Уровни измерения переменных: номинальная, порядковая, интервальная и пропорциональная шкалы.

Уровни измерения переменных: номинальные, порядковые, интервальные и отношений. Классификация С. Стивенса для анализа данных и статистики.

10 мин чтения

100%

Источник: Level of measurement — Wikipedia

Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.

Содержание

Введение

Различие между номинальными, порядковыми, интервальными и относительными переменными

Уровень измерения, или шкала измерения, – это классификация, описывающая характер информации, заключенной в значениях, присвоенных переменным. Психолог Стэнли Смит Стивенс разработал наиболее известную классификацию, включающую четыре уровня, или шкалы, измерения: номинальный, порядковый, интервальный и относительный. Эта система разграничения уровней измерения возникла в психологии и впоследствии претерпела сложную эволюцию, будучи принятой и расширенной в некоторых дисциплинах и отдельными исследователями, а также подвергаясь критике или отвержению другими. Существуют и другие классификации, например, разработанные Мостеллером и Таки, а также Крисманом.

Математические операции

Равенство и другие операции, которые могут быть определены на основе равенства, такие как неравенство и принадлежность к множеству, — единственные нетривиальные операции, которые применимы к объектам номинального типа в общем случае.

Центральная тенденция

Мода, то есть наиболее часто встречающийся элемент, допустима в качестве меры центральной тенденции для номинальной шкалы. С другой стороны, медиана, то есть элемент, находящийся в середине ранжированного ряда, не имеет смысла для номинальной шкалы данных, поскольку ранжирование для номинальной шкалы бессмысленно.

Порядковый масштаб

Порядковый тип позволяет упорядочить данные по рангу (1-й, 2-й, 3-й и т. д.), что дает возможность их сортировки, но не позволяет определить относительную величину разницы между ними. Примеры включают, с одной стороны, дихотомические данные с дихотомическими (или дихотомизированными) значениями, такие как «болен»/«здоров» при измерении состояния здоровья, «виновен»/«не виновен» при вынесении судебных решений, «неверно/ложно»/«верно/истинно» при оценке истинности, а с другой стороны – недихотомические данные, состоящие из спектра значений, например, «полностью согласен», «скорее согласен», «скорее не согласен», «полностью не согласен» при измерении мнения. Порядковая шкала упорядочивает события, но не предполагает равенства интервалов шкалы в соответствии с каким-либо правилом. Ранговые порядки представляют собой порядковые шкалы и часто используются в исследованиях, связанных с качественными явлениями. Место студента в выпускном классе является примером использования порядковой шкалы. Необходимо проявлять осторожность при интерпретации результатов, основанных на порядковых шкалах. Например, если позиция Деви в классе – 10, а позиция Ганги – 40, нельзя утверждать, что позиция Деви в четыре раза лучше, чем позиция Ганги. Порядковые шкалы позволяют лишь ранжировать элементы от высшего к низшему. Порядковые измерения не имеют абсолютных значений, и реальные различия между соседними рангами могут быть неравными. Можно лишь утверждать, что один человек занимает более высокую или низкую позицию на шкале, чем другой, но более точные сравнения невозможны. Таким образом, использование порядковой шкалы подразумевает утверждение о «больше», чем или «меньше», чем (утверждение о равенстве также допустимо), без возможности указать, насколько больше или меньше. Реальная разница между рангами 1 и 2, например, может быть больше или меньше, чем разница между рангами 5 и 6. Поскольку числа на этой шкале имеют только ранговое значение, подходящей мерой центральной тенденции является медиана. Для измерения разброса используются перцентильные или квартильные меры. Корреляции ограничиваются различными методами ранжирования. Меры статистической значимости ограничиваются непараметрическими методами (R. M. Kothari, 2004).

