Кіріспе
Топтар теориясындағы күтпеген байланыс
Математикада, айшықты айшықтылық немесе айшықтылық теориясы – бұл айшықты топ M мен модульдік функциялар арасындағы күтпеген байланыс, әсіресе j функциясы. Алғашқы сандық байқауды Джон Маккей 1978 жылы жасады, ал бұл атауды Джон Конвей мен Саймон П. Нортон 1979 жылы берді. Айшықты айшықтылық Игорь Френкель, Джеймс Леповский және Арне Мюрман 1988 жылы құрастырған айшықты модуль (немесе айшықтылық vertex алгебрасы) деп аталатын vertex оператор алгебрасымен түсіндіріледі, оның симметриялар тобы ретінде айшықты топ табылады. Бұл vertex оператор алгебрасы көбінесе физикаға екі математикалық саланың арасында байланыс құруға мүмкіндік беретін екі өлшемді конформдық өріс теориясының негізіндегі құрылым ретінде қарастырылады. Конвей мен Нортонның болжамдарын Ричард Борчердс 1992 жылы, "айшықты" модуль үшін, ішек теориясынан "көлеңке" теоремасын және vertex оператор алгебралары теориясын, сондай-ақ обобщен Кац-Муди алгебраларын қолдана отырып, дәлелдеді.
Тарих
1978 жылы Джон Маккей нормаланған J инвариантының Фурье кеңейтуіндегі алғашқы бірнеше мүшелерді M монстр тобының кішкентай теріс емес коэффициенттері бар өзгермейтін өкілдіктерінің өлшемдерінің сызықтық комбинациялары түрінде көрсетуге болатынын тапты. J инварианты мынадай:
with and τ as the half period ratio, and the M expressions, letting = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, , are
The LHS are the coefficients of , while in the RHS the integers are the dimensions of irreducible representations of the monster group M. (Since there can be several linear relations between the such as , the representation may be in more than one way.) McKay viewed this as evidence that there is a naturally occurring infinite dimensional graded representation of M, whose graded dimension is given by the coefficients of J, and whose lower weight pieces decompose into irreducible representations as above. After he informed John G. Thompson of this observation, Thompson suggested that because the graded dimension is just the graded trace of the identity element, the graded traces of nontrivial elements g of M on such a representation may be interesting as well. Conway and Norton computed the lower order terms of such graded traces, now known as McKay–Thompson series Tg, and found that all of them appeared to be the expansions of Hauptmoduln. In other words, if Gg is the subgroup of SL2(R) which fixes Tg, then the quotient of the upper half of the complex plane by Gg is a sphere with a finite number of points removed, and furthermore, Tg generates the field of meromorphic functions on this sphere. Based on their computations, Conway and Norton produced a list of Hauptmoduln, and conjectured the existence of an infinite dimensional graded representation of M, whose graded traces Tg are the expansions of precisely the functions on their list. In 1980, A. Oliver L. Atkin, Paul Fong and Stephen D. Smith produced strong computational evidence that such a graded representation exists, by decomposing a large number of coefficients of J into representations of M. A graded representation whose graded dimension is J, called the moonshine module, was explicitly constructed by Igor Frenkel, James Lepowsky, and Arne Meurman, giving an effective solution to the McKay–Thompson conjecture, and they also determined the graded traces for all elements in the centralizer of an involution of M, partially settling the Conway–Norton conjecture. Furthermore, they showed that the vector space they constructed, called the Moonshine Module , has the additional structure of a vertex operator algebra, whose automorphism group is precisely M.
In 1985, the Atlas of Finite Groups was published by a group of mathematicians, including John Conway. The Atlas, which enumerates all sporadic groups, included "Moonshine" as a section in its list of notable properties of the monster group. Borcherds proved the Conway–Norton conjecture for the Moonshine Module in 1992. He won the Fields Medal in 1998 in part for his solution of the conjecture.
