Введение

Алгебраическая структура
В абстрактной алгебре внутренняя алгебра — это определенный тип алгебраической структуры, кодирующий идею топологического ядра множества. Внутренние алгебры по отношению к топологии и модальной логике S4 являются тем же, чем булевы алгебры по отношению к теории множеств и классической пропозициональной логике. Внутренние алгебры образуют разновидность модальных алгебр.

Открытые и закрытые элементы

Элементы внутренней алгебры, удовлетворяющие условию xI = x, называются открытыми. Дополнения открытых элементов называются замкнутыми и характеризуются условием xC = x. Внутренность элемента всегда открыта, а замыкание элемента всегда замкнуто. Внутренности замкнутых элементов называются регулярными открытыми, а замыкания открытых элементов – регулярными замкнутыми. Элементы, которые одновременно открыты и замкнуты, называются клопанными. 0 и 1 являются клопанными. Внутренняя алгебра называется булевой, если все её элементы открыты (и, следовательно, клопанны). Булевы внутренние алгебры могут быть отождествлены с обычными булевыми алгебрами, поскольку их операторы внутренности и замыкания не предоставляют какой-либо значимой дополнительной структуры. Особым случаем является класс тривиальных внутренних алгебр, которые представляют собой внутренние алгебры с единственным элементом, характеризующиеся тождеством 0 = 1.

Булевые гомоморфизмы

Ранние исследования часто рассматривали отображения между внутренними алгебрами, являющиеся гомоморфизмами лежащих в основе булевых алгебр, но не обязательно сохраняющие операторы внутренних точек или замыкания. Такие отображения назывались булевыми гомоморфизмами. (Термины "гомоморфизм замыканий" или "топологический гомоморфизм" использовались в случае их сохранения, но эта терминология устарела, поскольку стандартное определение гомоморфизма в универсальной алгебре требует сохранения всех операций.) Приложения, связанные с счетно-полными внутренними алгебрами (в которых счетные пересечения и объединения всегда существуют, также называемыми σ-полными), как правило, использовали счетно-полные булевы гомоморфизмы, также называемые булевыми σ-гомоморфизмами – они сохраняют счетные пересечения и объединения.

Непрерывные морфизмы

Самым ранним обобщением непрерывности для внутренних алгебр была работа Сикорского, основанная на прообразе непрерывного отображения. Это булев гомоморфизм, сохраняющий объединения последовательностей и включающий замыкание прообраза в прообраз замыкания. Таким образом, Сикорский определил непрерывный гомоморфизм как булев σ-гомоморфизм f между двумя σ-полными внутренними алгебрами, такой что f(x)C ≤ f(xC). Это определение имело ряд сложностей: конструкция действует контравариантно, порождая двойственное отображение к непрерывному, а не обобщение. С одной стороны, σ-полнота недостаточно сильна для характеристики прообразов (требуется полнота), с другой стороны, она слишком ограничительна для обобщения. (Сикорский отмечал возможность использования не σ-полных гомоморфизмов, но включил σ-полноту в свои аксиомы для алгебр замыканий.) Позже Й. Шмидт определил непрерывный гомоморфизм или непрерывный морфизм для внутренних алгебр как булев гомоморфизм f между двумя внутренними алгебрами, удовлетворяющий условию f(xC) ≤ f(x)C. Это обобщает прямое изображение непрерывного отображения – образ замыкания содержится в замыкании образа. Эта конструкция ковариантна, но не подходит для категорно-теоретических приложений, поскольку позволяет строить непрерывные морфизмы из непрерывных отображений только в случае биекций. (К. Натурман вернулся к подходу Сикорского, исключив σ-полноту, чтобы получить топоморфизмы, как определено выше. В этой терминологии оригинальные "непрерывные гомоморфизмы" Сикорского являются σ-полными топоморфизмами между σ-полными внутренними алгебрами.)

