Введение
Неожиданная связь в теории групп
В математике, монструозный лунный свет (или теория монструозного лунного света) — это неожиданная связь между монструозной группой M и модулярными функциями, в частности, функцией j. Первоначальное численное наблюдение было сделано Джоном МакКеем в 1978 году, а термин был предложен Джоном Конвеем и Саймоном П. Нортоном в 1979 году. Монструозный лунный свет теперь известен тем, что имеет в своей основе алгебру операторов вершин, называемую модулем лунного света (или монструозной алгеброй вершин), построенную Игорем Френкелем, Джеймсом Леповским и Арне Мюрманом в 1988 году, в которой монструозная группа является группой симметрий. Эта алгебра операторов вершин обычно интерпретируется как структура, лежащая в основе двухмерной конформной теории поля, что позволяет физике служить мостом между двумя математическими областями. Предположения, выдвинутые Конвеем и Нортоном, были доказаны Ричардом Борчердсом для модуля лунного света в 1992 году с использованием теоремы об отсутствии призраков из теории струн и теории алгебр операторов вершин и обобщенных алгебр Каца — Муди.
История
В 1978 году Джон Маккей обнаружил, что первые несколько членов в разложении Фурье нормализованного инварианта J могут быть выражены в терминах линейных комбинаций размерностей неприводимых представлений группы монстров M с небольшими неотрицательными коэффициентами. Инвариант J имеет вид
with and τ as the half period ratio, and the M expressions, letting = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, , are
The LHS are the coefficients of , while in the RHS the integers are the dimensions of irreducible representations of the monster group M. (Since there can be several linear relations between the such as , the representation may be in more than one way.) McKay viewed this as evidence that there is a naturally occurring infinite dimensional graded representation of M, whose graded dimension is given by the coefficients of J, and whose lower weight pieces decompose into irreducible representations as above. After he informed John G. Thompson of this observation, Thompson suggested that because the graded dimension is just the graded trace of the identity element, the graded traces of nontrivial elements g of M on such a representation may be interesting as well. Conway and Norton computed the lower order terms of such graded traces, now known as McKay–Thompson series Tg, and found that all of them appeared to be the expansions of Hauptmoduln. In other words, if Gg is the subgroup of SL2(R) which fixes Tg, then the quotient of the upper half of the complex plane by Gg is a sphere with a finite number of points removed, and furthermore, Tg generates the field of meromorphic functions on this sphere. Based on their computations, Conway and Norton produced a list of Hauptmoduln, and conjectured the existence of an infinite dimensional graded representation of M, whose graded traces Tg are the expansions of precisely the functions on their list. In 1980, A. Oliver L. Atkin, Paul Fong and Stephen D. Smith produced strong computational evidence that such a graded representation exists, by decomposing a large number of coefficients of J into representations of M. A graded representation whose graded dimension is J, called the moonshine module, was explicitly constructed by Igor Frenkel, James Lepowsky, and Arne Meurman, giving an effective solution to the McKay–Thompson conjecture, and they also determined the graded traces for all elements in the centralizer of an involution of M, partially settling the Conway–Norton conjecture. Furthermore, they showed that the vector space they constructed, called the Moonshine Module , has the additional structure of a vertex operator algebra, whose automorphism group is precisely M.
In 1985, the Atlas of Finite Groups was published by a group of mathematicians, including John Conway. The Atlas, which enumerates all sporadic groups, included "Moonshine" as a section in its list of notable properties of the monster group. Borcherds proved the Conway–Norton conjecture for the Moonshine Module in 1992. He won the Fields Medal in 1998 in part for his solution of the conjecture.
