Введение

Теоретическое обоснование

В теоретической физике квантовая теория поля (КТП) — это теоретическое обоснование, объединяющее классическую теорию поля, специальную теорию относительности и квантовую механику. КТП используется в физике частиц для построения физических моделей субатомных частиц и в физике конденсированного состояния для построения моделей квазичастиц. Современная Стандартная модель физики частиц основана на квантовой теории поля. КТП рассматривает частицы как возбужденные состояния (также называемые квантовыми уровнями) их лежащих в основе квантовых полей, которые являются более фундаментальными, чем сами частицы. Уравнение движения частицы определяется минимизацией действия, вычисленного для лагранжиана – функции полей, связанных с этой частицей. Взаимодействия между частицами описываются членами взаимодействия в лагранжиане, включающими соответствующие квантовые поля. Каждое взаимодействие может быть визуально представлено диаграммами Фейнмана в рамках теории возмущений в квантовой механике.

История

Квантовая теория поля возникла из работы поколений физиков-теоретиков на протяжении большей части XX века. Ее развитие началось в 1920-х годах с описания взаимодействий между светом и электронами, завершившись созданием первой квантовой теории поля — квантовой электродинамики. Вскоре за этим последовало серьезное теоретическое препятствие, связанное с появлением и устойчивостью различных бесконечностей в расчетах теории возмущений, проблема, которая была решена лишь в 1950-х годах с изобретением процедуры перенормировки. Вторым серьезным барьером стала кажущаяся неспособность КТП описывать слабые и сильные взаимодействия, что привело к призывам некоторых теоретиков отказаться от полевого подхода. Развитие теории калибровочных полей и завершение Стандартной модели в 1970-х годах привели к возрождению квантовой теории поля.

Теоретическая основа

Квантовая теория поля возникла в результате объединения классической теории поля, квантовой механики и специальной теории относительности. Поля начали обретать самостоятельное существование с развитием электромагнетизма в XIX веке. Майкл Фарадей в 1845 году ввел английский термин "поле". Он представил поля как свойства пространства (даже лишенного материи), обладающие физическим воздействием. Он возражал против "действия на расстоянии" и предложил, что взаимодействия между объектами происходят посредством заполняющих пространство "линий силы". Это описание полей актуально и сегодня. Теория классического электромагнетизма была завершена в 1864 году уравнениями Максвелла, описывающими взаимосвязь между электрическим полем, магнитным полем, электрическим током и электрическим зарядом. Уравнения Максвелла предсказывали существование электромагнитных волн – явления, при котором электрические и магнитные поля распространяются из одной точки пространства в другую с конечной скоростью, которая оказалась равна скорости света. Таким образом, действие на расстоянии было окончательно опровергнуто. Исследование Максом Планком излучения абсолютно черного тела положило начало квантовой механике. Он рассматривал атомы, поглощающие и излучающие электромагнитное излучение, как крошечные осцилляторы с ключевым свойством: их энергии могут принимать лишь ряд дискретных, а не непрерывных значений. Они известны как квантовые гармонические осцилляторы. Этот процесс ограничения энергий дискретными значениями называется квантованием. Развивая эту идею, Альберт Эйнштейн в 1905 году предложил объяснение фотоэффекта, согласно которому свет состоит из отдельных пакетов энергии, называемых фотонами (квантами света). Это означало, что электромагнитное излучение, являясь волнами в классическом электромагнитном поле, также существует в форме частиц.

Применяя процедуру перенормировки, наконец были выполнены расчеты, объясняющие аномальный магнитный момент электрона (отклонение g-фактора электрона от 2) и вакуумную поляризацию. Эти результаты с замечательной точностью согласовались с экспериментальными измерениями, что ознаменовало конец "войны с бесконечностями". Однако в 1951 году он нашел способ обойти проблему бесконечностей, разработав новый метод, использующий внешние источники в качестве токов, связанных с калибровочными полями. Вдохновленный предыдущими результатами, Швингер продолжал развивать этот подход, чтобы "квантово" обобщить классический процесс соединения внешних сил с параметрами конфигурационного пространства, известными как множители Лагранжа. Он обобщил свою теорию источников в 1966 году, а затем расширил применение теории на квантовую электродинамику в своем трехтомнике под названием: "Частицы, Источники и Поля". Достижения в физике пионов, где новая точка зрения была наиболее успешно применена, убедили его в значительных преимуществах математической простоты и концептуальной ясности, которые дает ее использование. В теории источников нет расходимостей и нет необходимости в перенормировке. Ее можно рассматривать как вычислительный инструмент теории поля, но она более общая. Используя теорию источников, Швингер смог рассчитать аномальный магнитный момент электрона, который он вычислил еще в 1947 году, но на этот раз без "отвлекающих замечаний" об бесконечных величинах. Швингер также применил теорию источников к своей КТП-теории гравитации и смог воспроизвести все четыре классических результата Эйнштейна: гравитационное красное смещение, отклонение и замедление света гравитацией, а также прецессию перигелия Меркурия. Пренебрежение физическим сообществом теорией источников стало для Швингера большим разочарованием: "Отсутствие признания этих фактов со стороны других было угнетающим, но понятным. Дж. Швингер".

