Ішкі алгебралар: Топологиялық қасиеттері мен қолданыстары

Кіріспе

Алгебралық құрылым

Абстракт алгебрада ішкі алгебра – жиынның топологиялық ішкі бөлігін сипаттайтын алгебралық құрылымның бір түрі. Ішкі алгебралар топология және модальдық логика S4 үшін, бульдік алгебралар жиын теориясы және классикалық пропозициялық логика үшін не болса, сондай. Ішкі алгебралар модальдық алгебралардың бір түрін құрайды.

Ашық және жабық элементтер

Ішкі алгебраның xI = x шартын қанағаттандыратын элементтері ашық деп аталады. Ашық элементтердің толықтырулары жабық деп аталады және xC = x шартымен сипатталады. Элементтің ішкі жиыны әрқашан ашық, ал элементтің жабылуы әрқашан жабық болады. Жабық элементтердің ішкі жиындары тұрақты ашық, ал ашық элементтердің жабылулары тұрақты жабық деп аталады. Ашық және жабық элементтер clopen деп аталады. 0 және 1 clopen болып табылады. Ішкі алгебраның барлық элементтері ашық (сонымен қатар clopen) болса, ол Бульдік алгебра деп аталады. Бульдік ішкі алгебраларды классикалық Бульдік алгебралармен теңестіруге болады, себебі олардың ішкі және жабылу операторлары мағыналы қосымша құрылымды ұсынбайды. Ерекше жағдай – тривиалды ішкі алгебралар класы, олар 0 = 1 тепе-теңдігімен сипатталатын бір элементті ішкі алгебралар болып табылады.

Бульдік гомоморфизмдер

Ертедегі зерттеулер көбінесе ішкі алгебралар арасындағы бейнелеулерді қарастырды, олар негізгі Буль алгебраларының гомоморфизмдері болды, бірақ міндетті түрде ішкі немесе жабылу операторын сақтамайтын. Мұндай бейнелеулер Буль гомоморфизмдері деп аталды. (Бұл операторлар сақталған жағдайда қосылу гомоморфизмі немесе топологиялық гомоморфизм терминдері қолданылған, бірақ бұл терминология қазір артық, себебі жалпы алгебрадағы гомоморфизмнің стандартты анықтамасы барлық операцияларды сақтауды талап етеді.) Санаулы толық ішкі алгебраларды қолданатын (онда санаулы тоғысқандар мен біріктірулер әрқашан бар, оларды σ-толық деп те атайды) қолданбалар көбінесе санаулы толық Буль гомоморфизмдерін пайдаланды, оларды Буль σ-гомоморфизмдері деп те атайды – олар санаулы тоғысқандар мен біріктірулерді сақтайды.

Тұрақты морфизмдер

Ішкі алгебраларға сабақтастықтың ең ерте жалпылануы Сикорскийдікі болды, ол үздіксіз бейнелеудің кері бейнелеу картасына негізделген. Бұл – Бульдік гомоморфизм, ол тізбектердің біріктірулерін сақтайды және кері бейнелеудің жабылуын кері бейнелеудің жабылуына қосады. Осылайша Сикорский үздіксіз гомоморфизмді екі σ-толық ішкі алгебра арасындағы Бульдік σ-гомоморфизм ретінде анықтады, яғни f(xC) ≤ f(x)C. Бұл анықтамада бірнеше қиындықтар болды: құрылым жалпылаудың орнына үздіксіз бейнелеудің дуалына алып келеді. Бір жағынан, σ-толықтығы кері бейнелеу карталарын сипаттау үшін тым әлсіз (толықтық қажет), екінші жағынан, ол жалпылау үшін тым шектеулі. (Сикорский σ-толық емес гомоморфизмдерді пайдалану туралы айтты, бірақ жабылу алгебралары үшін аксиомаларына σ-толықтығын қосты.) Кейін Ж. Шмид ішкі алгебралар үшін үздіксіз гомоморфизмді немесе үздіксіз морфизмді екі ішкі алгебра арасындағы Бульдік гомоморфизм ретінде анықтады, ол f(xC) ≤ f(x)C шартын қанағаттандырады. Бұл үздіксіз бейнелеудің тікелей бейнелеу картасын жалпылайды – бейнелеудің жабылуы бейнелеудің жабылуына кіреді. Бұл құрылым ковариантты, бірақ категориялық теориялық қолданыстарға қолайлы емес, өйткені ол тек біекциялар жағдайында үздіксіз бейнелеулерден үздіксіз морфизмдерді құруға мүмкіндік береді. (С. Натурман жоғарыда анықталған топоморфизмдерді алу үшін σ-толықтығын жойып, Сикорскийдің тәсіліне қайта оралды. Осы терминологияда Сикорскийдің бастапқы «үздіксіз гомоморфизмдері» σ-толық ішкі алгебралар арасындағы σ-толық топоморфизмдер болып табылады.)