, где τ — отношение полупериодов, а выражения для M, полагая = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, , являются следующими. Левая часть (LHS) представляет собой коэффициенты , а в правой части (RHS) целые числа — это размерности неприводимых представлений группы монстров M. (Поскольку может существовать несколько линейных соотношений между , например, , представление может быть задано несколькими способами.) Маккей рассматривал это как свидетельство существования естественного бесконечномерного градуированного представления M, чья градуированная размерность задается коэффициентами J, а её компоненты с наименьшим весом раскладываются на неприводимые представления, как указано выше. После того, как он сообщил об этом наблюдении Джону Г. Томпсону, Томпсон предположил, что поскольку градуированная размерность является просто градуированным следом единичного элемента, градуированные следы нетривиальных элементов g из M на таком представлении также могут представлять интерес. Конвей и Нортон вычислили члены низшего порядка таких градуированных следов, теперь известные как ряды Маккея — Томпсона Tg, и обнаружили, что все они, по-видимому, являются разложениями в ряд главных модулей (Hauptmoduln). Другими словами, если Gg — это подгруппа SL2(R), которая фиксирует Tg, то фактор верхней полуплоскости комплексной плоскости на Gg является сферой с конечным числом удалённых точек, и, кроме того, Tg порождает поле мероморфных функций на этой сфере. На основе своих вычислений Конвей и Нортон составили список главных модулей и предположили существование бесконечномерного градуированного представления M, чьи градуированные следы Tg являются разложениями именно функций из их списка. В 1980 году А. Оливер Л. Аткин, Пол Фонг и Стивен Д. Смит предоставили веские вычислительные доказательства существования такого градуированного представления, разложив большое количество коэффициентов J на представления M. Градуированное представление, чья градуированная размерность равна J, называемое модулем лунного света (moonshine module), было явно построено Игорем Френкелем, Джеймсом Леповским и Арне Мюрманом, что дало эффективное решение гипотезы Маккея — Томпсона, и они также определили градуированные следы для всех элементов в централизаторе инволюции M, частично разрешив гипотезу Конвея — Нортона. Кроме того, они показали, что построенное ими векторное пространство, называемое модулем лунного света, имеет дополнительную структуру алгебры вершинных операторов, чья группа автоморфизмов равна M. В 1985 году группой математиков, включая Джона Конвея, был опубликован «Атлас конечных групп». «Атлас», в котором перечислены все спорадические группы, включил раздел «Лунный свет» в свой список замечательных свойств группы монстров. Борчердс доказал гипотезу Конвея — Нортона для модуля лунного света в 1992 году. Он получил Филдсовскую премию в 1998 году, в том числе за решение этой гипотезы.
with and τ as the half period ratio, and the M expressions, letting = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, , are
The LHS are the coefficients of , while in the RHS the integers are the dimensions of irreducible representations of the monster group M. (Since there can be several linear relations between the such as , the representation may be in more than one way.) McKay viewed this as evidence that there is a naturally occurring infinite dimensional graded representation of M, whose graded dimension is given by the coefficients of J, and whose lower weight pieces decompose into irreducible representations as above. After he informed John G. Thompson of this observation, Thompson suggested that because the graded dimension is just the graded trace of the identity element, the graded traces of nontrivial elements g of M on such a representation may be interesting as well. Conway and Norton computed the lower order terms of such graded traces, now known as McKay–Thompson series Tg, and found that all of them appeared to be the expansions of Hauptmoduln. In other words, if Gg is the subgroup of SL2(R) which fixes Tg, then the quotient of the upper half of the complex plane by Gg is a sphere with a finite number of points removed, and furthermore, Tg generates the field of meromorphic functions on this sphere. Based on their computations, Conway and Norton produced a list of Hauptmoduln, and conjectured the existence of an infinite dimensional graded representation of M, whose graded traces Tg are the expansions of precisely the functions on their list. In 1980, A. Oliver L. Atkin, Paul Fong and Stephen D. Smith produced strong computational evidence that such a graded representation exists, by decomposing a large number of coefficients of J into representations of M. A graded representation whose graded dimension is J, called the moonshine module, was explicitly constructed by Igor Frenkel, James Lepowsky, and Arne Meurman, giving an effective solution to the McKay–Thompson conjecture, and they also determined the graded traces for all elements in the centralizer of an involution of M, partially settling the Conway–Norton conjecture. Furthermore, they showed that the vector space they constructed, called the Moonshine Module , has the additional structure of a vertex operator algebra, whose automorphism group is precisely M.
In 1985, the Atlas of Finite Groups was published by a group of mathematicians, including John Conway. The Atlas, which enumerates all sporadic groups, included "Moonshine" as a section in its list of notable properties of the monster group. Borcherds proved the Conway–Norton conjecture for the Moonshine Module in 1992. He won the Fields Medal in 1998 in part for his solution of the conjecture.
