нас ещё нет полностью непротиворечивой квантовой теории гравитации, нет также убедительной причины, почему она должна вместо этого приводить к наблюдаемому значению космологической константы. Эффект Казимира для фермионов можно понять как спектральную асимметрию фермионного оператора (−1)^F, где он известен как индекс Виттена.

The typical example is of two uncharged conductive plates in a vacuum, placed a few nanometers apart. In a classical description, the lack of an external field means that no field exists between the plates, and no force connects them. When this field is instead studied using the quantum electrodynamic vacuum, it is seen that the plates do affect the virtual photons that constitute the field, and generate a net force – either an attraction or a repulsion depending on the plates' specific arrangement. Although the Casimir effect can be expressed in terms of virtual particles interacting with the objects, it is best described and more easily calculated in terms of the zero point energy of a quantized field in the intervening space between the objects. This force has been measured and is a striking example of an effect captured formally by second quantization. The treatment of boundary conditions in these calculations is controversial. In fact, "Casimir's original goal was to compute the van der Waals force between polarizable molecules" of the conductive plates. Thus it can be interpreted without any reference to the zero point energy (vacuum energy) of quantum fields. Because the strength of the force falls off rapidly with distance, it is measurable only when the distance between the objects is small. This force becomes so strong that it becomes the dominant force between uncharged conductors at submicron scales. In fact, at separations of 10 nm – about 100 times the typical size of an atom – the Casimir effect produces the equivalent of about 1 atmosphere of pressure (the precise value depends on surface geometry and other factors). this special form is called the Casimir–Polder force. After a conversation with Niels Bohr, who suggested it had something to do with zero point energy, Casimir alone formulated the theory predicting a force between neutral conducting plates in 1948. or polarization in the case of light, energy, and so on. On average, most of these properties cancel out: the vacuum is, after all, "empty" in this sense. One important exception is the vacuum energy or the vacuum expectation value of the energy. The quantization of a simple harmonic oscillator states that the lowest possible energy or zero point energy that such an oscillator may have is

Summing over all possible oscillators at all points in space gives an infinite quantity. Since only differences in energy are physically measurable (with the notable exception of gravitation, which remains beyond the scope of quantum field theory), this infinity may be considered a feature of the mathematics rather than of the physics. This argument is the underpinning of the theory of renormalization. Dealing with infinite quantities in this way was a cause of widespread unease among quantum field theorists before the development in the 1970s of the renormalization group, a mathematical formalism for scale transformations that provides a natural basis for the process. When the scope of the physics is widened to include gravity, the interpretation of this formally infinite quantity remains problematic. There is currently no compelling explanation as to why it should not result in a cosmological constant that is many orders of magnitude larger than observed. However, since we do not yet have any fully coherent quantum theory of gravity, there is likewise no compelling reason as to why it should instead actually result in the value of the cosmological constant that we observe. The Casimir effect for fermions can be understood as the spectral asymmetry of the fermion operator (−1)^(F), where it is known as the Witten index.

Релятивистская сила Ван-дер-Ваальса

В 2005 году Роберт Джаффе из MIT заявил, что "эффекты Казимира могут быть сформулированы, а силы Казимира могут быть вычислены без обращения к энергиям нулевой точки. Это релятивистские, квантовые силы между зарядами и токами. Сила Казимира (на единицу площади) между параллельными пластинами стремится к нулю при стремлении альфа, постоянной тонкой структуры, к нулю, а стандартный результат, который, по-видимому, не зависит от альфа, соответствует пределу, при котором альфа стремится к бесконечности", и что "Сила Казимира – это просто (релятивистская, запаздывающая) сила Ван-дер-Ваальса между металлическими пластинами". В последнее время Николич доказал из первых принципов квантовой электродинамики, что сила Казимира не происходит из вакуумной энергии электромагнитного поля, и объяснил простыми словами, почему фундаментальный микроскопический источник силы Казимира заключается в силах Ван-дер-Ваальса.

Эффекты

Казимир заметил, что второе квантованное электромагнитное поле в присутствии массивных тел, таких как металлы или диэлектрики, должно подчиняться тем же граничным условиям, что и классическое электромагнитное поле. В частности, это влияет на вычисление энергии вакуума в присутствии проводника или диэлектрика. Рассмотрим, например, вычисление вакуумного среднего значения электромагнитного поля внутри металлической полости, такой как радиолокационная полость или микроволновой волновод. В этом случае правильный способ найти энергию нулевой точки поля – это суммировать энергии стоячих волн полости. Каждой возможной стоячей волне соответствует энергия; скажем, энергия n-й стоячей волны равна En. Вакуумное среднее значение энергии электромагнитного поля в полости, таким образом, равно сумме, проходящей по всем возможным значениям n, нумерующим стоячие волны. Фактор ½ присутствует, потому что энергия нулевой точки n-го мода равна ħω/2, где En – приращение энергии для n-го мода. (Это то же самое ½, что и в уравнении E=ħω). Записанная таким образом, эта сумма явно расходится; однако, её можно использовать для получения конечных выражений. В частности, можно спросить, как энергия нулевой точки зависит от формы s полости. Каждый энергетический уровень En зависит от формы, и поэтому следует писать En(s) для энергетического уровня и <E>(s) для вакуумного среднего значения. В этот момент приходит важное замечание: сила в точке p на стенке полости равна изменению энергии вакуума, если форма s стенки немного возмущена, скажем, на δs, в точке p. То есть, имеем:

Casimir's observation was that the second quantized quantum electromagnetic field, in the presence of bulk bodies such as metals or dielectrics, must obey the same boundary conditions that the classical electromagnetic field must obey. In particular, this affects the calculation of the vacuum energy in the presence of a conductor or dielectric. Consider, for example, the calculation of the vacuum expectation value of the electromagnetic field inside a metal cavity, such as, for example, a radar cavity or a microwave waveguide. In this case, the correct way to find the zero point energy of the field is to sum the energies of the standing waves of the cavity. To each and every possible standing wave corresponds an energy; say the energy of the nth standing wave is En. The vacuum expectation value of the energy of the electromagnetic field in the cavity is then

with the sum running over all possible values of n enumerating the standing waves. The factor of is present because the zero point energy of the nth mode is , where En is the energy increment for the nth mode. (It is the same as appears in the equation .) Written in this way, this sum is clearly divergent; however, it can be used to create finite expressions. In particular, one may ask how the zero point energy depends on the shape s of the cavity. Each energy level En depends on the shape, and so one should write En(s) for the energy level, and for the vacuum expectation value. At this point comes an important observation: The force at point p on the wall of the cavity is equal to the change in the vacuum energy if the shape s of the wall is perturbed a little bit, say by δs, at p. That is, one has

This value is finite in many practical calculations. Attraction between the plates can be easily understood by focusing on the one dimensional situation. Suppose that a moveable conductive plate is positioned at a short distance a from one of two widely separated plates (distance l apart). With a ≪ l, the states within the slot of width a are highly constrained so that the energy E of any one mode is widely separated from that of the next. This is not the case in the large region l where there is a large number of states (about ) with energy evenly spaced between E and the next mode in the narrow slot, or in other words, all slightly larger than E. Now on shortening a by an amount da (which is negative), the mode in the narrow slot shrinks in wavelength and therefore increases in energy proportional to , whereas all the states that lie in the large region lengthen and correspondingly decrease their energy by an amount proportional to (note the different denominator). The two effects nearly cancel, but the net change is slightly negative, because the energy of all the modes in the large region are slightly larger than the single mode in the slot. Thus the force is attractive: it tends to make a slightly smaller, the plates drawing each other closer, across the thin slot.

Это значение конечно во многих практических расчетах. Притяжение между пластинами можно легко понять, сосредоточившись на одномерной ситуации. Предположим, что подвижная проводящая пластина расположена на небольшом расстоянии a от одной из двух широко разнесенных пластин (расстояние l). При a ≪ l состояния в щели ширины a сильно ограничены, так что энергия E любого мода сильно отличается от энергии следующего. Это не так в большой области l, где имеется большое количество состояний (порядка l/a) с равномерно распределенной энергией между E и следующим модом в узкой щели, или, другими словами, все немного больше, чем E. Теперь при уменьшении a на величину da (которая отрицательна), мод в узкой щели уменьшается в длине волны и, следовательно, увеличивается в энергии пропорционально 1/a², тогда как все состояния, находящиеся в большой области, удлиняются и соответственно уменьшают свою энергию на величину, пропорциональную 1/l (обратите внимание на разные знаменатели). Два эффекта почти компенсируют друг друга, но чистое изменение немного отрицательно, потому что энергия всех состояний в большой области немного больше, чем у единственного мода в щели. Таким образом, сила является притягивающей: она стремится сделать a немного меньше, притягивая пластины друг к другу через тонкую щель.