Монадическая булева алгебра

Любая монодическая булева алгебра может рассматриваться как внутренняя алгебра, где оператор внутренних элементов является универсальным квантором, а оператор замыкания – экзистенциальным квантором. Монодические булевы алгебры являются, таким образом, точно сортом внутренних алгебр, удовлетворяющих тождеству xIC = xI. Иными словами, это внутренние алгебры, в которых каждый открытый элемент замкнут, или, что эквивалентно, в которых каждый замкнутый элемент открыт. Более того, такие внутренние алгебры являются точно полупростыми внутренними алгебрами. Они также соответствуют модальной логике S5 и поэтому также называются S5-алгебрами. В связи между частично упорядоченными множествами и внутренними алгебрами они соответствуют случаю, когда частичный порядок является отношением эквивалентности, что отражает тот факт, что такие частично упорядоченные множества предоставляют семантику Крипке для S5. Это также отражает связь между монадной логикой квантификации (для которой монодические булевы алгебры предоставляют алгебраическое описание) и S5, где модальные операторы □ (необходимо) и ◊ (возможно) могут быть интерпретированы в семантике Крипке с использованием монадного универсального и экзистенциального квантификаторов соответственно, без обращения к отношению доступности.

Алгебры Хейтинга

Открытые элементы внутренней алгебры образуют алгебру Хейтинга, а закрытые элементы — двойную алгебру Хейтинга. Регулярные открытые и регулярные закрытые элементы соответствуют псевдодополненным и двойным псевдодополненным элементам этих алгебр соответственно и, таким образом, образуют булевы алгебры. Клопенные элементы соответствуют дополненным элементам и образуют общую субалгебру этих булевых алгебр, а также самой внутренней алгебры. Каждая алгебра Хейтинга может быть представлена как открытые элементы внутренней алгебры, и последнюю можно выбрать как внутреннюю алгебру, порожденную своими открытыми элементами — такие внутренние алгебры находятся во взаимно однозначном соответствии с алгебрами Хейтинга (с точностью до изоморфизма), являясь их свободными булевыми расширениями. Алгебры Хейтинга играют ту же роль для интуиционистской логики, что и внутренние алгебры для модальной логики S4 и булевы алгебры для пропозициональной логики. Связь между алгебрами Хейтинга и внутренними алгебрами отражает отношение между интуиционистской логикой и S4, в рамках которого теории интуиционистской логики можно интерпретировать как теории S4, замкнутые относительно необходимости. Взаимно однозначное соответствие между алгебрами Хейтинга и внутренними алгебрами, порожденными их открытыми элементами, отражает соответствие между расширениями интуиционистской логики и нормальными расширениями модальной логики S4. Grz.

Производные алгебры

При заданной внутренней алгебре A, оператор замыкания подчиняется аксиомам оператора производной D. Следовательно, мы можем построить производную алгебру D(A) с той же базовой булевой алгеброй, что и A, используя оператор замыкания в качестве оператора производной. Таким образом, внутренние алгебры являются производными алгебрами. С этой точки зрения, они представляют собой именно сорт производных алгебр, удовлетворяющих тождеству xD ≥ x. Производные алгебры предоставляют подходящую алгебраическую семантику для модальной логики wK4. Следовательно, производные алгебры соотносятся с топологическими производными множествами и wK4 так же, как внутренние/замыкающие алгебры соотносятся с топологическими внутренностями/замыканиями и S4. При заданной производной алгебре V с оператором производной D, мы можем построить внутреннюю алгебру 1 = I(V) с той же базовой булевой алгеброй, что и V, с операторами внутренности и замыкания, определенными как 1 = x^(I) = x·x’^(D)’ и 1 = x^(C) = x + x^(D) соответственно. Таким образом, каждая производная алгебра может рассматриваться как внутренняя алгебра. Более того, при заданной внутренней алгебре A, выполняется 1 = I(D(A)) = A. Однако 1 = D(I(V)) = V не обязательно верно для каждой производной алгебры V.