және τ – жартылай кезеңнің қатынасы, ал M өрнектері, = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, , сол жақ бөліктері – бұл коэффициенттері, ал оң жақ бөлігіндегі бүтін сандар – монстр тобының өзгермейтін өкілдіктерінің өлшемдері. ( өкілдіктер арасында бірнеше сызықтық қатынастар болуы мүмкін, мысалы, , сондықтан өкілдік бірнеше тәсілмен берілуі мүмкін.) Маккей мұны M-нің табиғи түрде шексіз өлшемді сатылаған өкілдігі бар екендігінің дәлелі ретінде қарастырды, оның сатылаған өлшемі J коэффициенттерімен беріледі және оның төменгі салмақты бөліктері жоғарыда көрсетілгендей өзгермейтін өкілдіктерге ыдырайды. Джон Г. Томпсонға осы байқау туралы хабарлағаннан кейін, Томпсон сатылаған өлшем тек бірлік элементінің сатылаған іздерін ғана білдіретіндіктен, мұндай өкілдіктегі M-нің g тривиалды емес элементтерінің сатылаған іздері де қызығушылық тудыруы мүмкін деп ұсынды. Конвей мен Нортон мұндай сатылаған іздердің төменгі реттік мүшелерін есептеп, қазір Маккей–Томпсон қатарлары Tg деп аталады, және олардың барлығы Hauptmoduln кеңейтулері болып көрінетінін тапты. Яғни, егер Gg – Tg-ді бекітетін SL2(R) кіші тобы болса, онда күрделі жазықтықтың жоғарғы жартысының Gg-ге бөлінуі – шекті сандағы нүктелері алынып тасталған сфера болып табылады, сонымен қатар Tg осы сферадағы мероморфтық функциялардың өрісін тудырады. Олардың есептеулеріне сүйене отырып, Конвей мен Нортон Hauptmoduln тізімін жасады және M-нің шексіз өлшемді сатылаған өкілдігі бар екенін болжады, оның сатылаған іздері Tg олардың тізіміндегі функциялардың дәл кеңейтулері болып табылады. 1980 жылы А. Оливер Л. Аткин, Пол Фонг және Стивен Д. Смит J-дің көптеген коэффициенттерін M-нің өкілдіктеріне жіктеу арқылы мұндай сатылаған өкілдіктің бар екендігіне күшті есептеулік дәлел келтірді. Ай сәулесі модулі деп аталатын J-дің сатылаған өлшемі сатылаған өкілдігін Игорь Френкель, Джеймс Леповский және Арне Мюрман нақты құрастырды, бұл Маккей–Томпсон болжамына тиімді шешім берді, сонымен қатар олар M-нің инволюциясының орталықтандырушысындағы барлық элементтері үшін сатылаған іздерді анықтады, бұл Конвей–Нортон болжамын ішінара шешті. Бұдан әрі, олар құрастырылған векторлық кеңістіктің, яғни Ай сәулесі модулінің, көпіршік операторлық алгебраның қосымша құрылымы бар екенін көрсетті, оның автоморфизм тобы дәл M. 1985 жылы Джон Конвейді қоса алған математиктер тобы «Текті топтардың атласын» жариялады. Барлық спорадикалық топтарды санап шығатын Атлас монстр тобының маңызды қасиеттері тізіміне «Ай сәулесі» бөлімін қосты. Борчердс 1992 жылы Ай сәулесі модулі үшін Конвей–Нортон болжамын дәлелдеді. Ол 1998 жылы Филдс медалін, ішінара, оның болжамды шешуі үшін жеңіп алды.
with and τ as the half period ratio, and the M expressions, letting = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, , are
The LHS are the coefficients of , while in the RHS the integers are the dimensions of irreducible representations of the monster group M. (Since there can be several linear relations between the such as , the representation may be in more than one way.) McKay viewed this as evidence that there is a naturally occurring infinite dimensional graded representation of M, whose graded dimension is given by the coefficients of J, and whose lower weight pieces decompose into irreducible representations as above. After he informed John G. Thompson of this observation, Thompson suggested that because the graded dimension is just the graded trace of the identity element, the graded traces of nontrivial elements g of M on such a representation may be interesting as well. Conway and Norton computed the lower order terms of such graded traces, now known as McKay–Thompson series Tg, and found that all of them appeared to be the expansions of Hauptmoduln. In other words, if Gg is the subgroup of SL2(R) which fixes Tg, then the quotient of the upper half of the complex plane by Gg is a sphere with a finite number of points removed, and furthermore, Tg generates the field of meromorphic functions on this sphere. Based on their computations, Conway and Norton produced a list of Hauptmoduln, and conjectured the existence of an infinite dimensional graded representation of M, whose graded traces Tg are the expansions of precisely the functions on their list. In 1980, A. Oliver L. Atkin, Paul Fong and Stephen D. Smith produced strong computational evidence that such a graded representation exists, by decomposing a large number of coefficients of J into representations of M. A graded representation whose graded dimension is J, called the moonshine module, was explicitly constructed by Igor Frenkel, James Lepowsky, and Arne Meurman, giving an effective solution to the McKay–Thompson conjecture, and they also determined the graded traces for all elements in the centralizer of an involution of M, partially settling the Conway–Norton conjecture. Furthermore, they showed that the vector space they constructed, called the Moonshine Module , has the additional structure of a vertex operator algebra, whose automorphism group is precisely M.
