Кіріспе

Ішінара тәртіп және қосылымдар

Математикада, қосылым жартылайтор (немесе жоғарғы жартылайтор) – кез келген бос емес шекті жиын үшін қосылым (ең кіші жоғарғы шек) бар ішінара тәртіптелген жиын. Дуальды түрде, кездесу жартылайтор (немесе төменгі жартылайтор) – кез келген бос емес шекті жиын үшін кездесу (ең үлкен төменгі шек) бар ішінара тәртіптелген жиын. Кез келген қосылым жартылайторы кері тәртіп бойынша кездесу жартылайторы болып табылады, және керісінше. Жартылайторларды алгебралық тұрғыдан да анықтауға болады: қосылым және кездесу – ассоциативті, коммутативті, идемпотентті екілік операциялар, және кез келген мұндай операция ішінара тәртіпті (және тиісті кері тәртіпті) тудырады, сонда операцияның кез келген екі элемент үшін нәтижесі осы ішінара тәртіпке қатысты элементтердің ең кіші жоғарғы шегі (немесе ең үлкен төменгі шегі) болады. Тор – бұл бірдей ішінара тәртіпке қатысты кездесу және қосылым жартылайторлары болатын ішінара тәртіптелген жиын. Алгебралық тұрғыдан алғанда, тор – бұл екі ассоциативті, коммутативті, идемпотентті екілік операциялар жиынтығы, олар тиісті сіңіру заңдарымен байланысты.

Екі анықтаманың арасындағы байланыс

Реттік теориялық кездесу жартылай торы 1=〈S, ≤〉, 1=∧ екілік операцияны тудырады, сонда 1=〈S, ∧〉 алгебралық кездесу жартылай торы болады. Керісінше, 1=〈S, ∧〉 кездесу жартылай торы 1=≤ екілік қатынасын тудырады, ол 1=S-ті келесідей ішінара реттейді: 1=S-тегі барлық 1=x және 1=y элементтері үшін, x ≤ y осы шарттар орындалғанда ғана: 1=x = x ∧ y. Осылайша енгізілген 1=≤ қатынасы, 1=∧ екілік операциясын қайта қалпына келтіруге мүмкіндік беретін ішінара реттеуді анықтайды. Керісінше, алгебралық тұрғыдан анықталған жартылай тор 1=〈S, ∧〉 арқылы туындаған рет, 1=≤ арқылы туындаған ретке сәйкес келеді. Сондықтан, екі анықтама да белгілі бір мақсатқа қарай, қайсысы ыңғайлырақ болса, сол бойынша алмастырып қолданылуы мүмкін. Осыған ұқсас қорытынды, қосылу жартылай торлары мен ≥ қос ретіне де қатысты.

Жартылай морфизмдер

Жоғарыда келтірілген жартылай тордың алгебралық анықтамасы екі жартылай тор арасындағы морфизм туралы ұғымды ұсынады. Екі қосылу жартылай торы (S, ∨) және (T, ∨) берілген жағдайда, (қосылу) жартылай торының гомоморфизмі – f: S → T функциясы болып табылады, мұнда

f(x ∨ y) = f(x) ∨ f(y). Сондықтан f – әр жартылай топпен байланысты екі жартылай топтың гомоморфизмі ғана. Егер S және T екеуінде де ең кіші элемент 0 болса, онда f сонымен қатар моноидтық гомоморфизм болуы керек, яғни қосымша f(0) = 0 деп талап етеміз. Реттік теориялық тұжырымдамада бұл шарттар қосылу жартылай торының гомоморфизмі – егер бар болса, екілік қосылуларды және ең кіші элементтерді сақтайтын функция екенін көрсетеді. ∧-ді ∨-мен және 0-ді 1-мен алмастыру бұл қосылу жартылай торының гомоморфизмін оның кездесетін жартылай торға эквивалентіне айналдырады. Кез келген жартылай тор гомоморфизмі тиісті реттеу қатынасына қатысты міндетті түрде монотонды екеніне назар аударыңыз. Түсіндірме үшін «шектерді сақтау» деген мақаланы қараңыз.

Алгебралық торлармен баламалық

Гомоморфизмдері бар нөлдік жартылай торлар санаты мен толық қосылу гомоморфизмдерін сақтайтын алгебралық торлар санаты арасында белгілі бір эквиваленттілік бар, ол былайша анықталады. Нөлдік жартылай торға оның идеалдар торын қосамыз. Жартылай торлардың гомоморфизміне, картаны қосамыз, ол кез келген идеалға идеалдың туындысын сәйкес қояды. Бұл функторды анықтайды. Керісінше, әр алгебралық торға оның барлық тығыз элементтерінің жартылай торын қосамыз, ал алгебралық торлар арасындағы толық қосылу гомоморфизмін сақтайтын тығыздыққа, шектеуді сәйкес қоямыз. Бұл да функторды анықтайды. Бұл жұп және санаттары арасындағы санаттық эквиваленттілікті анықтайды.

