Введение
Игровой термин, требования к логической связности в теории вероятности.
the requirements for logical coherence in probability theory
В азартных играх, экономике и философии вероятности, "голландская книга" или "замок" – это набор коэффициентов и ставок, гарантирующий прибыль вне зависимости от исхода пари. Обычно используется как мысленный эксперимент для обоснования аксиом фон Неймана — Моргенштерна или аксиом теории вероятностей, демонстрируя их эквивалентность философской согласованности или эффективности Парето. В экономике этот термин обычно относится к последовательности сделок, в результате которых одна из сторон окажется в строго проигрышном положении (фактически, "потеряет деньги"). Типичные предположения теории рационального выбора (в частности, аксиомы фон Неймана — Моргенштерна) исключают возможность "голландской книги". Эти предположения ослабляются в поведенческой экономике. В философии аргумент о "голландской книге" используется для исследования степени уверенности в убеждениях, показывая, что рациональные агенты должны придерживаться байесовского подхода (то есть присваивать вероятности событиям). Этимология термина остаётся предметом споров.
Аргументы
Стандартный голландский аргумент показывает, что рациональные агенты должны обладать субъективными вероятностями для случайных событий, и что эти вероятности должны удовлетворять стандартным аксиомам теории вероятностей. Иными словами, любой рациональный человек должен быть готов присваивать (количественную) субъективную вероятность различным событиям. Важно отметить, что данный аргумент не подразумевает, что агенты готовы участвовать в азартных играх в традиционном понимании. Термин "ставка" в данном контексте относится к любому решению, принимаемому в условиях неопределенности. Например, покупка незнакомого продукта в супермаркете является своего рода "ставкой" (покупатель "делает ставку", что продукт качественный), как и посадка в автомобиль ("делая ставку", что водитель не попадет в аварию).
Установление готовности к ставке
Аргумент голландской книги можно обратить, рассмотрев точку зрения букмекера. В этом случае аргументы голландской книги показывают, что любой рациональный агент должен быть готов принимать определенные виды рисков, то есть совершать неопределенные ставки, иначе он будет иногда отказываться от "бесплатных подарков" или "чешских книг" – набора ставок, который гарантированно улучшает его положение.
Единообразие
В одном примере букмекер предлагает следующие коэффициенты и привлекает по одной ставке на каждую лошадь, относительные размеры которых не влияют на результат. Вычисленные вероятности, то есть вероятность победы каждой лошади, в сумме дают число больше 1, нарушая аксиому унитарности:
Horse numberOffered oddsImplied probabilityBet priceBookmaker paysif horse wins1Even$100$100 stake + $10023 to 1 against$50$50 stake + $15034 to 1 against$40$40 stake + $16049 to 1 against$20$20 stake + $180Total: 1.05Total: $210Always: $200
Whichever horse wins in this example, the bookmaker will pay out $200 (including returning the winning stake)—but the punter has bet $210, hence making a loss of $10 on the race. However, if horse 4 was withdrawn and the bookmaker does not adjust the other odds, the implied probabilities would add up to 0.95. In such a case, a gambler could always reap a profit of $10 by betting $100, $50 and $40 on the remaining three horses, respectively, and not having to stake $20 on the withdrawn horse, which now cannot win.
Номер лошади | Предлагаемые коэффициенты | Вычисленная вероятность | Цена ставки | Выплата букмекера в случае победы лошади
---|---|---|---|---
1 | Даже | 100 | 100 $ ставка + 100 $ |
2 | 3 к 1 против | 50 | 50 $ ставка + 150 $ |
3 | 4 к 1 против | 40 | 40 $ ставка + 160 $ |
4 | 9 к 1 против | 20 | 20 $ ставка + 180 $ |
**Итого:** | | 1.05 | **Итого:** 210 $ | **Всегда:** 200 $
Horse numberOffered oddsImplied probabilityBet priceBookmaker paysif horse wins1Even$100$100 stake + $10023 to 1 against$50$50 stake + $15034 to 1 against$40$40 stake + $16049 to 1 against$20$20 stake + $180Total: 1.05Total: $210Always: $200
Whichever horse wins in this example, the bookmaker will pay out $200 (including returning the winning stake)—but the punter has bet $210, hence making a loss of $10 on the race. However, if horse 4 was withdrawn and the bookmaker does not adjust the other odds, the implied probabilities would add up to 0.95. In such a case, a gambler could always reap a profit of $10 by betting $100, $50 and $40 on the remaining three horses, respectively, and not having to stake $20 on the withdrawn horse, which now cannot win.