Дуальность камня и представление для внутренних алгебр

Дуальность Стоуна обеспечивает категорно-теоретическую дуальность между булевыми алгебрами и классом топологических пространств, известных как булевы пространства. Опираясь на зарождающиеся идеи реляционной семантики (позже формализованной Крипке) и результат Р.С. Пирса, Йонссон, Тарски и Г. Хансул расширили дуальность Стоуна до булевых алгебр с операторами, снабдив булевы пространства отношениями, которые соответствуют операторам посредством построения множества степеней. В случае внутренних алгебр внутренний (или оператор замыкания) оператор соответствует предзаказу на булевом пространстве. Гомоморфизмы между внутренними алгебрами соответствуют классу непрерывных отображений между булевыми пространствами, известных как псевдоэпиморфизмы или, сокращенно, p-морфизмы. Это обобщение дуальности Стоуна для внутренних алгебр, основанное на представлении Йонссона-Тарски, было исследовано Лео Эсакией и также известно как дуальность Эсакии для алгебр S4 (внутренних алгебр) и тесно связано с дуальностью Эсакии для алгебр Хейтинга. В то время как обобщение дуальности Стоуна Йонссоном-Тарски применимо к булевым алгебрам с операторами в целом, связь между внутренними алгебрами и топологией позволяет использовать другой метод обобщения дуальности Стоуна, уникальный для внутренних алгебр. Промежуточным шагом в развитии дуальности Стоуна является теорема о представлении Стоуна, которая представляет булеву алгебру как поле множеств. Топология Стоуна соответствующего булевого пространства затем генерируется с использованием поля множеств в качестве топологической базы. Опираясь на топологическую семантику, введенную Тан Цзао Ченом для модальной логики Льюиса, Маккинси и Тарски показали, что, генерируя топологию, эквивалентную использованию только комплексов, соответствующих открытым элементам в качестве базы, представление внутренней алгебры получается как топологическое поле множеств — поле множеств на топологическом пространстве, замкнутое относительно взятия внутренних элементов или замыканий. Снабжая топологические поля множеств соответствующими морфизмами, известными как отображения полей, К. Натурман показал, что этот подход может быть формализован как категорно-теоретическая дуальность Стоуна, в которой обычная дуальность Стоуна для булевых алгебр соответствует случаю внутренних алгебр, имеющих избыточный оператор внутреннего элемента (булевы внутренние алгебры). Предзаказ, полученный в подходе Йонссона-Тарски, соответствует отношению доступности в семантике Крипке для теории S4, в то время как промежуточное поле множеств соответствует представлению алгебры Линденбаума-Тарски для теории, использующей множества возможных миров в семантике Крипке, в которых выполняются предложения теории. Переход от поля множеств к булеву пространству несколько затемняет эту связь. Рассматривая поля множеств на предзаказах как категорию саму по себе, эту глубокую связь можно сформулировать как категорно-теоретическую дуальность, которая обобщает представление Стоуна без топологии. Р. Голдблатт показал, что при ограничениях на соответствующие гомоморфизмы такую дуальность можно сформулировать для произвольных модальных алгебр и фреймов Крипке. Натурман показал, что в случае внутренних алгебр эта дуальность применима к более общим топоморфизмам и может быть факторизована через категорно-теоретический функтор через дуальность с топологическими полями множеств. Последние представляют алгебру Линденбаума-Тарски, используя множества точек, удовлетворяющих предложениям теории S4 в топологической семантике. Предзаказ можно получить как предзаказ специализации топологии Маккинси-Тарски. Дуальность Эсакии может быть восстановлена через функтор, который заменяет поле множеств сгенерированным им булевым пространством. Через функтор, который вместо этого заменяет предзаказ соответствующей топологией Александрова, получается альтернативное представление внутренней алгебры как поля множеств, где топология является бико-отражением топологии Маккинси-Тарски. Подход к формулированию топологической дуальности для внутренних алгебр, использующий как топологию Стоуна подхода Йонссона-Тарски, так и топологию Александрова предзаказа для формирования битопологического пространства, был исследован Г. Бежанишвили, Р. Майнесом и П.Дж. Моранди. Топология Маккинси-Тарски внутренней алгебры является пересечением первых двух топологий.

Метаматематика

Грегорчик доказал неразрешимость теории первого порядка алгебр замыканий. Натурман показал, что теория является наследственно неразрешимой (все её подтеории неразрешимы), и продемонстрировал бесконечную цепь элементарных классов внутренних алгебр с наследственно неразрешимыми теориями.