In 1985, the Atlas of Finite Groups was published by a group of mathematicians, including John Conway. The Atlas, which enumerates all sporadic groups, included "Moonshine" as a section in its list of notable properties of the monster group. Borcherds proved the Conway–Norton conjecture for the Moonshine Module in 1992. He won the Fields Medal in 1998 in part for his solution of the conjecture.
Модульді ай шамы
1990 жылдардың басында топтар теориясының маманы А.Ж.Е. Рыба, монстрдың кейіптемелер кестесінің бөліктері мен белгілі бір кіші топтардың Брауэр кейіптемелері арасындағы айқын ұқсастықтарды тапты. Атап айтқанда, монстрдағы p-ретті g элементі үшін, k-ретті g элементіне тең болатын k-шы дәрежелі элементтің көптеген ирредуктибелдік кейіптемелері, g-нің орталықтандырғышындағы k-ретті элементтің Брауэр кейіптемелерінің қарапайым комбинациялары болып табылады. Бұл, оң сипаттамадағы бейнелеулер үшін монстрлық айшық сияқты құбылысқа сандық дәлел болды. 1994 жылы Рыба, монстрдың ретіндегі әрбір p-алғашқы көбейткіші үшін, p-ретті g элементінің орталықтандырғышының әрекетімен Fp шектік өрісіндегі градуирленген төбелік алгебра бар екенін болжады, мұнда кез келген p-реттік h автоморфизмінің градуирленген Брауэр кейіптемесі gh үшін Маккей-Томпсон қатарына тең.
In 1996, Borcherds and Ryba reinterpreted the conjecture as a statement about Tate cohomology of a self dual integral form of This integral form was not known to exist, but they constructed a self dual form over Z[1/2], which allowed them to work with odd primes p. The Tate cohomology for an element of prime order naturally has the structure of a super vertex algebra over Fp, and they broke up the problem into an easy step equating graded Brauer super trace with the McKay Thompson series, and a hard step showing that Tate cohomology vanishes in odd degree. They proved the vanishing statement for small odd primes, by transferring a vanishing result from the Leech lattice In 1998, Borcherds showed that vanishing holds for the remaining odd primes, using a combination of Hodge theory and an integral refinement of the no ghost theorem (, ). The case of order 2 requires the existence of a form of over a 2 adic ring, i. e., a construction that does not divide by 2, and this was not known to exist at the time. There remain many additional unanswered questions, such as how Ryba's conjecture should generalize to Tate cohomology of composite order elements, and the nature of any connections to generalized moonshine and other moonshine phenomena.
1996 жылы Борчердс және Рыба бұл болжамды, өзіне-өзі дуалды интегралды форманың Тейт кохомологиясы туралы мәлімдеме ретінде қайта қарастырды. Бұл интегралды форманың бар екені белгісіз болды, бірақ олар Z[1/2] үстінде өзіне-өзі дуалды форманы құрды, бұл оларға тақ алғашқы сандармен жұмыс істеуге мүмкіндік берді. Tейт кохомологиясы p-ретті элемент үшін табиғи түрде Fp үстіндегі супер төбелік алгебра құрылымын иеленеді, және олар мәселені градуирленген Брауэр супер ізбен Маккей-Томпсон қатарын теңестіретін оңай қадамға және Тейт кохомологиясы тақ дәрежеде жоғалатынын көрсететін қиын қадамға бөлді. Олар Лич торынан жоғалу нәтижесін көшіру арқылы кішкентай тақ алғашқы сандар үшін жоғалу туралы мәлімдемені дәлелдеді. 1998 жылы Борчердс Ходж теориясы мен арбалы емес теореманың интегралды жетілдіруін қолдана отырып, жоғалудың қалған тақ алғашқы сандар үшін де жарамды екенін көрсетті. 2-ретті жағдай 2-адик сақинасының үстіндегі форманың болуын талап етеді, яғни 2-ге бөлінбейтін құрылым, бірақ сол кезде мұндай форманың бар екені белгісіз болды. Көптеген қосымша жауапсыз сұрақтар қалды, мысалы, Рыбаның болжамы композиттік ретті элементтердің Тейт кохомологиясына қалай жалпылануы керек және жалпыланған айшық пен басқа айшық құбылыстарымен кез келген байланыстардың сипаты.