Более поздняя теория

Анализ Казимира идеализированных металлических пластин был обобщен Евгением Лифшицем и его учениками на произвольные диэлектрические и реалистичные металлические пластины. Используя этот подход, усложнения, связанные с ограничивающими поверхностями, такие как модификации силы Казимира из-за конечной проводимости, могут быть вычислены численно с использованием табличных комплексных диэлектрических функций ограничивающих материалов. Теория Лифшица для двух металлических пластин переходит в идеализированный закон силы Казимира при больших расстояниях между ними, значительно превышающих глубину проникновения электромагнитной волны в металл, и, наоборот, переходит в закон силы дисперсионного взаимодействия Лондона (с коэффициентом, называемым постоянной Хамакера) при малых расстояниях, а для промежуточных расстояний наблюдается более сложная зависимость от расстояния, определяемая дисперсией материалов. Результат Лифшица впоследствии был обобщен на произвольные многослойные плоские геометрии, а также на анизотропные и магнитные материалы, но в течение нескольких десятилетий вычисление сил Казимира для непланарных геометрий оставалось ограниченным несколькими идеализированными случаями, допускающими аналитические решения. Однако в 2010-х годах ряд авторов разработали и продемонстрировали различные численные методы, во многих случаях адаптированные из классической вычислительной электродинамики, способные точно вычислять силы Казимира для произвольных геометрий и материалов – от простых эффектов конечного размера пластин до более сложных явлений, возникающих для структурированных поверхностей или объектов различной формы.

Измерение

Одно из первых экспериментальных испытаний было проведено Маркусом Спарнааем в Philips в Эйндховене (Нидерланды) в 1958 году, в сложном и деликатном эксперименте с параллельными пластинами, получив результаты, не противоречащие теории Казимира, но с большими экспериментальными погрешностями. Эффект Казимира был измерен более точно в 1997 году Стивом К. Ламорео из Национальной лаборатории Лос-Аламос и Умаром Мохидином и Анушри Рой из Калифорнийского университета в Риверсайде. На практике, вместо использования двух параллельных пластин, что потребовало бы феноменально точной настройки для обеспечения их параллельности, в экспериментах использовали одну плоскую пластину и другую, являющуюся частью сферы с очень большим радиусом. В 2001 году группе (Джакомо Бресси, Джанни Каруньо, Роберто Онофрио и Джузеппе Руозо) из Университета Падуи (Италия) наконец удалось измерить силу Казимира между параллельными пластинами с помощью микрорезонаторов. Многочисленные вариации этих экспериментов обобщены в обзоре Климчицкой за 2009 год. В 2013 году группа ученых из Гонконгского университета науки и технологий, Университета Флориды, Гарвардского университета, Массачусетского технологического института и Национальной лаборатории Оук-Ридж продемонстрировала компактный интегрированный кремниевый чип для измерения силы Казимира. Интегрированный чип, изготовленный с помощью электронной литографии, не требует дополнительной настройки, что делает его идеальной платформой для измерения силы Казимира между сложными геометрическими формами. В 2017 и 2021 годах та же группа из Гонконгского университета науки и технологий продемонстрировала немонотонную силу Казимира и силу Казимира, не зависящую от расстояния, соответственно, используя эту чиповую платформу.

Общие положения

Эффект Казимира также может быть вычислен с использованием математических механизмов функциональных интегралов квантовой теории поля, хотя такие вычисления значительно более абстрактны и, следовательно, сложны для понимания. Кроме того, они могут быть выполнены только для простейших геометрий. Однако формализм квантовой теории поля показывает, что суммирование по вакуумным ожиданиям в определенном смысле является суммированием по так называемым "виртуальным частицам". Более интересно понимать, что суммы энергий стоячих волн должны формально интерпретироваться как суммы собственных значений гамильтониана. Это позволяет рассматривать атомные и молекулярные эффекты, такие как сила Ван-дер-Ваальса, как вариант эффекта Казимира. Таким образом, гамильтониан системы рассматривается как функция расположения объектов, таких как атомы, в конфигурационном пространстве. Изменение энергии нулевой точки в зависимости от изменения конфигурации можно понимать как результат действия сил между объектами. В хиральной модели мешка нуклона энергия Казимира играет важную роль в демонстрации независимости массы нуклона от радиуса мешка. Кроме того, спектральная асимметрия интерпретируется как ненулевое вакуумное ожидаемое значение барионного числа, компенсирующее топологический виндинг пионного поля, окружающего нуклон. Эффект "псевдо-Казимира" можно наблюдать в системах жидких кристаллов, где граничные условия, определяемые закреплением на жестких стенках, приводят к силе дальнего действия, аналогичной силе, возникающей между проводящими пластинами.

