Диск Эйлера: Научная демонстрация динамики вращения

Введение

Научная образовательная игрушка

Диск Эйлера, изобретенный Джозефом Бендиком в период с 1987 по 1990 год, является запатентованной научной образовательной игрушкой. Он используется для демонстрации и изучения динамической системы вращающегося и катящегося диска на плоской или изогнутой поверхности и стал предметом нескольких научных публикаций.

Открытие

Джозеф Бендик впервые заметил интересное движение вращающегося диска, работая в Hughes Aircraft (Carlsbad Research Center), раскрутив однажды за обедом на своем столе тяжелую полировальную шайбу. Устройство представляет собой наглядную демонстрацию обмена энергией в трех различных, тесно связанных процессах. По мере того, как диск постепенно замедляет свое азимутальное вращение, также уменьшается амплитуда и увеличивается частота осевой прецессии диска. Эволюцию осевой прецессии диска легко увидеть в замедленной съемке, наблюдая за боковой стороной диска, следуя за одной отмеченной точкой на диске. Эволюцию вращения диска также легко визуализировать в замедленном режиме, наблюдая за верхней частью диска, следуя за стрелкой, нарисованной на диске и обозначающей его радиус. Когда диск отдает начальную энергию, полученную от пользователя, и приближается к остановке, его вращение вокруг вертикальной оси замедляется, а колебания точки контакта усиливаются. Освещенный сверху, с точкой контакта и ближайшим нижним краем в тени, диск кажется парящим перед полной остановкой. Бендик назвал эту игрушку в честь математика Леонарда Эйлера. Коммерческая версия состоит из тяжелого, толстого диска из хромированной стали и жесткого, слегка вогнутого зеркального основания. В комплект входят голографические магнитные наклейки, которые можно прикрепить к диску для усиления визуального эффекта колебаний. Однако эти наклейки могут затруднить наблюдение и понимание происходящих процессов. При вращении на плоской поверхности диск демонстрирует вращательно-катящееся движение, медленно переходя через различные скорости и типы движения, прежде чем остановиться. Особенно заметно, что скорость прецессии оси симметрии диска увеличивается по мере его замедления. Зеркальное основание обеспечивает низкое трение, а небольшая вогнутость предотвращает соскальзывание диска с поверхности. Любой диск, вращаемый на достаточно плоской поверхности (например, монета на столе), продемонстрирует примерно тот же тип движения, что и диск Эйлера, но в течение гораздо меньшего времени. Коммерческие диски обеспечивают более эффективную демонстрацию этого явления благодаря оптимизированному соотношению сторон и точно отполированному, слегка закругленному краю, что максимизирует время вращения/качения.

Joseph Bendik first noted the interesting motion of the spinning disk while working at Hughes Aircraft (Carlsbad Research Center) after spinning a heavy polishing chuck on his desk at lunch one day. The apparatus is a dramatic visualization of energy exchanges in three different, tightly coupled processes. As the disk gradually decreases its azimuthal rotation, there is also a decrease in amplitude and increase in the frequency of the disk's axial precession. The evolution of the disk's axial precession is easily visualized in a slow motion video by looking at the side of the disk following a single point marked on the disk. The evolution of the rotation of the disk is easily visualized in slow motion by looking at the top of the disk following an arrow drawn on the disk representing its radius. As the disk releases the initial energy given by the user and approaches a halt, its rotation about the vertical axis slows, while its contact point oscillation increases. Lit from above, its contact point and nearby lower edge in shadow, the disk appears to levitate before halting. Bendik named the toy after mathematician Leonhard Euler. The commercial toy consists of a heavy, thick chrome plated steel disk and a rigid, slightly concave, mirrored base. Included holographic magnetic stickers can be attached to the disk, to enhance the visual effect of wobbling. These attachments may make it harder to see and understand the processes at work, however. When spun on a flat surface, the disk exhibits a spinning/rolling motion, slowly progressing through varying rates and types of motion before coming to rest. Most notably, the precession rate of the disk's axis of symmetry increases as the disk spins down. The mirror base provides a low friction surface; its slight concavity keeps the disk from "wandering" off the surface. Any disk, spun on a reasonably flat surface (such as a coin spun on a table), will exhibit essentially the same type of motion as an Euler Disk, but for a much shorter time. Commercial disks provide a more effective demonstration of the phenomenon, having an optimized aspect ratio and a precision polished, slightly rounded edge to maximize the spinning/rolling time.