Модульный лунный свет
В начале 1990-х теоретик групп А. Дж. Е. Рыба обнаружил замечательные сходства между частями таблицы характеров монстра и характерами Брауэра некоторых подгрупп. В частности, для элемента g простого порядка p в монстре, многие неприводимые характеры элемента порядка kp, чья k-я степень равна g, являются простыми комбинациями характеров Брауэра для элемента порядка k в централизаторе g. Это было численным свидетельством явления, подобного монструозному лунному свету, но для представлений в положительной характеристике. В частности, Рыба предположил в 1994 году, что для каждого простого делителя p в порядке монстра существует градуированная вершинная алгебра над конечным полем Fp с действием централизатора элемента g порядка p, такой что градуированный характер Брауэра любого p-регулярного автоморфизма h равен ряду Маккея — Томпсона для gh. В 1996 году Борчердс и Рыба переформулировали гипотезу как утверждение о когомологии Тейта самодвойственной интегральной формы. О существовании такой интегральной формы не было известно, но они построили самодвойственную форму над Z[1/2], что позволило им работать с нечетными простыми числами p. Когомология Тейта для элемента простого порядка естественным образом имеет структуру супервершинной алгебры над Fp, и они разбили задачу на простую стадию, отождествляющую градуированный суперхарактер Брауэра с рядом Маккея — Томпсона, и сложную стадию, доказывающую, что когомология Тейта обращается в нуль в нечетных степенях. Они доказали это утверждение для малых нечетных простых чисел, перенеся результат об обращении в нуль из решетки Лича. В 1998 году Борчердс показал, что обращение в нуль выполняется и для остальных нечетных простых чисел, используя комбинацию теории Ходжа и интегральное уточнение теоремы об отсутствии призраков (, ). Случай порядка 2 требует существования формы над 2-адическим кольцом, то есть конструкции, не содержащей деления на 2, и в то время о существовании такой формы ничего не было известно. Остается множество нерешенных вопросов, например, как гипотеза Рыбы должна обобщаться на когомологии Тейта элементов составного порядка, и какова природа связей с обобщенным лунным светом и другими феноменами лунного света.
In 1996, Borcherds and Ryba reinterpreted the conjecture as a statement about Tate cohomology of a self dual integral form of This integral form was not known to exist, but they constructed a self dual form over Z[1/2], which allowed them to work with odd primes p. The Tate cohomology for an element of prime order naturally has the structure of a super vertex algebra over Fp, and they broke up the problem into an easy step equating graded Brauer super trace with the McKay Thompson series, and a hard step showing that Tate cohomology vanishes in odd degree. They proved the vanishing statement for small odd primes, by transferring a vanishing result from the Leech lattice In 1998, Borcherds showed that vanishing holds for the remaining odd primes, using a combination of Hodge theory and an integral refinement of the no ghost theorem (, ). The case of order 2 requires the existence of a form of over a 2 adic ring, i. e., a construction that does not divide by 2, and this was not known to exist at the time. There remain many additional unanswered questions, such as how Ryba's conjecture should generalize to Tate cohomology of composite order elements, and the nature of any connections to generalized moonshine and other moonshine phenomena.
Предполагаемая связь с квантовой гравитацией
В 2007 году Э. Виттен предположил, что соответствие AdS/CFT устанавливает двойственность между чистой квантовой гравитацией в (2+1)-мерном пространстве анти-де Ситтера и экстремальными голоморфными CFT. Чистая гравитация в 2+1 измерениях не имеет локальных степеней свободы, но при отрицательной космологической константе в теории появляется нетривиальное содержание благодаря существованию решений черных дыр BTZ. Экстремальные CFT, введенные Г. Хён, характеризуются отсутствием первичных полей Вирасоро при низких энергиях, и модулем лунного света является одним из примеров. Согласно предложению Виттена, гравитация в пространстве AdS с максимально отрицательной космологической константой дуальна по AdS/CFT голоморфной CFT с центральным зарядом c=24, а ее функция разделения точно соответствует j 744, то есть градуированному характеру модуля лунного света. Исходя из гипотезы Френкеля — Леповского — Мюрмана о том, что модуль лунного света является единственной голоморфной VOA с центральным зарядом 24 и характером j 744, Виттен заключил, что чистая гравитация с максимально отрицательной космологической константой дуальна монстру CFT. Частью предложения Виттена является утверждение о том, что первичные поля Вирасоро дуальны операторам создания