The ordinal type allows for rank order (1st, 2nd, 3rd, etc.) by which data can be sorted but still does not allow for a relative degree of difference between them. Examples include, on one hand, dichotomous data with dichotomous (or dichotomized) values such as 'sick' vs. 'healthy' when measuring health, 'guilty' vs. 'not guilty' when making judgments in courts, 'wrong/false' vs. 'right/true' when measuring truth value, and, on the other hand, non dichotomous data consisting of a spectrum of values, such as 'completely agree', 'mostly agree', 'mostly disagree', 'completely disagree' when measuring opinion. The ordinal scale places events in order, but there is no attempt to make the intervals of the scale equal in terms of some rule. Rank orders represent ordinal scales and are frequently used in research relating to qualitative phenomena. A student's rank in his graduation class involves the use of an ordinal scale. One has to be very careful in making a statement about scores based on ordinal scales. For instance, if Devi's position in his class is 10 and Ganga's position is 40, it cannot be said that Devi's position is four times as good as that of Ganga. Ordinal scales only permit the ranking of items from highest to lowest. Ordinal measures have no absolute values, and the real differences between adjacent ranks may not be equal. All that can be said is that one person is higher or lower on the scale than another, but more precise comparisons cannot be made. Thus, the use of an ordinal scale implies a statement of 'greater than' or 'less than' (an equality statement is also acceptable) without our being able to state how much greater or less. The real difference between ranks 1 and 2, for instance, may be more or less than the difference between ranks 5 and 6. Since the numbers of this scale have only a rank meaning, the appropriate measure of central tendency is the median. A percentile or quartile measure is used for measuring dispersion. Correlations are restricted to various rank order methods. Measures of statistical significance are restricted to the non parametric methods (R. M. Kothari, 2004).

Центральная тенденция

Медиана, то есть элемент, занимающий средний ранг, допускается в качестве меры центральной тенденции; однако среднее (или среднее арифметическое) в качестве меры центральной тенденции не допускается. Мода допускается. В 1946 году Стивенс отметил, что психологические измерения, такие как измерение мнений, обычно оперируют порядковыми шкалами; таким образом, средние значения и стандартные отклонения не имеют обоснованности, но их можно использовать для получения идей о том, как улучшить операционализацию переменных, используемых в анкетах. Большинство психологических данных, собранных с помощью психометрических инструментов и тестов, измеряющих когнитивные и другие способности, являются порядковыми, хотя некоторые теоретики утверждают, что их можно рассматривать как интервальные или относительные шкалы. Однако существует мало прямых доказательств, указывающих на то, что такие атрибуты являются чем-то большим, чем порядковые (Cliff, 1996; Cliff & Keats, 2003; Michell, 2008). В частности, баллы IQ отражают порядковую шкалу, в которой все баллы значимы только для сравнения. Абсолютного нуля нет, и разница в 10 баллов может иметь разное значение в разных точках шкалы.

Интервальная шкала

Тип интервала позволяет определить степень различия между измерениями, но не отношение между ними. Примеры включают температурные шкалы, такие как шкала Цельсия, которая имеет две заданные точки (температура замерзания и кипения воды при определенных условиях) и затем разделена на 100 интервалов, дату, отсчитываемую от произвольной эпохи (например, нашей эры), местоположение в декартовых координатах и направление, измеряемое в градусах от истинного или магнитного севера. Отношения не имеют смысла, поскольку нельзя сказать, что 20 °C «в два раза горячее», чем 10 °C (в отличие от температуры в Кельвинах), и нельзя напрямую выполнять умножение или деление между двумя датами. Однако можно выражать отношения между разностями; например, одна разность может быть в два раза больше другой; например, разность в десять градусов между 15 °C и 25 °C в два раза больше, чем разность в пять градусов между 17 °C и 22 °C. Переменные типа интервала иногда также называют «шкальными переменными», но формальным математическим термином является аффинное пространство (в данном случае аффинная прямая).

Центральная тенденция и статистическая дисперсия

Режим, медиана и арифметическое среднее применимы для измерения центральной тенденции интервальных переменных, а мерами статистической дисперсии являются размах и стандартное отклонение. Поскольку деление возможно только на разности, нельзя определить меры, требующие отношений, такие как коэффициент вариации. Более тонкий момент заключается в том, что хотя моменты относительно начала координат можно определить, значимы только центральные моменты, поскольку выбор начала координат произволен. Стандартизированные моменты можно определить, так как отношения разностей имеют смысл, но коэффициент вариации определить нельзя, поскольку среднее является моментом относительно начала координат, в отличие от стандартного отклонения, которое является (квадратным корнем) из центрального момента.

