Действие Намбу-Гото в теории струн: Лагранжева механика и инвариантность Лоренца

Введение

Действие Намбу–Гото — это самое простое инвариантное действие в теории бозоновых струн, которое также используется в других теориях, исследующих объекты, подобные струнам (например, космические струны). Оно является отправной точкой для анализа поведения струн нулевой толщины (бесконечно тонких), основанного на принципах лагранжевой механики. Подобно тому, как действие для свободной точечной частицы пропорционально её собственному времени — то есть «длине» её мировой линии, — действие релятивистской струны пропорционально площади поверхности, которую струна описывает при движении в пространстве-времени. Оно названо в честь японских физиков Ёитиро Намбу и Тетсуо Гото.

Релятивистская механика Лагранжа

Основной принцип механики Лагранжа, принцип стационарного действия, состоит в том, что объект, подверженный внешним воздействиям, будет "выбирать" траекторию, при которой некоторая величина, называемая действием, приобретает экстремальное значение. Действие – это функционал, математическое соотношение, которое принимает на вход целую траекторию и выдает единственное число. Физическая траектория, по которой объект фактически движется, – это траектория, для которой действие является "стационарным" (или экстремальным): любое малое отклонение от физической траектории незначительно изменяет значение действия. (Часто это эквивалентно утверждению, что физическая траектория – это траектория, для которой действие минимально.) Действия обычно записываются с использованием лагранжианов – формул, зависящих от состояния объекта в определенной точке пространства и/или времени. В нерелятивистской механике, например, лагранжиан точечной частицы равен разности между кинетической и потенциальной энергией: действие, часто записываемое как , является интегралом этой величины от начального момента времени до конечного момента времени:

The basic principle of Lagrangian mechanics, the principle of stationary action, is that an object subjected to outside influences will "choose" a path which makes a certain quantity, the action, an extremum. The action is a functional, a mathematical relationship which takes an entire path and produces a single number. The physical path, that which the object actually follows, is the path for which the action is "stationary" (or extremal): any small variation of the path from the physical one does not significantly change the action. (Often, this is equivalent to saying the physical path is the one for which the action is a minimum.) Actions are typically written using Lagrangians, formulas which depend upon the object's state at a particular point in space and/or time. In non relativistic mechanics, for example, a point particle's Lagrangian is the difference between kinetic and potential energy: The action, often written , is then the integral of this quantity from a starting time to an ending time:

(Typically, when using Lagrangians, we assume we know the particle's starting and ending positions, and we concern ourselves with the path which the particle travels between those positions.) This approach to mechanics has the advantage that it is easily extended and generalized. For example, we can write a Lagrangian for a relativistic particle, which will be valid even if the particle is traveling close to the speed of light. To preserve Lorentz invariance, the action should only depend upon quantities that are the same for all (Lorentz) observers, i. e. the action should be a Lorentz scalar. The simplest such quantity is the proper time, the time measured by a clock carried by the particle. According to special relativity, all Lorentz observers watching a particle move will compute the same value for the quantity

and is then an infinitesimal proper time. For a point particle not subject to external forces (i. e., one undergoing inertial motion), the relativistic action is

(Как правило, при использовании лагранжианов мы предполагаем, что известны начальное и конечное положения частицы, и нас интересует траектория, по которой частица перемещается между этими положениями.) Этот подход к механике обладает преимуществом легкости обобщения и расширения. Например, можно записать лагранжиан для релятивистской частицы, который будет справедлив даже при движении частицы со скоростью, близкой к скорости света. Для сохранения инвариантности Лоренца действие должно зависеть только от величин, одинаковых для всех (Лоренцевых) наблюдателей, то есть действие должно быть лоренц-скаляром. Самая простая такая величина – это собственное время, время, измеряемое часами, которые несет с собой частица. Согласно специальной теории относительности, все наблюдатели Лоренца, наблюдающие за движением частицы, вычисляют одно и то же значение для величины , а является бесконечно малым собственным временем. Для точечной частицы, не подверженной внешним силам (то есть находящейся в инерциальном движении), релятивистское действие: