Кіріспе

Жинақтар мен жиынтықтар арасындағы қатынастар, жиынтық операцияларының алгебралық қасиеттері.

Математикада жиынтықтардың алгебрасы – жиынтықтардың алгебралық математикалық құрылымымен шатастырылмауы тиіс – жиынтықтардың қасиеттері мен заңдарын, біріктіру, қиылысу және толықтыру сияқты жиынтық теориялық операцияларды, сондай-ақ жиынтық теңдігі және жиынтықтардың кірігу қатынастарын анықтайды. Бұл алгебра осы операциялар мен қатынастарды қолданатын өрнектерді бағалау және есептеулер жүргізу үшін жүйелі әдістерді де ұсынады. Жиынтық теориялық операциялар бойынша жабық жиынтықтардың кез келген жиыны Буль алгебрасын құрайды, онда біріктіру операторы – союз, қиылысу операторы – қиылысу, толықтыру операторы – жиынтықтың толықтыруы, ең төменгі элементі 1 = ∅, ал ең жоғарғы элементі – қарастырылып отырған әмбебап жиынтық.

Негізгі қағидалар

Жинақтар алгебрасы – сандар алгебрасының жиындық теориядағы аналогы болып табылады. Арифметикалық қосу және көбейту ассоциативті және коммутативті болғандай, жиынтықтардың біріктірілуі мен қиылысуы да солай; арифметикалық «кем немесе тең» қатынасы рефлексивті, антисимметриялық және транзитивті болғандай, «ішкі жиын» жиындық қатынасы да солай. Бұл – жиындық теориясының біріктіру, қиылысу және толықтыру операцияларының, сондай-ақ теңдік және кіріктіру қатынастарының алгебрасы. Жинақтарға негізгі кіріспе үшін жинақтар туралы мақаланы қараңыз, толық мәліметтер үшін – наивтік жиындық теорияны, ал толыққанды қатаң аксиомалық қарастыру үшін – аксиомалық жиындық теорияны қараңыз.

Дуальдық қағидаты

Жоғарыда айтылған сәйкестіктердің әрқайсысы – жұп сәйкестіктердің бірі болып табылады, олардың әрқайсысын 1= ∪ және 1= ∩ алмастыру арқылы, сондай-ақ 1= Ø және 1= 𝐔 алмастыру арқылы бір-біріне айналдыруға болады. Бұл жиын алгебрасының өте маңызды және қуатты қасиетінің мысалы, атап айтқанда, жиындардың дуалдық принципі. Бұл принципке сәйкес, жиындар туралы кез келген дұрыс тұжырым үшін, одақтар мен қиылыстарды, 1= 𝐔 және 1= Ø алмастырып, кіріктірулерді кері ауыстыру арқылы алынған дуалды тұжырым да дұрыс болады. Егер тұжырым өзінің дуалымен бірдей болса, онда ол өзіне-дуалды деп аталады.