Центральная тенденция и статистическая дисперсия

Геометрическое среднее и гармоническое среднее допустимы для измерения центральной тенденции, наряду с модой, медианой и арифметическим средним. Студентизированный размах и коэффициент вариации допустимы для измерения статистической дисперсии. Все статистические показатели допустимы, поскольку все необходимые математические операции определены для шкалы отношений.

Дискуссия о типологии Стивенса

Хотя типология Стивенса широко принята, она все еще оспаривается другими теоретиками, особенно в случаях номинального и порядкового типов (Michell, 1986). Дункан (1986), например, возражал против использования слова «измерение» по отношению к номинальному типу, а Люс (1997) не согласился с определением измерения Стивенса. С другой стороны, Стивенс (1975) сказал о своем собственном определении измерения, что «назначение может быть любым последовательным правилом. Единственное недопустимое правило – случайное назначение, поскольку случайность фактически не является правилом». Хэнд отмечает: «Основные учебники по психологии часто начинаются с концептуальной схемы Стивенса, и эти идеи повсеместны. Действительно, фундаментальная состоятельность его иерархии была установлена для репрезентативного измерения математиками, определяющими свойства инвариантности отображений из эмпирических систем в континуум действительных чисел. Безусловно, эти идеи были пересмотрены, расширены и детализированы, но поразительна его проницательность, учитывая относительно ограниченный формальный аппарат, доступный ему, и то, сколько десятилетий прошло с момента их формулирования». Хотя Стивенс предполагал, что уровень измерения набора наблюдений определяет, какие математические или статистические операции допустимы, сами статистические анализы обычно не основываются на предположениях об уровнях измерения. Использование среднего значения в качестве меры центральной тенденции для порядкового типа по-прежнему вызывает споры среди тех, кто принимает типологию Стивенса. Многие специалисты в области поведенческих наук все равно используют среднее значение для порядковых данных. Это часто оправдывается тем, что порядковый тип в поведенческих науках на самом деле находится где-то между истинным порядковым и интервальным типами; хотя интервальная разница между двумя порядковыми рангами не является постоянной, она часто имеет один и тот же порядок величины. Например, применение моделей измерения в образовательных контекстах часто показывает, что суммарные баллы имеют довольно линейную связь с измерениями в диапазоне оценки. Таким образом, некоторые утверждают, что до тех пор, пока неизвестная интервальная разница между порядковыми рангами не слишком изменчива, интервальные статистические показатели, такие как среднее значение, могут осмысленно использоваться для порядковых переменных. Программное обеспечение для статистического анализа, такое как SPSS, требует от пользователя выбора соответствующего класса измерения для каждой переменной. Это гарантирует, что последующие ошибки пользователя не приведут к непреднамеренному выполнению бессмысленных анализов (например, корреляционного анализа с переменной на номинальном уровне). Л. Л. Турстон добился прогресса в разработке обоснования для получения интервального типа, основанного на законе сравнительного суждения. Распространенным применением закона является метод анализа иерархий. Дальнейший прогресс был достигнут Георгом Рашем (1960), который разработал вероятностную модель Раша, предоставляющую теоретическую основу и обоснование для получения измерений интервального типа на основе подсчета наблюдений, таких как суммарные баллы по оценкам.

