Введение
Частичный порядок с соединениями
В математике полурешётка соединений (или верхняя полурешётка) — это частично упорядоченное множество, имеющее соединение (наименьшую верхнюю грань) для любого непустого конечного подмножества. Двойственно, полурешётка пересечений (или нижняя полурешётка) — это частично упорядоченное множество, имеющее пересечение (или наибольшую нижнюю грань) для любого непустого конечного подмножества. Каждая полурешётка соединений является полурешёткой пересечений в обратном порядке и наоборот. Полурешётки также могут быть определены алгебраически: соединение и пересечение — это ассоциативные, коммутативные, идемпотентные бинарные операции, и любая такая операция порождает частичный порядок (и соответствующий обратный порядок), так что результат операции для любых двух элементов является наименьшей верхней гранью (или наибольшей нижней гранью) этих элементов относительно этого частичного порядка. Решётка — это частично упорядоченное множество, которое является одновременно полурешёткой пересечений и полурешёткой соединений относительно одного и того же частичного порядка. Алгебраически решётка — это множество с двумя ассоциативными, коммутативными, идемпотентными бинарными операциями, связанными соответствующими законами поглощения.
Связь между двумя определениями
Теоретическая полурешетка встречи 1=〈S, ≤〉 порождает бинарную операцию 1=∧, такую что 1=〈S, ∧〉 является алгебраической полурешеткой встречи. И наоборот, полурешетка встречи 1=〈S, ∧〉 порождает бинарное отношение 1=≤, которое частично упорядочивает 1=S следующим образом: для всех элементов 1=x и 1=y в 1=S, x ≤ y тогда и только тогда, когда 1=x = x ∧ y. Отношение 1=≤, введенное таким образом, определяет частичный порядок, из которого может быть восстановлена бинарная операция 1=∧. И наоборот, порядок, индуцированный алгебраически определенной полурешеткой 1=〈S, ∧〉, совпадает с порядком, индуцированным 1=≤. Следовательно, оба определения могут использоваться взаимозаменяемо, в зависимости от того, какое из них более удобно для конкретной цели. Аналогичный вывод справедлив для полурешеток соединения и двойного порядка ≥.
Полуместные морфизмы
Вышеуказанное алгебраическое определение полурешетки предполагает понятие морфизма между двумя полурешетками. Для двух соединительных полурешеток 1=(S, ∨) и 1=(T, ∨), гомоморфизм (соединительных) полурешеток – это функция 1=f: S → T такая, что
1=f(x ∨ y) = f(x) ∨ f(y). Следовательно, 1=f является просто гомоморфизмом двух полугрупп, связанных с каждой полурешеткой. Если 1=S и 1=T обе включают в себя наименьший элемент 0, то 1=f также должен быть моноидным гомоморфизмом, то есть мы дополнительно требуем, чтобы
1=f(0) = 0. В теоретико-порядковой формулировке эти условия просто указывают, что гомоморфизм соединительных полурешеток – это функция, сохраняющая бинарные соединения и наименьшие элементы, если таковые существуют. Очевидное двойственное преобразование, заменяющее 1=∧ на 1=∨ и 0 на 1, преобразует это определение гомоморфизма соединительной полурешетки в его эквивалент для полурешетки пересечений. Следует отметить, что любой гомоморфизм полурешетки обязательно монотонный относительно связанного отношения порядка. Подробное объяснение можно найти в статье о сохранении пределов.
Эквивалентность с алгебраическими решетками
Существует хорошо известная эквивалентность между категорией полурешёток с нулём и гомоморфизмами и категорией алгебраических решёток с полноточными соединенными гомоморфизмами, сохраняющими компактность, следующим образом. Полурешётке с нулём сопоставляется её решётка идеалов. Гомоморфизму полурешёток сопоставляется отображение, которое любому идеалу сопоставляет идеал, порождённый этим. Это определяет функтор. Обратно, каждой алгебраической решётке сопоставляется полурешётка всех компактных элементов, а каждому полноточному соединенному гомоморфизму между алгебраическими решётками, сохраняющему компактность, сопоставляется ограничение. Это определяет функтор. Пара определяет эквивалентность категорий между и .