Тарату жартылай торлары

Таңқаларлық жайт, тіпті таратушылық дәстүрлі түрде екі бинарлық операцияның өзара әрекеттесуін қажет етсе де, жартылай торларға қолданылатын "таратушылық" ұғымы бар. Бұл ұғымға тек бір операция ғана қажет, және ол торлар үшін тарату шартын жалпылайды. Қосылу жартылай торы таратушы болып есептеледі, егер кез келген 1=a, b және 1=x үшін, егер 1=x ≤ a ∨ b болса, онда 1=a' ≤ a және 1=b' ≤ b болатындай 1=a' және 1=b' табылады, сонда 1=x = a' ∨ b'. Таратушы кездесу жартылай торлар дуалды түрде анықталады. Бұл анықтамалар екілік кездесулер бар кез келген таратушы қосылу жартылай торы таратушы тор болатынымен негізделген. Қараңыз: таратушылық (рет теориясы). Қосылу жартылай торы таратушы болып есептеледі, егер және тек қана оның идеалдарының торы (қоса алу бойынша) таратушы болса.

Толық жартылай торлар

Қазіргі кезде "толық жартылай тор" терминінің жалпыға қабылданған мағынасы жоқ, және бір-біріне қайшы келетін әртүрлі анықтамалар бар. Егер толықтық, шектілермен қатар, барлық шексіз қосылыстардың немесе барлық шексіз кездесулердің болуын талап етсе, бұл бірден толық торлар болып табылатын ішінара тәртіптерге алып келеді. Барлық мүмкін шексіз қосылыстардың болуы барлық мүмкін шексіз кездесулердің болуын қамтамасыз етеді (және керісінше) – толықтық (рет теориясы) жазбасын қараңыз. Дегенмен, әдебиетте кейде толық қосылу немесе толық кездесу жартылай торларын толық торлар деп қарастырады. Бұл жағдайда, "толықтық" гомоморфизмдердің қолданылу аясының шектелуін білдіреді. Атап айтқанда, толық қосылу жартылай торында гомоморфизмдердің барлық қосылыстарды сақтауын талап етеді, бірақ толықтық қасиеттеріне тән жағдайдан өзгеше, гомоморфизмдердің барлық кездесулерді сақтауын талап етпейді. Екінші жағынан, әрбір мұндай бейнелеудің кейбір Галуа байланысының төменгі қосымшасы екенін қорытуға болады. Сәйкес (бірден-бір) жоғарғы қосымша толық кездесу жартылай торларының гомоморфизмі болады. Бұл, кездесулердің немесе қосылыстардың барлығын сақтайтын морфизмдері бар толық жартылай торлар санаттары арасындағы бірқатар пайдалы категориялық дуалдықтарға әкеледі. "Толық кездесу жартылай торы" терминінің тағы бір қолданылуы шектелген толық cpo-ға қатысты. Бұл мағынадағы толық кездесу жартылай торы міндетті түрде толық тор емес, "ең толық" кездесу жартылай торы болып табылады. Шындығында, толық кездесу жартылай торында бос емес барлық кездесулер бар (бұл шектелген толықтыққа тең) және барлық бағытталған қосылыстар бар. Егер мұндай құрылымда ең үлкен элемент (бос жиынның кездесуі) болса, ол толық тор болып табылады. Осылайша, толық жартылай тор "жоғарғы шегі жоқ толық тор" болып шығады. Бұл анықтама, әсіресе, домен теориясында қызығушылық тудырады, онда шектелген толық алгебралық cpo-лар Скотт домендері ретінде зерттеледі. Сондықтан Скотт домендері алгебралық жартылай торлар деп аталады. Жартылай торлар үшін кардиналдықпен шектелген толықтық ұғымдары әдебиетте сирек қарастырылған.

Еркін жартылай шұңқырлар

Бұл бөлім санаттар теориясының білімін болжайды. Әртүрлі жағдайларда еркін жартылай торлар кездеседі. Мысалы, қосылу жартылай торларының (және олардың гомоморфизмдерінің) санатынан жиындардың (және функциялардың) санатына дейінгі ұмытылу функторы сол жақ қосымшаға ие. Сондықтан, 1=S жиынының үстінен еркін қосылу жартылай торы 1='F'(S) 1=S жиынының барлық бос емес шекті ішкі жиынтықтарын алып, ішкі жиынтықтар бойынша реттеу арқылы құрастырылады. Әрине, 1=S жиыны 1='F'(S) жиынына 1=e бейнелеуі арқылы енгізіледі, ол 1=S жиынының кез келген 1=s елементін 1={s} жеке жиынтығына жібереді. Содан кейін, 1=S жиынынан 1=T қосылу жартылай торына (дәлірек айтқанда, 1=T жиынының негізгі жиынына) кез келген 1=f функциясы 1='F'(S) және 1=T қосылу жартылай торлары арасындағы бірегей 1=f' гомоморфизмін тудырады, мұнда 1=f = f' ◦ e. Нақтырақ айтқанда, 1=f' былай беріледі. Енді 1=f' гомоморфизмінің анықтығы қажетті қосымшаны алуға жеткілікті – 1='F' функторының морфизм бөлігін жалпы қарастырулар арқылы алуға болады (қосымша функторларға қараңыз). Кездесу жартылай торларының жағдайы екілік болып табылады, реттеу ретінде кері ішкі жиынтық қолданылады. Төменгі шегі бар қосылу жартылай торлары үшін біз жоғарыдағы ішкі жиынтықтарға бос жиынтықты қосамыз. Сонымен қатар, жартылай торлар басқа санаттардағы еркін объектілер үшін генераторлар ретінде жиі қолданылады. Атап айтқанда, фреймдер мен фрейм гомоморфизмдер санатынан, сондай-ақ үлестірімді торлар мен тор гомоморфизмдер санатынан шығарылатын функторлардың барлығы сол жақ қосымшаға ие.