Физика

В конечном итоге вращающийся/катящийся диск останавливается довольно резко, при этом заключительная стадия движения сопровождается свистящим звуком, частота которого быстро возрастает. По мере качения диска точка контакта описывает окружность, колеблющуюся с постоянной угловой скоростью. Если движение недиссипативное (без трения), то эта угловая скорость постоянна, и движение продолжается бесконечно; это противоречит наблюдениям, поскольку в реальных ситуациях она не является постоянной. Фактически, скорость прецессии оси симметрии приближается к сингулярности в конечный момент времени, описываемой степенным законом с показателем приблизительно −1/3 (в зависимости от конкретных условий). Существует два основных диссипативных эффекта: трение качения, возникающее при проскальзывании диска по поверхности, и сопротивление воздуха. Эксперименты показывают, что трение качения в основном отвечает за диссипацию энергии и наблюдаемое поведение. Эксперименты в вакууме демонстрируют, что отсутствие воздуха оказывает лишь незначительное влияние на поведение, в то время как поведение (скорость прецессии) систематически зависит от коэффициента трения. В пределе малых углов (то есть непосредственно перед остановкой вращения) сопротивление воздуха (в частности, вязкое трение) становится доминирующим фактором, но до этой конечной стадии доминирующим эффектом является трение качения.

Результаты экспериментов

Теоретическая работа Моффата вдохновила ряд других исследователей на проведение экспериментального изучения диссипативного механизма вращающегося/катящегося диска, результаты которого частично противоречили его объяснениям. В этих экспериментах использовались вращающиеся объекты и поверхности различной геометрии (диски и кольца) с разными коэффициентами трения, как в воздухе, так и в вакууме, а также приборы, такие как высокоскоростная съемка, для количественной оценки явления. В выпуске журнала Nature от 30 ноября 2000 года физики Ван ден Энг, Нельсон и Роуч обсудили эксперименты, в которых диски вращались в вакууме. Ван ден Энг использовал риксдальдер – голландскую монету, магнитные свойства которой позволяли вращать ее с точно определенной скоростью. Они обнаружили, что проскальзывание между диском и поверхностью может объяснить полученные наблюдения, а наличие или отсутствие воздуха лишь незначительно влияло на поведение диска. Они отметили, что теоретический анализ Моффата предсказывал бы очень длительное время вращения диска в вакууме, что не было наблюдалось. Моффетт ответил обобщенной теорией, которая должна позволить экспериментально определить, какой механизм диссипации является доминирующим, и указал, что в пределе малых (то есть непосредственно перед остановкой диска) доминирующим механизмом диссипации всегда будет вязкое рассеяние. Последующие работы, проведенные в Университете Гвельфа Петри, Хантом и Греем, показали, что проведение экспериментов в вакууме (при давлении 0,1 паскаля) не оказало существенного влияния на скорость рассеивания энергии. Петри и др. также показали, что на скорость практически не повлияла замена диска на кольцо, и что условие отсутствия проскальзывания выполнялось при углах, превышающих 10°. В другой работе Капс, Дорболо, Понте, Круазье и Вандевалле пришли к выводу, что воздух является незначительным источником рассеивания энергии. Основным процессом рассеивания энергии является качение и проскальзывание диска по опорной поверхности. Экспериментально было показано, что угол наклона, скорость прецессии и угловая скорость подчиняются степенному закону. Несколько раз во время забастовки Гильдии сценаристов Америки в 2007–2008 годах ведущий ток-шоу Конан О’Брайен крутил обручальное кольцо на своем столе, пытаясь добиться максимально длительного времени вращения. Стремление к увеличению времени вращения побудило его пригласить профессора Массачусетского технологического института Питера Фишера на шоу для проведения экспериментов с этой проблемой. Вращение кольца в вакууме не оказало заметного эффекта, в то время как поверхность вращения из тефлона позволила достичь рекордного времени в 51 секунду, что подтвердило утверждение о том, что трение качения является основным механизмом рассеивания кинетической энергии. Различные виды трения качения как основной механизм рассеивания энергии изучались Лейне, который экспериментально подтвердил, что сопротивление трению движению точки контакта по ободу диска, скорее всего, является основным механизмом рассеивания в течение нескольких секунд.