Стандартная модель

В 1954 году Ян Ченнин и Роберт Миллс обобщили локальную симметрию QED, что привело к неабелевым калибровочным теориям (также известным как теории Янга — Миллса), которые основаны на более сложных локальных группах симметрии. В QED (электрически) заряженные частицы взаимодействуют посредством обмена фотонами, а в неабелевых калибровочных теориях частицы, несущие новый тип "заряда", взаимодействуют посредством обмена безмассовыми калибровочными бозонами. В отличие от фотонов, эти калибровочные бозоны сами несут заряд. Шелдон Глашоу разработал неабелеву калибровочную теорию, которая объединила электромагнитное и слабое взаимодействия в 1960 году. В 1964 году Абдус Салам и Джон Клайв Уорд независимо пришли к той же теории. Тем не менее, эта теория была неперенормируемой. Питер Хиггс, Роберт Браут, Франсуа Энглерт, Джеральд Гуральник, Карл Хаген и Том Киббл предложили в своих знаменитых статьях в журнале Physical Review Letters, что калибровочная симметрия в теориях Янга — Миллса может быть нарушена механизмом, называемым спонтанным нарушением симметрии, посредством которого изначально безмассовые калибровочные бозоны могут приобрести массу. Объединив более раннюю теорию Глашоу, Салама и Уорда с идеей спонтанного нарушения симметрии, Стивен Вайнберг в 1967 году сформулировал теорию, описывающую электрослабое взаимодействие между всеми лептонами и эффекты бозона Хиггса. Его теория поначалу оставалась в основном без внимания. Стандартная модель успешно описывает все фундаментальные взаимодействия, за исключением гравитации, и многие её предсказания получили замечательное экспериментальное подтверждение в последующие десятилетия. Бозон Хиггса, центральный элемент механизма спонтанного нарушения симметрии, был наконец обнаружен в 2012 году в ЦЕРНе, что ознаменовало полное подтверждение существования всех составляющих Стандартной модели.

Другие события

В 1970-х годах были разработаны непертурбативные методы в неабелевых калибровочных теориях. Монополь 't Hooft — Полякова был теоретически открыт 't Hooft и Александром Поляковым, поточные трубки — Холгером Бех Нильсеном и Поулом Олесеном, а инстантоны — Поляковым и соавторами. Эти объекты недоступны в рамках теории возмущений. В тот же период появилась суперсимметрия. Первая суперсимметричная КФТ в четырех измерениях была построена Юрием Гольфандом и Евгением Лихтманом в 1970 году, однако их результат не привлек широкого внимания из-за «железного занавеса». Суперсимметрия получила распространение в теоретическом сообществе лишь после работ Джулиуса Весса и Бруно Зумино в 1973 году. Среди четырех фундаментальных взаимодействий гравитация остается единственной, для которой отсутствует непротиворечивое квантово-полевое описание. Различные попытки построения теории квантовой гравитации привели к развитию теории струн, которая сама по себе является типом двухмерной КФТ с конформной симметрией.

Другие теории

Процедуры квантования и перенормировки, описанные в предыдущих разделах, выполняются для свободной теории и φ⁴-теории реального скалярного поля. Аналогичный процесс может быть выполнен для других типов полей, включая комплексное скалярное поле, векторное поле и поле Дирака, а также для других типов членов взаимодействия, включая электромагнитное и взаимодействие Юкавы. Например, квантовая электродинамика содержит поле Дирака ψ, представляющее электронное поле, и векторное поле Aµ, представляющее электромагнитное поле (поле фотонов). (Несмотря на название, квантовое электромагнитное "поле" фактически соответствует классическому электромагнитному четырехпотенциалу, а не классическим электрическому и магнитному полям.) Плотность лагранжиана QED имеет вид:

где γµ – матрицы Дирака, , а – напряженность электромагнитного поля. Параметрами этой теории являются (обнаженная) масса электрона m и (обнаженный) элементарный заряд e. Первый и второй члены плотности лагранжиана соответствуют свободному полю Дирака и свободному векторному полю соответственно. Последний член описывает взаимодействие между электронным и фотонным полями, которое рассматривается как возмущение относительно свободных теорий. Выше приведен пример диаграммы Фейнмана на уровне дерева в QED. Она описывает аннигиляцию электрона и позитрона, создание фотона вне оболочки, а затем распад на новую пару электрон-позитрон. Время идет слева направо. Стрелки, направленные вперед во времени, представляют распространение позитронов, а стрелки, направленные назад во времени – распространение электронов. Волнистая линия представляет распространение фотона. Каждая вершина в диаграммах Фейнмана QED должна иметь входящую и исходящую фермионную (позитронную/электронную) линию, а также фотонную линию.

Суперсимметрия

Все экспериментально известные симметрии в природе связывают бозоны с бозонами и фермионы с фермионами. Теоретики выдвинули гипотезу о существовании типа симметрии, называемой суперсимметрией, которая связывает бозоны и фермионы. Стандартная модель подчиняется симметрии Пуанкаре, генераторами которой являются пространственно-временные трансляции P<sup>μ</sup> и преобразования Лоренца J<sub>μν</sub>. В дополнение к этим генераторам, суперсимметрия в (3+1) измерениях включает дополнительные генераторы Q<sub>α</sub>, называемые суперзарядами, которые сами трансформируются как фермионы Вейля. Группа симметрии, генерируемая всеми этими генераторами, известна как группа супер-Пуанкаре. В общем случае может быть более одного набора генераторов суперсимметрии, генерирующих соответствующую суперсимметрию, и так далее. Суперсимметрия также может быть построена в других измерениях, в частности в (1+1) измерениях для её применения в теории суперструн. Лагранжиан суперсимметричной теории должен быть инвариантен относительно действия группы супер-Пуанкаре. Примеры таких теорий включают: Минимальную суперсимметричную стандартную модель (MSSM), суперсимметричную теорию Янга-Миллса и теорию суперструн. В суперсимметричной теории каждый фермион имеет бозонный суперпартнер и наоборот. Если суперсимметрия продвигается до локальной симметрии, то результирующая калибровочная теория является расширением общей теории относительности, называемой супергравитацией. Суперсимметрия – потенциальное решение многих современных проблем в физике. Например, иерархическая проблема Стандартной модели – почему масса бозона Хиггса не подвергается радиационным поправкам (при ренормализации) до очень высокого масштаба, такого как великое объединение или масштаб Планка – может быть решена путем установления связи между полем Хиггса и его суперпартнером, Хиггсино. Радиационные поправки, обусловленные петлями бозона Хиггса в диаграммах Фейнмана, компенсируются соответствующими петлями Хиггсино. Суперсимметрия также предлагает ответы на вопрос о великом объединении всех констант связи в Стандартной модели, а также о природе тёмной материи. Тем не менее, по состоянию на 2018 год эксперименты ещё не предоставили доказательств существования суперсимметричных частиц. Если суперсимметрия является истинной симметрией природы, то она должна быть нарушенной, и энергия нарушения симметрии должна быть выше, чем достижимая в современных экспериментах.

Другие пространства-времени

Теория φ⁴, QED, QCD, а также вся Стандартная модель оперируют (3+1)-мерным пространством Минковского (3 пространственных и 1 временное измерение) как основой, на которой определяются квантовые поля. Однако квантовая теория поля (QFT) изначально не накладывает никаких ограничений на число измерений или геометрию пространства-времени. В физике конденсированного состояния QFT используется для описания (2+1)-мерных электронных газов. В физике высоких энергий теория струн представляет собой тип (1+1)-мерной QFT. Лагранжиан QFT, а следовательно, и результаты вычислений, и физические предсказания, зависят от геометрии пространственно-временного фона.