черных дыр, и в качестве проверки согласованности он обнаружил, что в пределе больших масс полуклассическая оценка энтропии Бекенштейна — Хокинга для заданной массы черной дыры согласуется с логарифмом соответствующей кратности первичных полей Вирасоро в модуле лунного света. В области малых масс наблюдается небольшая квантовая поправка к энтропии: например, наименьшие по энергии первичные поля дают ln(196883) ~ 12.19, в то время как оценка Бекенштейна — Хокинга дает ~ 12.57. Последующие работы уточнили предложение Виттена. Виттен предположил, что экстремальные CFT с большей космологической константой могут обладать симметрией монстра, аналогичной минимальному случаю, но это было быстро опровергнуто независимыми работами Гайотто и Хёна. Работы Виттена и Малони показали, что чистая квантовая гравитация может не удовлетворять некоторым проверкам согласованности, связанным с ее функцией разделения, если не выполняются определенные тонкие свойства комплексных седловых точек. Однако Ли — Сонг — Стромингер предположили, что хиральная теория квантовой гравитации, предложенная Маншотом в 2007 году, может обладать лучшими свойствами стабильности, будучи дуальной хиральной части монстра CFT, то есть алгебре вершин монстра. Дункан — Френкель предоставили дополнительные доказательства этой двойственности, используя суммы Радемахера для получения рядов Маккея — Томпсона в качестве (2+1)-мерных гравитационных функций разделения посредством регуляризованного суммирования по геометриям изогенезии глобального тора. Кроме того, они предположили существование семейства искаженных хиральных теорий гравитации, параметризованных элементами монстра, что указывает на связь с обобщенным лунным сиянием и суммами гравитационных инстантонов. В настоящее время все эти идеи остаются достаточно спекулятивными, отчасти из-за отсутствия строгих математических основ для 3D квантовой гравитации.
Матье Луновой Шампанзе
В 2010 году Тору Эгучи, Хироси Оогури и Юдзи Тачикава заметили, что эллиптический род поверхности K3 можно разложить на характеры суперконформной алгебры, причем кратности массивных состояний представляются простыми комбинациями неприводимых представлений группы Матье M24. Это наводит на мысль о существовании сигма-модели конформной теории поля с K3-пространством в качестве цели, обладающей симметрией M24. Однако, согласно классификации Мукая–Кондо, не существует верного действия этой группы на какой-либо поверхности K3 посредством симплектических автоморфизмов, а по результатам Габердиэля–Хогенеггера–Волпато, не существует верного действия на какую-либо сигма-модель конформной теории поля на K3, поэтому появление действия на лежащем в основе гильбертовом пространстве остается загадкой. По аналогии с рядами Маккей–Томпсона, Ченг предположил, что как функции кратности, так и градуированные следы нетривиальных элементов M24 образуют ложномодулярные формы. В 2012 году Ганнон доказал, что все кратности, кроме первой, являются неотрицательными целочисленными комбинациями представлений M24, а Габердиэль–Перссон–Ронленфитс–Волпато вычислили все аналоги обобщенных лунных функций, что убедительно свидетельствует о том, что за лунным светом Матье скрывается некий аналог голоморфной конформной теории поля. Также в 2012 году Ченг, Дункан и Харви собрали численные доказательства феномена "умбрального лунного света", при котором семейства ложномодулярных форм, по-видимому, связаны с решетками Нимейера. Частный случай решетки A дает лунный свет Матье, но в общем случае это явление пока не имеет геометрической интерпретации.
Происхождение термина
Термин «монструозный лунный свет» был введен Конвеем, который, узнав от Джона Маккея в конце 1970-х годов, что коэффициент (а именно 196884) на единицу больше степени наименьшего верного комплексного представления группы монстров (а именно 196883), ответил, что это «лунный свет» (в смысле абсурдной или нелепой идеи). Таким образом, этот термин относится не только к группе монстров M, но и к кажущейся невероятности сложной связи между M и теорией модулярных функций.
Сопутствующие замечания
Группа монстров была исследована в 1970-х годах математиками Жаном Пьером Серром, Эндрю Оггом и Джоном Г. Томпсоном; они изучали фактор-пространство гиперболической плоскости по подгруппам SL2(R), в частности, нормализатор Γ0(p)+ группы конгруэнтности Гекке Γ0(p) в SL(2,R). Они обнаружили, что риманова поверхность, получающаяся в результате взятия фактор-пространства гиперболической плоскости по Γ0(p)+, имеет род ноль тогда и только тогда, когда p равно 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 или 71. Когда Огг позже узнал о группе монстров и заметил, что это как раз простые множители порядка M, он опубликовал статью, предлагая бутылку виски Jack Daniel's тому, кто сможет объяснить этот факт.