Moffatt's theoretical work inspired several other workers to experimentally investigate the dissipative mechanism of a spinning/rolling disk, with results that partially contradicted his explanation. These experiments used spinning objects and surfaces of various geometries (disks and rings), with varying coefficients of friction, both in air and in a vacuum, and used instrumentation such as high speed photography to quantify the phenomenon. In the 30 November 2000 issue of Nature, physicists Van den Engh, Nelson and Roach discuss experiments in which disks were spun in a vacuum. Van den Engh used a rijksdaalder, a Dutch coin, whose magnetic properties allowed it to be spun at a precisely determined rate. They found that slippage between the disk and the surface could account for observations, and the presence or absence of air only slightly affected the disk's behavior. They pointed out that Moffatt's theoretical analysis would predict a very long spin time for a disk in a vacuum, which was not observed. Moffatt responded with a generalized theory that should allow experimental determination of which dissipation mechanism is dominant, and pointed out that the dominant dissipation mechanism would always be viscous dissipation in the limit of small (i. e., just before the disk settles). Later work at the University of Guelph by Petrie, Hunt and Gray showed that carrying out the experiments in a vacuum (pressure 0.1 pascal) did not significantly affect the energy dissipation rate. Petrie et al. also showed that the rates were largely unaffected by replacing the disk with a ring shape, and that the no slip condition was satisfied for angles greater than 10°. Another work by Caps, Dorbolo, Ponte, Croisier, and Vandewalle has concluded that the air is a minor source of energy dissipation. The major energy dissipation process is the rolling and slipping of the disk on the supporting surface. It was experimentally shown that the inclination angle, the precession rate, and the angular velocity follow the power law behavior. On several occasions during the 2007–2008 Writers Guild of America strike, talk show host Conan O'Brien would spin his wedding ring on his desk, trying to spin the ring for as long as possible. The quest to achieve longer and longer spin times led him to invite MIT professor Peter Fisher onto the show to experiment with the problem. Spinning the ring in a vacuum had no identifiable effect, while a Teflon spinning support surface gave a record time of 51 seconds, corroborating the claim that rolling friction is the primary mechanism for kinetic energy dissipation. Various kinds of rolling friction as primary mechanism for energy dissipation have been studied by Leine who confirmed experimentally that the frictional resistance of the movement of the contact point over the rim of the disk is most likely the primary dissipation mechanism on a time scale of seconds.

В популярной культуре

Диски Эйлера появляются в фильме 2006 года «Снежный торт» и в телешоу «Теория Большого взрыва», 10-й сезон, 16-й эпизод, который вышел в эфир 16 февраля 2017 года. Звуковая команда фильма «Перл-Харбор» 2001 года использовала вращающийся диск Эйлера в качестве звукового эффекта для торпед. Во время церемонии вручения премии «Оскар» был показан короткий ролик, на котором звукорежиссёры играют с диском Эйлера. Принципы диска Эйлера были использованы со специально созданными кольцами на столе в качестве футуристического носителя информации в фильме 1960 года «Машина времени».