Введение

Область сходимости степенного ряда
В математике радиус сходимости степенного ряда — это радиус наибольшего диска с центром в точке разложения ряда, внутри которого ряд сходится. Он является либо неотрицательным вещественным числом, либо бесконечностью. Если радиус сходимости положителен, то степенной ряд сходится абсолютно и равномерно на компактных множествах внутри открытого диска радиуса, равного радиусу сходимости, и представляет собой ряд Тейлора аналитической функции, к которой он сходится. В случае наличия нескольких сингулярностей функции (сингулярности — это значения аргумента, при которых функция не определена), радиус сходимости равен наименьшему из расстояний (которые являются неотрицательными числами) от центра диска сходимости до каждой из сингулярностей функции.

Практическая оценка радиуса в случае действительных коэффициентов

Обычно в научных приложениях известно лишь конечное число коэффициентов. Как правило, с ростом *n* эти коэффициенты демонстрируют закономерное поведение, определяемое ближайшей ограничивающей сингулярностью. В этом случае были разработаны два основных метода, основанных на том, что коэффициенты ряда Тейлора приблизительно экспоненциальны с отношением, где *r* – радиус сходимости. Основной случай – когда коэффициенты в конечном итоге имеют общий знак или чередуются по знаку. Как отмечалось ранее в статье, во многих случаях предел существует, и в этом случае отрицательное значение означает, что сингулярность, ограничивающая сходимость, находится на отрицательной оси. Оцените этот предел, построив график зависимости от *n* и графически экстраполируя его до (фактически ) с помощью линейной аппроксимации. Точка пересечения с осью *y* оценивает обратную величину радиуса сходимости, 1/*r*. Этот график называется графиком Домба–Сайкса. Более сложный случай – когда знаки коэффициентов имеют более сложный характер. Мерсер и Робертс предложили следующую процедуру. Определите ассоциированную последовательность . Постройте график нескольких известных значений в зависимости от *n* и графически экстраполируйте его до с помощью линейной аппроксимации. Точка пересечения с осью *y* оценивает обратную величину радиуса сходимости, 1/*r*. Эта процедура также оценивает две другие характеристики сингулярности, ограничивающей сходимость. Предположим, что ближайшая сингулярность имеет степень *k* и угол *θ* к вещественной оси. Тогда наклон линейной аппроксимации, приведенной выше, равен . Далее, постройте график зависимости от *n*, затем линейная аппроксимация, экстраполированная до , имеет точку пересечения в .

Радиус конвергенции в комплексном анализе

Степенной ряд с положительным радиусом сходимости можно преобразовать в голоморфную функцию, рассматривая его аргумент как комплексную переменную. Радиус сходимости можно охарактеризовать следующим образом:

Радиус сходимости степенного ряда f, центрированного в точке a, равен расстоянию от a до ближайшей точки, в которой f нельзя определить так, чтобы он стал голоморфным. Множество всех точек, расстояние до которых от a строго меньше радиуса сходимости, называется диском сходимости. Ближайшая точка означает ближайшую точку на комплексной плоскости, не обязательно на действительной прямой, даже если центр и все коэффициенты действительны. Например, функция

не имеет сингулярностей на действительной прямой, поскольку не имеет действительных корней. Ее ряд Тейлора в окрестности 0 задается выражением

Критерий Коши показывает, что ее радиус сходимости равен 1. В соответствии с этим, функция f(z) имеет сингулярности в точках ±i, которые находятся на расстоянии 1 от 0. Доказательство этой теоремы можно найти в разделе об аналитичности голоморфных функций.