Монадалық Буль алгебралары

Кез келген монадтық Буль алгебрасы ішкі алгебра ретінде қарастырылуы мүмкін, онда ішкі оператор – әмбебап квантор, ал жабылу операторы – экзистенциалдық квантор. Монадтық Буль алгебралары – xIC = xI тепе-теңдігін қанағаттандыратын ішкі алгебралардың тұқымы. Басқаша айтқанда, олар дәл сол ішкі алгебралар, онда кез келген ашық элемент жабық, немесе, теңдесінше, кез келген жабық элемент ашық. Одан әрі, мұндай ішкі алгебралар дәл жартылай қарапайым ішкі алгебралар болып табылады. Олар сондай-ақ S5 модальдық логикасына сәйкес келетін ішкі алгебралар, сондықтан оларды S5 алгебралары деп те атайды. Алдын ала реттелген жиындықтар мен ішкі алгебралар арасындағы байланыста, олар алдын ала реттелген жиындықтар эквиваленттік қатынас болатын жағдайға сәйкес келеді, бұл олардың S5 үшін Крипке семантикасын ұсынатынын көрсетеді. Бұл сондай-ақ сандық монадалық логика (монадалық Буль алгебрасы алгебралық сипаттамасын береді) пен S5 арасындағы байланысты көрсетеді, онда □ (қажетті) және ◊ (мүмкін) модальдық операторларын Крипке семантикасында тиісінше монадалық әмбебап және экзистенциалдық квантификация арқылы, қолжетімділік қатынасына сілтеме жасамай түсіндіруге болады.

Гейтинг алгебрасы

Ішкі алгебраның ашық элементтері Хейтинг алгебрасын құрайды, ал жабық элементтері екілік Хейтинг алгебрасын құрайды. Тұрақты ашық элементтер мен тұрақты жабық элементтер осы алгебралардың псевдокомплементті элементтеріне және қос псевдокомплементті элементтеріне сәйкес келеді, соның салдарынан Буль алгебраларын құрайды. Клопен элементтері толықтырылған элементтерге сәйкес келеді және осы Буль алгебраларының, сондай-ақ ішкі алгебраның ортақ субальгебрасын құрайды. Кез келген Хейтинг алгебрасын ішкі алгебраның ашық элементтері ретінде бейнелеуге болады, ал соңғысы оның ашық элементтері арқылы туындаған ішкі алгебра ретінде таңдалуы мүмкін. Мұндай ішкі алгебралар Хейтинг алгебраларымен (изоморфизмге дейін) бір-бірге сәйкес келеді, олар соңғысының бос Бульдік кеңейтулері болып табылады. Хейтинг алгебралары интуиционисттік логика үшін, ішкі алгебралар S4 модальдық логика үшін, ал Буль алгебралары мәндік логика үшін бірдей рөл атқарады. Хейтинг алгебралары мен ішкі алгебралар арасындағы байланыс интуиционисттік логика мен S4 арасындағы байланысты көрсетеді, онда интуиционисттік логиканың теорияларын қажеттілік принципі бойынша жабық S4 теориялары ретінде қарастыруға болады. Хейтинг алгебралары мен олардың ашық элементтері арқылы туындаған ішкі алгебралар арасындағы бір-бірге сәйкестік интуиционисттік логиканың кеңейтулері мен S4 модальдық логикасының қалыпты кеңейтулері арасындағы сәйкестікті көрсетеді. Grz.

Түпнұсқа алгебралар

Ішкі алгебра A берілгенде, жабылу операторы туынды оператордың аксиомаларын қанағаттандырады, D. Сондықтан, жабылу операторын туынды оператор ретінде пайдаланып, A сияқты бірдей негізгі Буль алгебрасымен D(A) туынды алгебрасын құруға болады. Осылайша, ішкі алгебралар – туынды алгебралар. Осы көзқарас бойынша, олар – xD ≥ x теңдігін қанағаттандыратын туынды алгебралардың әртүрлілігі. Туынды алгебралар wK4 модальдық логикасы үшін тиісті алгебралық семантиканы ұсынады. Сондықтан, туынды алгебралар топологиялық туынды жиындарға және wK4-ке, ішкі/жабылу алгебралары топологиялық ішкі/жабылуларға және S4-ке қатысты тұрады. Туынды операторы D бар V туынды алгебрасы берілгенде, V-ге ұқсас негізгі Буль алгебрасымен 1 = 'I'(V) ішкі алгебрасын құруға болады, мұнда ішкі және жабылу операторлары 1 = x^(I) = x · x'^(D)' және 1 = x^(C) = x + x^(D) арқылы анықталады. Осылайша, кез келген туынды алгебраны ішкі алгебра деп қарастыруға болады. Сонымен қатар, ішкі алгебра A берілгенде, 1 = 'I'(D'(A)) = 'A' болады. Дегенмен, 1 = 'D'(I'(V)) = 'V' кез келген V туынды алгебрасы үшін міндетті түрде орындалмайды.