Какая бы лошадь ни выиграла в этом примере, букмекер выплатит 200 $ (включая возврат выигрышной ставки), но игрок сделал ставок на 210 $, следовательно, понес убыток в 10 $ на гонке. Однако, если лошадь 4 была снята с дистанции, а букмекер не корректирует остальные коэффициенты, то сумма вычисленных вероятностей составит 0,95. В таком случае, игрок всегда мог бы получить прибыль в 10 $ , сделав ставки в 100 $, 50 $ и 40 $ на оставшихся трех лошадей соответственно, и ему не пришлось бы делать ставку в 20 $ на снятую лошадь, которая теперь не может победить.
Horse numberOffered oddsImplied probabilityBet priceBookmaker paysif horse wins1Even$100$100 stake + $10023 to 1 against$50$50 stake + $15034 to 1 against$40$40 stake + $16049 to 1 against$20$20 stake + $180Total: 1.05Total: $210Always: $200
Whichever horse wins in this example, the bookmaker will pay out $200 (including returning the winning stake)—but the punter has bet $210, hence making a loss of $10 on the race. However, if horse 4 was withdrawn and the bookmaker does not adjust the other odds, the implied probabilities would add up to 0.95. In such a case, a gambler could always reap a profit of $10 by betting $100, $50 and $40 on the remaining three horses, respectively, and not having to stake $20 on the withdrawn horse, which now cannot win.
Другие аксиомы
Другие формы голландских книг могут быть использованы для установления других аксиом вероятности, иногда включающие более сложные пари, например, прогнозирование порядка, в котором лошади придут к финишу. В байесовской вероятности Фрэнк П. Рэмси и Бруно де Финетти требовали, чтобы субъективные вероятности были когерентными, чтобы против них нельзя было составить голландскую книгу, независимо от того, как делались ставки. Необходимым и достаточным условием для этого является то, что их субъективные вероятности удовлетворяют всем аксиомам вероятности.
Экономика
В экономике классическим примером ситуации, в которой потребитель X может стать жертвой «голландского бронирования», является наличие у него нетранзитивных предпочтений. Предположим, что для этого потребителя А предпочтительнее B, B предпочтительнее C, а C предпочтительнее A. Тогда предположим, что кто-то другой в популяции, Y, владеет одним из этих товаров. Без потери общности, предположим, что у Y есть товар A. Тогда Y может сначала продать A потребителю X за B+ε, затем продать B потребителю X за C+ε, а затем продать C потребителю X за A+ε, где ε – некоторая малая величина, выраженная в единицах базового товара. После этой последовательности сделок X передал Y сумму 3·ε, ничего не получив взамен. Этот метод представляет собой «денежный насос», когда Y эксплуатирует X, используя арбитражную возможность, основанную на нетранзитивных предпочтениях X. Экономисты обычно утверждают, что люди с предпочтениями, подобными предпочтениям X, лишатся всего своего богатства на рынке. Если это так, мы не будем наблюдать предпочтения с нетранзитивностью или другими характеристиками, позволяющими стать жертвой «голландского бронирования». Однако, если люди в определенной степени осознают свою нетранзитивность и/или если конкуренция между арбитражерами сводит ε к нулю, не «стандартные» предпочтения все еще могут наблюдаться.