Намбу-Гото әрекеті: Бос жол теориясының бастауы

Кіріспе

Намбу-Гото әрекеті – бозондық жол теориясындағы ең қарапайым өзгермейтін әрекет, сондай-ақ жол тәрізді объектілерді (мысалы, ғарыштық жолдарды) зерттейтін басқа теорияларда да қолданылады. Лагранж механикасы қағидаларын пайдалана отырып, нөлдік қалыңдығы бар (шектен жұқа) жолдардың мінез-құлқын талдаудың бастапқы нүктесі болып табылады. Еркін нүктелік бөлшектің әрекеті оның өзіндік уақытына пропорционалды болғандай – яғни, оның әлемдік сызығының "ұзындығы" сияқты, релятивистік жолдың әрекеті жолдың кеңістік-уақыт арқылы қозғалғанда қалдыратын беттің ауданына пропорционалды. Бұл әрекеттің аты жапон физиктері Йоичиро Намбу және Тетсуо Готоның есімдерімен байланысты.

Релятивистік Лагранж механикасы

Лагранж механикасының негізгі қағидасы, стационарлық әрекет қағидасы, сыртқы ықпалдарға ұшыраған объект белгілі бір шаманы, әрекетті, экстремумға жеткізетін жолды "таңдайды". Әрекет – бұл функционал, математикалық қатынас, ол толық жолды қабылдап, бір санды шығарады. Физикалық жол, объект нақты соңынан ілесетін жол, әрекеттің "стационарлық" (немесе экстремалды) болатын жолы: физикалық жолдан кез келген шағын ауытқу әрекеттің мәнін маңызды түрде өзгерте алмайды. (Көбінесе, бұл физикалық жол – әрекеттің ең төмен мәніне ие жол деп айтумен тең.) Әрекеттер әдетте Лагранждарды қолдана отырып жазылады, олар объектінің белгілі бір кеңістік және/немесе уақыт нүктесіндегі күйіне байланысты болады. Мысалы, релятивистік емес механикада нүктелік бөлшектің Лагранждайы кинетикалық және потенциалдық энергия арасындағы айырмашылық болып табылады: Әрекет, көбінесе былай жазылады , бастапқы уақыттан соңғы уақытқа дейінгі осы шаманың интегралы болып табылады. (Әдетте, Лагранждарды қолданғанда, бөлшектің бастапқы және соңғы орналасуын білеміз деп есептейміз және бөлшектің осы орналасулар арасындағы қозғалыс жолына назар аударамыз.) Механикаға осы тәсілдің артықшылығы – оны оңай кеңейтуге және жалпылауға болады. Мысалы, біз релятивистік бөлшектің Лагранждайын жаза аламыз, ол бөлшек жарық жылдамдығына жақын жылдамдықпен қозғалғанда да жарамды болады. Лоренц инварианттылығын сақтау үшін әрекет барлық (Лоренц) бақылаушылар үшін бірдей болатын шамаларға ғана тәуелді болуы керек, яғни әрекет Лоренц скаляры болуы керек. Ең қарапайым шама – бөлшектің бірге алып жүретін сағатымен өлшенетін өзіндік уақыт. Арнайы салыстырмалылық теориясына сәйкес, бөлшектің қозғалысын бақылайтын барлық Лоренц бақылаушылары осы шаманың бірдей мәнін есептейді, ал содан кейін ол өзіндік уақыттың инфинитезимальды бөлігі болады. Сыртқы күштерге ұшырамайтын (яғни инерциялық қозғалыс жасайтын) нүктелік бөлшектер үшін релятивистік әрекет:

The basic principle of Lagrangian mechanics, the principle of stationary action, is that an object subjected to outside influences will "choose" a path which makes a certain quantity, the action, an extremum. The action is a functional, a mathematical relationship which takes an entire path and produces a single number. The physical path, that which the object actually follows, is the path for which the action is "stationary" (or extremal): any small variation of the path from the physical one does not significantly change the action. (Often, this is equivalent to saying the physical path is the one for which the action is a minimum.) Actions are typically written using Lagrangians, formulas which depend upon the object's state at a particular point in space and/or time. In non relativistic mechanics, for example, a point particle's Lagrangian is the difference between kinetic and potential energy: The action, often written , is then the integral of this quantity from a starting time to an ending time:

(Typically, when using Lagrangians, we assume we know the particle's starting and ending positions, and we concern ourselves with the path which the particle travels between those positions.) This approach to mechanics has the advantage that it is easily extended and generalized. For example, we can write a Lagrangian for a relativistic particle, which will be valid even if the particle is traveling close to the speed of light. To preserve Lorentz invariance, the action should only depend upon quantities that are the same for all (Lorentz) observers, i. e. the action should be a Lorentz scalar. The simplest such quantity is the proper time, the time measured by a clock carried by the particle. According to special relativity, all Lorentz observers watching a particle move will compute the same value for the quantity

and is then an infinitesimal proper time. For a point particle not subject to external forces (i. e., one undergoing inertial motion), the relativistic action is