Ішкі алгебралар үшін тас дуалдығы мен бейнелеуі

Stone дуалдығы Буль алгебралары мен Буль кеңістіктері деп аталатын топологиялық кеңістіктер класы арасындағы категориялық теориялық дуалдықты ұсынады. Реляциялық семантиканың бастапқы идеяларына негізделіп (кейін Крипке формальдандырды) және Р.С. Пирс, Йонссон, Тарски және Г. Хансулдың нәтижесі бойынша, Буль кеңістіктерін операторларға сәйкес келетін қатынастармен жабдықтау арқылы Буль алгебраларына Стоун дуалдығын кеңейтті. Ішкі алгебралар жағдайында ішкі (немесе жабылу) операторы Буль кеңістігіндегі алдын ала тәртіпке сәйкес келеді. Ішкі алгебралар арасындағы гомоморфизмдер Буль кеңістіктері арасындағы үздіксіз карталардың псевдоэпиморфизмдері немесе қысқаша p-морфизмдері деп аталатын класына сәйкес келеді. Jónsson–Tarski бейнелеуіне негізделген ішкі алгебраларға Стоун дуалдығын жалпылауды Лео Есакия зерттеді, және ол S4 алгебралары (ішкі алгебралар) үшін Есакия дуалдығы деп те белгілі, сондай-ақ Хейтинг алгебралары үшін Есакия дуалдығымен тығыз байланысты. Stone дуалдығының Jónsson–Tarski жалпылауы жалпы операторлары бар Буль алгебраларына қатысты болса, ішкі алгебралар мен топология арасындағы байланыс ішкі алгебраларға ғана тән Стоун дуалдығын жалпылаудың тағы бір әдісін қолдануға мүмкіндік береді. Стоун дуалдығының дамуының аралық қадамы – Буль алгебрасын жиындар өрісі ретінде көрсететін Стоунның бейнелеу теоремасы. Сәйкес Буль кеңістігінің Stone топологиясы жиындар өрісін топологиялық негіз ретінде пайдалана отырып құрылады. Льюис модальдық логикасы үшін Тан Цзао Чен енгізген топологиялық семантикаға сүйене отырып, Маккинси мен Тарски ашық элементтерге сәйкес келетін кешендерді негіз ретінде пайдаланумен тең келетін топологияны құру арқылы ішкі алгебраның бейнесі жиындардың топологиялық өрісі ретінде алынады – топологиялық кеңістіктегі жиындар өрісі, ол ішкі немесе жабылуларға қатысты жабық. Топологиялық жиындар өрісін орынды морфизмдермен жабдықтағанда, C. Натурман бұл тәсілді категориялық теориялық Стоун дуалдығы ретінде формалдастыруға болатынын көрсетті, онда Буль алгебралары үшін әдеттегі Стоун дуалдығы ішкі алгебраның редуктивті ішкі операторына (Буль ішкі алгебрасы) сәйкес келеді. Jónsson–Tarski әдісі бойынша алынған алдын ала тәртіп S4 теориясы үшін Крипке семантикасындағы қолжетімділік қатынасына сәйкес келеді, ал жиындардың аралық өрісі теорияның сөйлемдері орындалатын Крипке семантикасындағы мүмкін әлемдердің жиынтықтарын пайдалана отырып, теория үшін Lindenbaum–Tarski алгебрасының бейнелеуіне сәйкес келеді. Жинақтар өрісінен Буль кеңістігіне көшу бұл байланысты біршама бұзады. Алдын ала тәртіптер бойынша жиындарды өз алдына бір категория ретінде қарастыру арқылы бұл терең байланысты топологиясыз Стоун бейнелеуін жалпылайтын категориялық теориялық дуалдық ретінде тұжырымдауға болады. Р. Голдблат тиісті гомоморфизмдерге шектеулер қойып, мұндай дуалдықты кез келген модальдық алгебралар мен Крипке кадрлары үшін құрастыруға болатынын көрсетті. Натурман ішкі алгебралар жағдайында бұл дуалдықтың жалпы топоморфизмдерге қатысты екенін және жиындардың топологиялық өрістерімен дуалдықтың категориялық теориялық функтор арқылы факторлануы мүмкін екенін көрсетті. Соңғылары Lindenbaum–Tarski алгебрасын топологиялық семантикадағы S4 теориясының сөйлемдерін қанағаттандыратын нүктелер жиынтығын пайдалана отырып көрсетеді. Алдын ала тәртіпті Маккинси–Тарски топологиясының мамандандыру алдын ала тәртібі ретінде алуға болады. Эсакия дуалдығын ол жинақтар өрісін ол туғызатын Буль кеңістігімен алмастыратын функтор арқылы қалпына келтіруге болады. Оның орнына алдын ала тәртіпті сәйкес Александrov топологиясымен алмастыратын функтор арқылы ішкі алгебраның жинақтар өрісі ретінде баламалы бейнесі алынады, онда топология Маккинси–Тарски топологиясының Александров бико-рефлексиясы болып табылады. Ішкі алгебралар үшін топологиялық дуалдықты формулиру әдісін Jónsson–Tarski әдісінің Stone топологиясы мен биотопологиялық кеңістікті қалыптастыру үшін алдын ала тәртіптің Александров топологиясын қолдану арқылы Г. Безханишвили, Р. Майнс және П.Ж. Моранди зерттеді. Ішкі алгебраның Маккинси–Тарски топологиясы – бұрынғы екі топологияның қиылысы.

