Введение
Число Фридмана — это целое число, которое в заданной системе счисления можно представить в виде результата нетривиального выражения, использующего все его цифры в комбинации с любыми из четырех основных арифметических операций (+, −, ×, ÷), с обратными операциями, скобками, возведением в степень и конкатенацией. Здесь «нетривиальное» означает, что используется хотя бы одна операция, кроме конкатенации. Ведущие нули использовать нельзя, так как это привело бы к тривиальным числам Фридмана, например, 024 = 20 + 4. Например, 347 является числом Фридмана в десятичной системе счисления, поскольку 347 = 73 + 4. Десятичные числа Фридмана: 25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, 1395, 1435, 1503, 1530, 1792, 1827, 2048, 2187, 2349, 2500, 2501, 2502, 2503, 2504, 2505, 2506, 2507, 2508, 2509, 2592, 2737, 2916. Числа Фридмана названы в честь Эриха Фридмана, профессора математики в отставке из Университета Стетсона и энтузиаста рекреационной математики. Число Фридмана, которое также является простым числом, называется простым числом Фридмана. Десятичные простые числа Фридмана: 127, 347, 2503, 12101, 12107, 12109, 15629, 15641, 15661, 15679, 16381, 16447, 16759, 16879, 19739, 21943, 27653, 28547, 28559, 29527, 29531, 32771, 32783, 35933, 36457, 39313, 39343, 43691, 45361, 46619, 46633, 46643, 46649, 46663, 46691, 48751, 48757, 49277, 58921, 59051, 59053, 59263, 59273, 64513, 74353, 74897, 78163, 83357.
25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, 1395, 1435, 1503, 1530, 1792, 1827, 2048, 2187, 2349, 2500, 2501, 2502, 2503, 2504, 2505, 2506, 2507, 2508, 2509, 2592, 2737, 2916,
Friedman numbers are named after Erich Friedman, a now retired mathematics professor at Stetson University and recreational mathematics enthusiast. A Friedman prime is a Friedman number that is also prime. The decimal Friedman primes are:
127, 347, 2503, 12101, 12107, 12109, 15629, 15641, 15661, 15667, 15679, 16381, 16447, 16759, 16879, 19739, 21943, 27653, 28547, 28559, 29527, 29531, 32771, 32783, 35933, 36457, 39313, 39343, 43691, 45361, 46619, 46633, 46643, 46649, 46663, 46691, 48751, 48757, 49277, 58921, 59051, 59053, 59263, 59273, 64513, 74353, 74897, 78163, 83357, .
Найти двузначные числа Фридмана
Обычно в любой системе счисления двухзначных чисел Фридмана меньше, чем трехзначных, и их больше, чем чисел с большим количеством цифр, но двухзначные числа легче найти. Если представить двухзначное число как mb + n, где b – основание системы счисления, а m и n – целые числа от 0 до b−1, то достаточно проверить каждую возможную комбинацию m и n на соответствие равенствам mb + n = mn и mb + n = nm, чтобы определить, какие из них верны. Нет необходимости рассматривать m + n или m × n, поскольку они всегда будут меньше mb + n при n < b. Аналогично обстоит дело с m − n и m / n.
Другие основания
Числа Фридмана существуют и для других оснований, кроме десятичного. Например, 11001₂ = 25 – число Фридмана в двоичной системе счисления, поскольку 11001 = 10110. Первые несколько известных чисел Фридмана в других малых основаниях показаны ниже, записанные в соответствующих системах счисления. Числа, выделенные жирным шрифтом, – это хорошие числа Фридмана. Основание Числа Фридмана: 211001, 11011, 111111, 1001111, 1010001, 3121, 221, 1022, 1122, 1211, 4121, 123, 1203, 1230, 1321, 5121, 224, 1232, 1241, 1242, 624, 52, 121, 124, 133, 7121, 143, 144, 264, 514, 833, 121, 125, 143, 251, 9121, 134, 314, 628, 1304, 11121, 2A9, 603, 1163, 1533, 12121, 127, 135, 144, 163, 13121, 237, 24A, 1245, 1246, 14121, 128, 135, 144, 173, 1526, 121, 136, 154, 336, 16121, 129, 145, 183, 27D.
Использование римских цифр
В тривиальном смысле, все римские числа, состоящие более чем из одного символа, являются числами Фридмана. Выражение создается путем простой вставки знаков "+" в число, а иногда и знака "−" с незначительной перестановкой порядка символов. Проводились исследования римских чисел Фридмана, в которых выражение использует и другие операторы. Первым таким интересным римским числом Фридмана, найденным, было 8, поскольку VIII = (V I) × II. Были обнаружены и другие подобные нетривиальные примеры. Сложность поиска нетривиальных чисел Фридмана в римских цифрах возрастает не с величиной числа (как в позиционных системах счисления), а с количеством символов, которые оно содержит. Например, гораздо сложнее определить, является ли 147 (CXLVII) числом Фридмана в римских цифрах, чем сделать то же самое для 1001 (MI). С римскими цифрами можно, по крайней мере, получить несколько выражений Фридмана из любого нового найденного выражения. Поскольку 8 является нетривиальным римским числом Фридмана, то любое число, оканчивающееся на VIII, также является числом Фридмана.