Введение

Идентичности и отношения, связанные с множествами. Алгебраические свойства операций над множествами в общем случае.

В математике алгебра множеств, которую не следует путать с математической структурой алгебры множеств, определяет свойства и законы множеств, теоретико-множественные операции объединения, пересечения и дополнения, а также отношения равенства и включения множеств. Она также предоставляет систематические процедуры для вычисления выражений и выполнения расчетов, связанных с этими операциями и отношениями. Любое семейство множеств, замкнутое относительно теоретико-множественных операций, образует булеву алгебру, где операцией объединения является join, операцией пересечения – meet, операцией дополнения – дополнение, нижним элементом является 1 = ∅, а верхним – универсальное множество, рассматриваемое в данной задаче.

Основные

Алгебра множеств является аналогом алгебры чисел в теории множеств. Подобно тому, как арифметическое сложение и умножение обладают ассоциативностью и коммутативностью, так и объединение и пересечение множеств обладают этими свойствами; подобно тому, как арифметическое отношение "меньше или равно" является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным, так и отношение "подмножества" в теории множеств обладает этими свойствами. Это алгебра операций объединения, пересечения и дополнения множеств, а также отношений равенства и включения. Для базового знакомства с множествами обратитесь к статье о множествах, для более подробного изложения – к наивной теории множеств, а для полного строгого аксиоматического подхода – к аксиоматической теории множеств.

Принцип двойственности

Каждая из вышеперечисленных тождеств является частью пары тождеств, где каждое из них можно преобразовать в другое, заменяя 1= \cup на 1= \cap и 1= \varnothing на 1= \boldsymbol{U}. Это примеры крайне важного и мощного свойства алгебры множеств, а именно принципа двойственности для множеств, который утверждает, что для любого верного утверждения о множествах, двойственное утверждение, полученное заменой объединений на пересечения, замены 1= \boldsymbol{U} на 1= \varnothing и инверсией включений, также будет верным. Утверждение называется самодвойственным, если оно совпадает со своим двойственным утверждением.