While Stevens's typology is widely adopted, it is still being challenged by other theoreticians, particularly in the cases of the nominal and ordinal types (Michell, 1986). Duncan (1986), for example, objected to the use of the word measurement in relation to the nominal type and Luce (1997) disagreed with Steven's definition of measurement. On the other hand, Stevens (1975) said of his own definition of measurement that "the assignment can be any consistent rule. The only rule not allowed would be random assignment, for randomness amounts in effect to a nonrule". Hand says, "Basic psychology texts often begin with Stevens's framework and the ideas are ubiquitous. Indeed, the essential soundness of his hierarchy has been established for representational measurement by mathematicians, determining the invariance properties of mappings from empirical systems to real number continua. Certainly the ideas have been revised, extended, and elaborated, but the remarkable thing is his insight given the relatively limited formal apparatus available to him and how many decades have passed since he coined them." Although Stevens suggested that the level of measurement of a set of observations dictates which mathematical or statistical operations are permissible, statistical analyses themselves do not typically make assumptions about levels of measurement. The use of the mean as a measure of the central tendency for the ordinal type is still debatable among those who accept Stevens's typology. Many behavioural scientists use the mean for ordinal data, anyway. This is often justified on the basis that the ordinal type in behavioural science is in fact somewhere between the true ordinal and interval types; although the interval difference between two ordinal ranks is not constant, it is often of the same order of magnitude. For example, applications of measurement models in educational contexts often indicate that total scores have a fairly linear relationship with measurements across the range of an assessment. Thus, some argue that so long as the unknown interval difference between ordinal scale ranks is not too variable, interval scale statistics such as means can meaningfully be used on ordinal scale variables. Statistical analysis software such as SPSS requires the user to select the appropriate measurement class for each variable. This ensures that subsequent user errors cannot inadvertently perform meaningless analyses (for example correlation analysis with a variable on a nominal level). L. L. Thurstone made progress toward developing a justification for obtaining the interval type, based on the law of comparative judgment. A common application of the law is the analytic hierarchy process. Further progress was made by Georg Rasch (1960), who developed the probabilistic Rasch model that provides a theoretical basis and justification for obtaining interval level measurements from counts of observations such as total scores on assessments.

Другие предлагаемые типологии

Предложены и другие типологии, помимо типологии Стивенса. Например, Мостеллер и Туки (1977), Нельдер (1990) описали непрерывные счетчики, непрерывные отношения, отношения счетчиков и категориальные моды данных. См. также Chrisman (1998), van den Berg (1991).

Типология Мостеллера и Туки (1977)

Оценка членства по Мостеллеру и Тьюки является центральной для теории нечетких множеств, в то время как абсолютные измерения включают в себя вероятности, а также степени правдоподобия и неопределенности в теории Демпстера — Шафера. Циклические пропорциональные измерения включают углы и время. Счетчики кажутся пропорциональными измерениями, но их шкала не является произвольной, и дробные значения обычно не имеют смысла. Измерения логарифмических интервалов часто используются в графиках фондового рынка. Все эти типы измерений широко применяются за пределами академической географии и плохо согласуются с первоначальной работой Стивенса.

Типы шкалы и "операционная теория измерения" Стивенса

Теория типов шкал является интеллектуальным помощником "операциональной теории измерения" Стивенса, которая должна была стать определяющей в психологии и поведенческих науках, несмотря на характеристику Мишеля, считавшего её полностью противоречащей измерению в естественных науках (Мишель, 1999). По сути, операциональная теория измерения была реакцией на выводы комитета, созданного в 1932 году Британской ассоциацией содействия развитию науки для изучения возможности подлинного научного измерения в психологических и поведенческих науках. Этот комитет, ставший известным как комитет Фергюсона, опубликовал окончательный доклад (Ferguson, et al., 1940, p. 245), в котором шкала сонов Стивенса (Stevens & Davis, 1938) подверглась критике: любой закон, претендующий на выражение количественной связи между интенсивностью ощущения и интенсивностью стимула, не просто ложен, но фактически бессмысленен, пока не будет дано значение понятию сложения, применимому к ощущению. То есть, если шкала сонов Стивенса действительно измеряла интенсивность слуховых ощущений, то требовались доказательства того, что эти ощущения являются количественными атрибутами. Необходимым доказательством было наличие аддитивной структуры – концепции, всесторонне рассмотренной немецким математиком Отто Хёльдером (Хёльдер, 1901). Учитывая, что физик и теоретик измерений Норман Роберт Кэмпбелл доминировал в обсуждениях комитета Фергюсона, комитет пришел к выводу, что измерение в социальных науках невозможно из-за отсутствия операций конкатенации. Этот вывод позже был опровергнут открытием теории совместного измерения Дебрёу (1960) и независимо Люсом и Таки (1964). Однако реакцией Стивенса было не проведение экспериментов для проверки наличия аддитивной структуры в ощущениях, а попытка обесценить выводы комитета Фергюсона, предложив новую теорию измерения: Парафразируя Н. Р. Кэмпбелла (Final Report, p.340), можно сказать, что измерение в самом широком смысле определяется как присвоение чисел объектам и событиям в соответствии с правилами (Stevens, 1946, p.677). Стивенс испытывал сильное влияние идей другого академика Гарварда, нобелевского лауреата физика Перси Бриджмена (1927), чью доктрину операционализма Стивенс использовал для определения измерения. В определении Стивенса, например, само использование измерительной ленты определяет длину (объект измерения) как измеримую (и, следовательно, количественную). Критики операционализма возражают, что он смешивает отношения между двумя объектами или событиями со свойствами одного из этих объектов или событий (Мойер, 1981a,b; Роджерс, 1989). Канадский теоретик измерений Уильям Розебум был одним из первых и наиболее резких критиков теории типов шкал Стивенса.