Stone duality provides a category theoretic duality between Boolean algebras and a class of topological spaces known as Boolean spaces. Building on nascent ideas of relational semantics (later formalized by Kripke) and a result of R. S. Pierce, Jónsson, Tarski and G. Hansoul extended Stone duality to Boolean algebras with operators by equipping Boolean spaces with relations that correspond to the operators via a power set construction. In the case of interior algebras the interior (or closure) operator corresponds to a pre order on the Boolean space. Homomorphisms between interior algebras correspond to a class of continuous maps between the Boolean spaces known as pseudo epimorphisms or p morphisms for short. This generalization of Stone duality to interior algebras based on the Jónsson–Tarski representation was investigated by Leo Esakia and is also known as the Esakia duality for S4 algebras (interior algebras) and is closely related to the Esakia duality for Heyting algebras. Whereas the Jónsson–Tarski generalization of Stone duality applies to Boolean algebras with operators in general, the connection between interior algebras and topology allows for another method of generalizing Stone duality that is unique to interior algebras. An intermediate step in the development of Stone duality is Stone's representation theorem, which represents a Boolean algebra as a field of sets. The Stone topology of the corresponding Boolean space is then generated using the field of sets as a topological basis. Building on the topological semantics introduced by Tang Tsao Chen for Lewis's modal logic, McKinsey and Tarski showed that by generating a topology equivalent to using only the complexes that correspond to open elements as a basis, a representation of an interior algebra is obtained as a topological field of sets—a field of sets on a topological space that is closed with respect to taking interiors or closures. By equipping topological fields of sets with appropriate morphisms known as field maps, C. Naturman showed that this approach can be formalized as a category theoretic Stone duality in which the usual Stone duality for Boolean algebras corresponds to the case of interior algebras having redundant interior operator (Boolean interior algebras). The pre order obtained in the Jónsson–Tarski approach corresponds to the accessibility relation in the Kripke semantics for an S4 theory, while the intermediate field of sets corresponds to a representation of the Lindenbaum–Tarski algebra for the theory using the sets of possible worlds in the Kripke semantics in which sentences of the theory hold. Moving from the field of sets to a Boolean space somewhat obfuscates this connection. By treating fields of sets on pre orders as a category in its own right this deep connection can be formulated as a category theoretic duality that generalizes Stone representation without topology. R. Goldblatt had shown that with restrictions to appropriate homomorphisms such a duality can be formulated for arbitrary modal algebras and Kripke frames. Naturman showed that in the case of interior algebras this duality applies to more general topomorphisms and can be factored via a category theoretic functor through the duality with topological fields of sets. The latter represent the Lindenbaum–Tarski algebra using sets of points satisfying sentences of the S4 theory in the topological semantics. The pre order can be obtained as the specialization pre order of the McKinsey–Tarski topology. The Esakia duality can be recovered via a functor that replaces the field of sets with the Boolean space it generates. Via a functor that instead replaces the pre order with its corresponding Alexandrov topology, an alternative representation of the interior algebra as a field of sets is obtained where the topology is the Alexandrov bico reflection of the McKinsey–Tarski topology. The approach of formulating a topological duality for interior algebras using both the Stone topology of the Jónsson–Tarski approach and the Alexandrov topology of the pre order to form a bi topological space has been investigated by G. Bezhanishvili, R. Mines, and P. J. Morandi. The McKinsey–Tarski topology of an interior algebra is the intersection of the former two topologies.

Метаматематика

Гжегорчик жабылу алгебраларының бірінші реттік теориясы шешілмейтінін дәлелдеді. Натурман бұл теорияның мұрагерлік тұрғыдан шешілмейтінін (оның барлық кіші теориялары шешілмейтінін) көрсетті және мұрагерлік тұрғыдан шешілмейтін теориялары бар ішкі алгебралардың элементарлық сыныптарының шексіз тізбегін ұсынды.