In 1996, Borcherds and Ryba reinterpreted the conjecture as a statement about Tate cohomology of a self dual integral form of This integral form was not known to exist, but they constructed a self dual form over Z[1/2], which allowed them to work with odd primes p. The Tate cohomology for an element of prime order naturally has the structure of a super vertex algebra over Fp, and they broke up the problem into an easy step equating graded Brauer super trace with the McKay Thompson series, and a hard step showing that Tate cohomology vanishes in odd degree. They proved the vanishing statement for small odd primes, by transferring a vanishing result from the Leech lattice In 1998, Borcherds showed that vanishing holds for the remaining odd primes, using a combination of Hodge theory and an integral refinement of the no ghost theorem (, ). The case of order 2 requires the existence of a form of over a 2 adic ring, i. e., a construction that does not divide by 2, and this was not known to exist at the time. There remain many additional unanswered questions, such as how Ryba's conjecture should generalize to Tate cohomology of composite order elements, and the nature of any connections to generalized moonshine and other moonshine phenomena.
Кванттық ауырлықпен болжамды байланыс
2007 жылы Э. Виттен AdS/CFT сәйкестігі (2 + 1) өлшемді анти-де-Ситтер кеңістігіндегі таза кванттық гравитация мен экстремалды голоморфты CFT арасындағы дуалдық беретінін ұсынды. 2 + 1 өлшемдегі таза гравитацияда жергілікті еркіндік дәрежесі жоқ, бірақ космологиялық тұрақты теріс болғанда, теорияда БТЗ қара тесігінің шешімдерінің болуына байланысты маңызды мазмұн пайда болады. Г. Хон енгізген экстремалды CFT-лер төмен энергияда Вирасоро негізгі өрістерінің болмауымен ерекшеленеді, ал ай шашы модулі – оның бір мысалы. Виттеннің ұсынысы бойынша, максималды теріс космологиялық тұрақтысы бар AdS кеңістігіндегі гравитация AdS/CFT дуалдығы арқылы орталық заряды c=24-ке тең голоморфты CFT-ге тең, ал CFT-нің бөліну функциясы дәл j744-ке тең, яғни ай шашы модулінің сыныпталған сипатына. Френкель-Леповский-Мюрманның ай шашы модулі – орталық заряды 24 және j744 таңбасы бар бірегей голоморфты VOA деген болжамын қабылдап, Виттен максималды теріс космологиялық тұрақтысы бар таза гравитация CFT монстрымен дуалды деген қорытынды жасады. Виттеннің ұсынысының бір бөлігі – Вирасоро негізгі өрістері қара тесіктерді құратын операторларға дуалды, және сәйкестікті тексеру үшін ол үлкен масса шегінде Бекенштейн-Хокингтің берілген қара тесіктің массасы үшін жартылай классикалық энтропиялық бағалауы ай шашы модуліндегі сәйкес Вирасоро негізгі көптігінің логарифмімен сәйкес келетінін тапты. Аз массалы режимде энтропияға шағын кванттық түзету бар, мысалы, ең төменгі энергиялы негізгі өрістер ln(196883) ~ 12.19 нәтижесін береді, ал Бекенштейн-Хокинг бағалауы 4 ~ 12.57 нәтижесін береді. Кейінгі жұмыстар Виттеннің ұсынысын жетілдірді. Виттен экстремалды CFT-лерде үлкен космологиялық тұрақтылық болуы мүмкін және олар минималды жағдайға ұқсас монстрлық симметрияға ие болуы мүмкін деп болжады, бірақ бұл Гайотто мен Хонның тәуелсіз жұмысымен тез жоққа шығарылды. Виттен мен Малонидің жұмысы таза кванттық гравитация оның бөліну функциясымен байланысты кейбір сәйкестік тексерулерін қанағаттандырмауы мүмкін екенін көрсетті, егер күрделі атқыштардың кейбір нәзік қасиеттері жақсы нәтиже бермесе. Алайда, Ли-Сун-Стромингер 2007 жылы Мансшот ұсынған хиральдық кванттық гравитация теориясының монстрлық CFT-нің хиральдық бөлігіне, яғни монстрлық векторлық алгебраға дуалды болғанда, тұрақтылық қасиеттері жақсы болуы мүмкін екенін ұсынды. Дункан-Френкель бұл дуалдыққа қосымша дәлел келтірді, Радемачер сомасын қолданып, Маккей-Томпсон тізбесін (2 + 1) өлшемді гравитация бөліну функциялары ретінде жаһандық торус изогения геометриясының реттелген қосындысы ретінде шығарды. Сонымен қатар, олар монстр элементтерімен параметрленген қисық хиральдық гравитациялық теориялар отбасының бар екендігін болжады, бұл жалпыланған ай шашы және гравитациялық инстантон сомаларымен байланысты. Қазіргі уақытта бұл идеялардың барлығы әлі де болжамдық, өйткені 3D кванттық гравитацияның қатаң математикалық негізі жоқ.