Топологическая квантовая теория поля

Корреляционные функции и физические предсказания квантовой теории поля (QFT) зависят от пространственно-временной метрики gμν. Для особого класса QFT, называемого топологическими квантовыми теориями поля (TQFT), все корреляционные функции не зависят от непрерывных изменений пространственно-временной метрики. QFT в искривленном пространстве-времени обычно изменяются в соответствии с геометрией (локальной структурой) пространственно-временного фона, тогда как TQFT инвариантны относительно диффеоморфизмов пространства-времени, но чувствительны к его топологии (глобальной структуре). Это означает, что все результаты вычислений в TQFT являются топологическими инвариантами лежащего в основе пространства-времени. Теория Черна — Саймонса является примером TQFT и используется для построения моделей квантовой гравитации. Области применения TQFT включают фракционный квантовый эффект Холла и топологические квантовые компьютеры. Мировая линия траектории дробных частиц (известных как анионы) может образовывать конфигурацию зацепления в пространстве-времени, что связывает статистику переплетения анионов в физике с инвариантами зацеплений в математике. Топологические квантовые теории поля (TQFT), применимые к передовым исследованиям топологических квантовых материй, включают калибровочные теории Черна — Саймонса — Виттена в пространстве-времени 2+1, другие новые экзотические TQFT в пространстве-времени 3+1 и выше.

Пертурбативные и непертурбативные методы

Используя теорию возмущений, общий эффект малого члена взаимодействия можно приближенно вычислить последовательно, разлагая его в ряд по числу виртуальных частиц, участвующих во взаимодействии. Каждый член этого ряда можно интерпретировать как один из возможных способов взаимодействия (физических) частиц посредством виртуальных частиц, что наглядно представляется диаграммой Фейнмана. Электромагнитное взаимодействие между двумя электронами в квантовой электродинамике (QED) описывается (в первом порядке теории возмущений) распространением виртуального фотона. Аналогично, W и Z бозоны являются переносчиками слабого взаимодействия, а глюоны – сильного взаимодействия. Интерпретация взаимодействия как суммы промежуточных состояний, включающих обмен различными виртуальными частицами, имеет смысл только в рамках теории возмущений. В отличие от этого, непертурбативные методы в квантовой теории поля рассматривают взаимодействующий лагранжиан как единое целое, без какого-либо разложения в ряд. Вместо частиц-переносчиков взаимодействия эти методы привели к появлению таких концепций, как монополь 't Hooft–Полякова, доменная стенка, флюкстуб и инстантон. Примеры квантовых теорий поля, полностью разрешимых непертурбативно, включают минимальные модели конформной теории поля и модель Тирринга.

Математическая строгость

Несмотря на огромный успех в физике частиц и физике конденсированного состояния, квантовая теория поля (QFT) сама по себе лишена формального математического обоснования. Например, согласно теореме Гаага, не существует чётко определённой картины взаимодействия для QFT, что подразумевает фундаментальную неопределённость теории возмущений QFT, лежащей в основе всего метода диаграмм Фейнмана. Однако, возмутительная квантовая теория поля, требующая лишь того, чтобы величины можно было вычислить в виде формальных степенных рядов без каких-либо требований к сходимости, может быть подвергнута строгому математическому анализу. В частности, монография Кевина Костелло «Ренормализация и эффективная теория поля» предлагает строгую формулировку возмутительной ренормализации, объединяющую эффективные подходы Каданоффа, Уилсона и Полчински с подходом Баталина-Вилковиски к квантованию калибровочных теорий. Более того, методы интеграла по траекториям, обычно понимаемые как формальные вычислительные методы, вдохновлённые теорией интегрирования в конечномерном пространстве, могут получить обоснованную математическую интерпретацию на основе их конечномерных аналогов. С 1950-х годов физики-теоретики и математики пытаются организовать все QFT в систему аксиом, чтобы установить существование конкретных моделей релятивистской QFT математически строгим образом и изучить их свойства. Это направление исследований называется конструктивной квантовой теорией поля — областью математической физики, которая привела к таким результатам, как теорема CPT, теорема спин-статистики и теорема Голдстоуна, а также к исследованию трёхмерных скалярных теорий поля с квартическим взаимодействием и т.д. По сравнению с обычной QFT, топологическая квантовая теория поля и конформная теория поля имеют лучшую математическую поддержку — обе могут быть классифицированы в рамках представлений кобордизмов. Алгебраическая квантовая теория поля представляет собой другой подход к аксиоматизации QFT, в котором фундаментальными объектами являются локальные операторы и алгебраические соотношения между ними. Аксиоматические системы, основанные на этом подходе, включают аксиомы Уайтмана и аксиомы Хаага-Кастлера. Один из способов построения теорий, удовлетворяющих аксиомам Уайтмана, — использование аксиом Остервальдера-Шредера, которые дают необходимые и достаточные условия для получения теории реального времени из теории мнимого времени посредством аналитического продолжения (вращения Уика). Проблема существования решений уравнений Янга-Милля и наличие массового разрыва, одна из задач тысячелетия, касается чётко определённого существования теорий Янга-Милля в рамках вышеупомянутых аксиом. Полная формулировка проблемы выглядит следующим образом.