Распределительные полуотсеки
Удивительно, но существует понятие "распределённости", применимое к полурешёткам, хотя распределённость обычно требует взаимодействия двух бинарных операций. Это понятие требует лишь одной операции и обобщает условие распределённости для решёток. Полурешётка соединения является распределительной, если для всех 1=a, b и 1=x, таких что 1=x ≤ a ∨ b, существуют 1=a' ≤ a и 1=b' ≤ b, такие что 1=x = a' ∨ b'. Распределительные полурешётки пересечения определяются двойственно. Эти определения обоснованы тем фактом, что любая распределительная полурешётка соединения, в которой существуют бинарные пересечения, является распределительной решёткой. См. статью "Распределённость (теория порядка)". Полурешётка соединения является распределительной тогда и только тогда, когда решётка её идеалов (относительно включения) является распределительной.
Полные полуоткрытия
В настоящее время термин "полная полурешётка" не имеет общепринятого значения, и существует множество взаимонесовместимых определений. Если полнота понимается как требование существования всех бесконечных соединений или всех бесконечных пересечений, в зависимости от случая, наряду с конечными, это сразу приводит к частичным порядкам, которые фактически являются полными решётками. Почему существование всех возможных бесконечных соединений влечёт за собой существование всех возможных бесконечных пересечений (и наоборот), см. в статье "Полнота (теория порядка)". Тем не менее, в литературе иногда полные полурешётки соединений или пересечений всё ещё рассматриваются как полные решётки. В этом случае "полнота" обозначает ограничение на область определения гомоморфизмов. В частности, полная полурешётка соединений требует, чтобы гомоморфизмы сохраняли все соединения, но, в отличие от ситуации со свойствами полноты, это не требует сохранения всех пересечений гомоморфизмами. С другой стороны, можно заключить, что каждое такое отображение является нижним сопряжённым для некоторой связи Галуа. Соответствующий (единственный) верхний сопряжённый тогда будет гомоморфизмом полных полурешёток пересечений. Это порождает ряд полезных категорных двойственностей между категориями всех полных полурешёток с морфизмами, сохраняющими все пересечения или соединения соответственно. Другое употребление термина "полная полурешётка пересечений" относится к ограниченному полному cpo. Полная полурешётка пересечений в этом смысле, возможно, является "наиболее полной" полурешёткой пересечений, которая не обязательно является полной решёткой. Действительно, полная полурешётка пересечений имеет все непустые пересечения (что эквивалентно ограниченной полноте) и все направленные соединения. Если такая структура также имеет наибольший элемент (пересечение пустого множества), то она также является полной решёткой. Таким образом, полная полурешётка оказывается "полной решёткой, возможно, лишённой верхней границы". Это определение представляет интерес, особенно в теории доменов, где ограниченные полные алгебраические cpo изучаются как домены Скотта. Поэтому домены Скотта называют алгебраическими полурешётками. Ограниченные кардинальностью понятия полноты для полурешёток в литературе рассматривались редко.
Свободные полуоткрытия
Этот раздел предполагает некоторое знание теории категорий. В различных ситуациях существуют свободные полурешётки. Например, забывающий функтор из категории соединительных полурешёток (и их гомоморфизмов) в категорию множеств (и функций) имеет левый сопряжённый функтор. Следовательно, свободная соединительная полурешётка 1='F'(S) над множеством 1=S строится путём взятия коллекции всех непустых конечных подмножеств 1=S, упорядоченных по включению подмножеств. Очевидно, что 1=S может быть вложено в 1='F'(S) отображением 1=e, которое переводит любой элемент 1=s из 1=S в одноэлементное множество 1={s}. Тогда любая функция 1=f из 1=S в соединительную полурешётку 1=T (более формально, в базовое множество 1=T) индуцирует единственный гомоморфизм 1=f' между соединительными полурешётками 1='F'(S) и 1=T, такой что 1=f = f' ○ e. Явно, 1=f' задаётся… Очевидная единственность 1=f' достаточна для получения требуемого сопряжения – морфизменная часть функтора 1='F' может быть выведена из общих соображений (см. сопряжённые функторы). Случай свободных полурешёток пересечения двойственен, при этом используется обратное включение подмножеств в качестве порядка. Для соединительных полурешёток с наименьшим элементом мы просто добавляем пустое множество к вышеуказанной коллекции подмножеств. Кроме того, полурешётки часто служат генераторами для свободных объектов в других категориях. Важно отметить, что и забывающие функторы из категории фреймов и фреймовых гомоморфизмов, и из категории дистрибутивных решёток и решёточных гомоморфизмов имеют левый сопряжённый функтор.