Матье шарапшы
2010 жылы Тору Эгучи, Хироси Оогури және Юдзи Тачикава K3 бетінің эллипстік туындысын суперконформдық алгебраның таңбаларына жіктеуге болатынын байқады, сонда массивті күйлердің көптігі Матье тобының M24 тобының икемдемейтін бейнелерінің қарапайым комбинациялары болып көрінеді. Бұл K3 нысанасы бар және M24 симметриясын қамтитын сигма-модельдің конформдық өріс теориясы бар екенін ұсынады. Алайда, Мукай-Кондо классификациясына сәйкес, симплектикалық автоморфизмдер арқылы K3 бетінде бұл топтың адал әрекеті жоқ, ал Габердиел-Хогенегер-Вольпато жұмысы бойынша K3 сигма-моделінің конформдық өріс теориясында да адал әрекет жоқ, сондықтан негізгі Гильберт кеңістігінде әрекеттің пайда болуы әлі де жұмбақ. Маккей-Томпсон қатарларымен салыстырғанда, Ченг көптік функциялары мен M24-тің тривиальды емес элементтерінің дәрежеленген іздері мақтаншақ модульдік формалар құрайды деп болжады. 2012 жылы Ганнон көптіктердің барлығының, біріншісінен басқа, M24-тің бейнелерінің теріс емес бүтін комбинациялары екенін дәлелдеді, ал Габердиел-Перссон-Ронленфитч-Вольпато жалпыланған айшық функцияларының барлық аналогтарын есептеп, Матье айшығының артында голоморфты конформдық өріс теориясының аналогы бар екенін көрсетті. Сондай-ақ 2012 жылы Ченг, Дункан және Харви көлеңкелі айшық құбылысының сандық дәлелдерін жинады, онда мақтаншақ модульдік формалардың отбасылары Нимейер торларымен байланысты сияқты. A торының ерекше жағдайы Матье айшығын береді, бірақ жалпы алғанда бұл құбылыс геометрия тұрғысынан әлі түсіндірілмеген.
Терминнің шығу тегі
"Қорқынышты айшық" термині Конвеймен қабылданып алынған, ол 1970 жылдардың соңында Джон Маккейдің (яғни 196884) коэффициенті "монстр" тобының ең кішкентай адал кешендік бейнесінің дәрежесінен (яғни 196883) дәл бірге артық екенін айтқанда, бұл "айшық" (нақтырақ айтқанда, ақылға сыймас немесе бекерлік идея) деп жауап берді. Осылайша, бұл термин тек M "монстр" тобына ғана емес, сонымен қатар M мен модульдік функциялар теориясы арасындағы күрделі байланыстың қызықсыздығына да сілтеме жасайды.
Байланысты байқаулар
Монстр тобын 1970-ші жылдары математиктер Жан-Пьер Серр, Эндрю Огг және Джон Г. Томпсон зерттеді; олар SL2(R) қосалқы топтарымен гиперболалық жазықтықтың бөліндісін, әсіресе, SL(2,R)-дегі Гекке сәйкес қосалқы топтың нормализаторы Γ0(p)+-ты зерттеді. Олар гиперболалық жазықтықты Γ0(p)+ арқылы бөлуден пайда болатын Риман бетінің тек қана p 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 немесе 71 болғанда ғана нөлдік туындыға ие екенін анықтады. Огг кейіннен монстр тобы туралы естіп, бұл сандардың М-нің мөлшерінің түпкілікті көбейткіштері екенін байқағаннан кейін, осы фактіні түсіндіре алатын адамға Джек Дэниелс вискиінің бір бөтелкесін сыйлық ретінде беретінін жариялаған мақала жариялады.