The theory of scale types is the intellectual handmaiden to Stevens's "operational theory of measurement", which was to become definitive within psychology and the behavioral sciences, despite Michell's characterization as its being quite at odds with measurement in the natural sciences (Michell, 1999). Essentially, the operational theory of measurement was a reaction to the conclusions of a committee established in 1932 by the British Association for the Advancement of Science to investigate the possibility of genuine scientific measurement in the psychological and behavioral sciences. This committee, which became known as the Ferguson committee, published a Final Report (Ferguson, et al., 1940, p. 245) in which Stevens's sone scale (Stevens & Davis, 1938) was an object of criticism:

any law purporting to express a quantitative relation between sensation intensity and stimulus intensity is not merely false but is in fact meaningless unless and until a meaning can be given to the concept of addition as applied to sensation. That is, if Stevens's sone scale genuinely measured the intensity of auditory sensations, then evidence for such sensations as being quantitative attributes needed to be produced. The evidence needed was the presence of additive structure – a concept comprehensively treated by the German mathematician Otto Hölder (Hölder, 1901). Given that the physicist and measurement theorist Norman Robert Campbell dominated the Ferguson committee's deliberations, the committee concluded that measurement in the social sciences was impossible due to the lack of concatenation operations. This conclusion was later rendered false by the discovery of the theory of conjoint measurement by Debreu (1960) and independently by Luce & Tukey (1964). However, Stevens's reaction was not to conduct experiments to test for the presence of additive structure in sensations, but instead to render the conclusions of the Ferguson committee null and void by proposing a new theory of measurement:

Paraphrasing N. R. Campbell (Final Report, p.340), we may say that measurement, in the broadest sense, is defined as the assignment of numerals to objects and events according to rules (Stevens, 1946, p.677). Stevens was greatly influenced by the ideas of another Harvard academic, the Nobel laureate physicist Percy Bridgman (1927), whose doctrine of operationalism Stevens used to define measurement. In Stevens's definition, for example, it is the use of a tape measure that defines length (the object of measurement) as being measurable (and so by implication quantitative). Critics of operationism object that it confuses the relations between two objects or events for properties of one of those of objects or events. (Moyer, 1981a,b; Rogers, 1989). The Canadian measurement theorist William Rozeboom was an early and trenchant critic of Stevens's theory of scale types.

Одна и та же переменная может иметь разный тип шкалы в зависимости от контекста

Другой вопрос заключается в том, что одна и та же переменная может относиться к разному типу шкалы в зависимости от способа ее измерения и целей анализа. Например, цвет волос обычно рассматривается как номинальная переменная, поскольку не имеет явного порядка. Однако цвета (включая цвет волос) можно упорядочить различными способами, в том числе по цветовому тону; это известно как колориметрия. Цветовой тон является переменной интервального типа.