Введение
Векторная величина в небесной механике
В небесной механике специфический относительный угловой момент (часто обозначается **h** или **H**) тела — это угловой момент этого тела, деленный на его массу. В случае двух обращающихся тел он представляет собой векторное произведение их относительной позиции и относительного импульса, деленное на массу рассматриваемого тела. Специфический относительный угловой момент играет ключевую роль в анализе задачи двух тел, поскольку он остается постоянным для заданной орбиты в идеальных условиях. Термин "специфический" в данном контексте указывает на угловой момент, приходящийся на единицу массы. Единицей СИ для специфического относительного углового момента является квадратный метр в секунду.
In celestial mechanics, the specific relative angular momentum (often denoted or ) of a body is the angular momentum of that body divided by its mass. In the case of two orbiting bodies it is the vector product of their relative position and relative linear momentum, divided by the mass of the body in question. Specific relative angular momentum plays a pivotal role in the analysis of the two body problem, as it remains constant for a given orbit under ideal conditions. "Specific" in this context indicates angular momentum per unit mass. The SI unit for specific relative angular momentum is square meter per second.
Определение
Удельный относительный момент импульса определяется как векторное произведение относительного вектора положения и относительного вектора скорости, где является вектором момента импульса, определяемым как . Этот вектор всегда перпендикулярен мгновенной оскулирующей орбитальной плоскости, которая совпадает с мгновенной возмущенной орбитой. Он не обязательно перпендикулярен средней орбитальной плоскости во времени.
where is the angular momentum vector, defined as
The vector is always perpendicular to the instantaneous osculating orbital plane, which coincides with the instantaneous perturbed orbit. It is not necessarily be perpendicular to the average orbital plane over time.
Доказательство постоянства в случае двух тел
При определенных условиях можно доказать, что удельный угловой момент является постоянной величиной. Условия для этого доказательства включают: масса одного объекта значительно превосходит массу другого; система координат инерциальна; каждый объект можно рассматривать как сферически симметричную точечную массу; на систему не действуют никакие силы, кроме силы гравитационного взаимодействия между двумя телами.
The mass of one object is much greater than the mass of the other one. The coordinate system is inertial. Each object can be treated as a spherically symmetrical point mass. No other forces act on the system other than the gravitational force that connects the two bodies.
Законы Кеплера о движении планет
Законы Кеплера о движении планет могут быть доказаны почти напрямую, используя вышеуказанные соотношения.
Третий закон
Третий закон Кеплера является прямым следствием второго закона. Интегрирование по одному обороту дает орбитальный период для площади эллипса. Заменяя малую полуось на *b* и удельный относительный угловой момент на *h*, получаем
for the area of an ellipse. Replacing the semi minor axis with and the specific relative angular momentum with one gets
There is thus a relationship between the semi major axis and the orbital period of a satellite that can be reduced to a constant of the central body.
Таким образом, существует связь между большой полуосью и орбитальным периодом спутника, которую можно свести к константе центрального тела.
for the area of an ellipse. Replacing the semi minor axis with and the specific relative angular momentum with one gets
There is thus a relationship between the semi major axis and the orbital period of a satellite that can be reduced to a constant of the central body.