Динамический эффект Казимира

Динамический эффект Казимира — это рождение частиц и энергии из ускоряющегося движущегося зеркала. Это явление было предсказано некоторыми численными решениями уравнений квантовой механики, полученными в 1970-х годах. В мае 2011 года исследователи из Технологического университета Чалмерса в Гетеборге, Швеция, объявили об обнаружении динамического эффекта Казимира. В их эксперименте микроволновые фотоны генерировались из вакуума в сверхпроводящем микроволновом резонаторе. Для изменения эффективной длины резонатора во времени, имитируя зеркало, движущееся с необходимой релятивистской скоростью, эти исследователи использовали модифицированный SQUID. В случае подтверждения, это станет первой экспериментальной проверкой динамического эффекта Казимира. В марте 2013 года в научном журнале PNAS была опубликована статья, описывающая эксперимент, продемонстрировавший динамический эффект Казимира в метаматериале на основе переходов Джозефсона. В июле 2019 года появилась публикация, описывающая эксперимент, предоставивший доказательства оптического динамического эффекта Казимира в дисперсионно-колеблющемся волокне. В 2020 году Фрэнк Вильчек и другие предложили решение парадокса потери информации, связанного с моделью движущегося зеркала в динамическом эффекте Казимира. Построенный в рамках квантовой теории поля в искривлённом пространстве-времени, динамический эффект Казимира (модель движущегося зеркала) использовался для лучшего понимания эффекта Унру.

Отталкивающие силы

Есть несколько случаев, когда эффект Казимира может приводить к возникновению отталкивающих сил между незаряженными объектами. Евгений Лифшиц теоретически показал, что при определенных обстоятельствах (наиболее часто с жидкостями) могут возникать отталкивающие силы. Это вызвало интерес к применению эффекта Казимира для разработки устройств левитации. Экспериментальное подтверждение отталкивания, предсказанного Лифшицем на основе эффекта Казимира, было получено Мундеем и др., которые описали это явление как «квантовую левитацию». Другие ученые также предложили использовать среды с усилением для достижения аналогичного эффекта левитации, однако это вызывает споры, поскольку эти материалы, по-видимому, нарушают фундаментальные ограничения причинности и требование термодинамического равновесия (соотношения Крамерса — Кронига). Отталкивание, обусловленное эффектами Казимира и Казимира — Польдера, может возникать для достаточно анизотропных диэлектрических тел; обзор вопросов, связанных с отталкиванием, представлен в работе Милтона и др. Значительным недавним достижением в области отталкивающих сил Казимира является использование хиральных материалов. Цзян из Стокгольмского университета и лауреат Нобелевской премии Вильчек из MIT показали, что хиральная «смазка» может генерировать отталкивающие, усиленные и настраиваемые взаимодействия Казимира. Тимоти Бойер в своей работе, опубликованной в 1968 году, показал, что проводник с сферической симметрией также будет проявлять эту отталкивающую силу, причем результат не зависит от радиуса. Дальнейшие исследования показали, что отталкивающую силу можно генерировать с использованием материалов с тщательно подобранными диэлектрическими свойствами.

Спекулятивные приложения

Было высказано предположение, что силы Казимира находят применение в нанотехнологиях, в частности, в микро- и наноэлектромеханических системах (MEMS), основанных на кремниевой интегральной схемотехнологии, а также в так называемых осцилляторах Казимира. В 1995 и 1998 годах Maclay и др. опубликовали первые модели MEMS, использующих силы Казимира. Хотя в этих работах силы Казимира не использовались для совершения полезной работы, они привлекли внимание сообщества MEMS, поскольку было показано, что эффект Казимира необходимо учитывать как важный фактор при проектировании MEMS в будущем. В частности, эффект Казимира может быть критическим фактором при возникновении явления прилипания в MEMS. В 2001 году Capasso и др. продемонстрировали, как эту силу можно использовать для управления механическим движением MEMS-устройства. Исследователи подвесили поликремниевую пластину на торсионном стержне – горизонтальном стержне, способном к скручиванию, диаметром всего несколько микрон. При поднесении металлизированной сферы к пластине сила притяжения Казимира между ними заставляла пластину вращаться. Они также изучили динамическое поведение устройства MEMS, заставив пластину колебаться. Сила Казимира уменьшала частоту колебаний и приводила к нелинейным явлениям, таким как гистерезис и бистабильность в частотной характеристике осциллятора. По мнению исследователей, поведение системы хорошо соответствовало теоретическим расчетам. Эффект Казимира демонстрирует, что квантовая теория поля допускает отрицательную плотность энергии в очень малых областях пространства по сравнению с обычной энергией вакуума, однако плотность энергии не может быть произвольно отрицательной, поскольку теория перестает работать на атомных расстояниях. Такие известные физики, как Стивен Хокинг и Кип Торн, предполагали, что подобные эффекты могут позволить стабилизировать проходимую червоточину.

Вводные показания

Описание эффекта Казимира из версии Usenet FAQ по физике Калифорнийского университета в Риверсайде. А. Ламбрехт, Эффект Казимира: сила из ничего, Physics World, сентябрь 2002 года.

Документы, книги и лекции

(Включает обсуждение французской военно-морской аналогии.) (Также включает обсуждение французской военно-морской аналогии.) Патент № PCT/RU2011/000847 Автор Урмацких.