Введение

Распределение вероятности с более чем одной модой

В статистике мультимодальное распределение — это распределение вероятности с более чем одной модой (то есть более чем одним локальным пиком распределения). Такие распределения проявляются в виде отдельных пиков (локальных максимумов) в функции плотности вероятности, как показано на рисунках 1 и 2. Категориальные, непрерывные и дискретные данные могут образовывать мультимодальные распределения. Среди унивариантных анализов наиболее распространены бимодальные распределения.

Терминология

Когда два режима не равны, больший режим называется основным, а другой – второстепенным. Наименее часто встречающееся значение между режимами называется антимодой. Разница между основным и второстепенным режимами называется амплитудой. Во временных рядах основной режим называется акрофазой, а антимода – батифазой.

Примеры

Бимодальные распределения встречаются как в математике, так и в естественных науках.

Распределения вероятности

Важными бимодальными распределениями являются распределение арксинуса и бета-распределение (если оба параметра a и b меньше 1). Другие включают в себя U-квадратичное распределение. Отношение двух нормальных распределений также имеет бимодальное распределение. Пусть

где a и b – константы, а x и y распределены как нормальные переменные со средним значением 0 и стандартным отклонением 1. R имеет известную плотность, которую можно выразить как вырожденную гипергеометрическую функцию. Распределение величины, обратной t-распределенной случайной величине, является бимодальным при числе степеней свободы больше единицы. Аналогично, величина, обратная нормально распределенной переменной, также имеет бимодальное распределение. t-статистика, полученная из набора данных, взятых из распределения Коши, является бимодальной.

События в природе

Примеры переменных с бимодальным распределением включают время между извержениями некоторых гейзеров, цвет галактик, размер рабочих ткацких муравьев, возраст проявления лимфомы Ходжкина, скорость инактивации препарата изониазид у взрослых американцев, абсолютную звездную величину новых звезд и циркадные ритмы активности сумеречных животных, активных как утром, так и вечером. В ихтиологии мультимодальные распределения длины отражают разные возрастные группы и могут использоваться для определения возрастной структуры и оценки роста популяции рыб. Осадочные отложения обычно имеют бимодальное распределение. При отборе проб в горных выработках, пересекающих как вмещающую породу, так и минерализованные жилы, распределение геохимических показателей будет бимодальным. Бимодальные распределения также встречаются при анализе транспортных потоков, где наблюдаются пики трафика утром и вечером. Аналогичное явление наблюдается и в суточном потреблении воды, поскольку спрос на воду (для принятия душа, приготовления пищи и использования туалета) обычно достигает максимума утром и вечером.

Эконометрия

В эконометрических моделях параметры могут иметь бимодальное распределение.

Математический

Бимодальное распределение часто возникает как смесь двух различных одномодальных распределений (то есть распределений, имеющих только один максимум). Иными словами, бимодальная случайная величина X определяется как с вероятностью или с вероятностью, где Y и Z – одномодальные случайные величины, а – коэффициент смешения. Смеси, состоящие из двух различных компонент, не обязательно должны быть бимодальными, и двукомпонентные смеси одномодальных плотностей компонент могут иметь более двух максимумов. Не существует прямой связи между количеством компонент в смеси и количеством максимумов результирующей плотности.

Особое распределение

Бимодальные распределения, несмотря на их частое появление в наборах данных, изучались лишь изредка. Это может быть связано с трудностями в оценке их параметров как частотными, так и байесовскими методами. Среди изученных можно выделить:

Бимодальное экспоненциальное распределение. Альфа-скошенное нормальное распределение. Бимодальное скошенно-симметричное нормальное распределение. Смесь распределений Конвея-Максвелла-Пуассона была применена к бимодальным данным о количестве случаев. Бимодальность также естественно возникает в распределении куспидальной катастрофы.

Общие свойства

Смесь двух одномодальных распределений с различными средними значениями не обязательно является бимодальной. Комбинированное распределение роста мужчин и женщин иногда приводится в качестве примера бимодального распределения, но на самом деле разница в средних значениях роста мужчин и женщин слишком мала по сравнению с их стандартными отклонениями, чтобы при объединении двух кривых распределения возникла бимодальность. Бимодальные распределения обладают специфическим свойством: в отличие от одномодальных распределений, среднее значение может быть более устойчивой оценкой по выборке, чем медиана. Это особенно заметно, когда распределение имеет U-образную форму, как, например, распределение арксинуса. Однако это может быть неверно, если распределение имеет один или несколько длинных хвостов.

Смесь двух нормальных распределений

Нередко встречаются ситуации, когда исследователь полагает, что данные происходят из смеси двух нормальных распределений. В связи с этим, данная смесь была изучена достаточно подробно. Смесь двух нормальных распределений характеризуется пятью параметрами для оценки: двумя средними значениями, двумя дисперсиями и параметром смешивания. Смесь двух нормальных распределений с одинаковыми стандартными отклонениями является бимодальной только если их средние значения различаются как минимум в два раза больше общего стандартного отклонения. Рэй и Линдси установили необходимые и достаточные условия для бимодальности смеси нормальных распределений. Смесь двух приблизительно равновесных нормальных распределений имеет отрицательный эксцесс, поскольку два режима по обе стороны от центра масс эффективно сокращают хвосты распределения. Смесь двух нормальных распределений с сильно различающимися массами имеет положительный эксцесс, так как меньшее распределение удлиняет хвост более доминирующего нормального распределения. Для смесей, содержащих другие распределения, требуется оценка дополнительных параметров.

Статистические тесты

Существует ряд тестов для определения, имеет ли набор данных бимодальное (или мультимодальное) распределение.

Общие испытания

Для проверки того, является ли распределение не унимодальным, разработано несколько дополнительных тестов: тест ширины полосы, тест избыточной массы, тест MAP, тест существования моды, тест на выбросы, тест размаха и седловой тест. Реализация теста Дипа доступна для языка программирования R. P-значения для статистики Дипа находятся в диапазоне от 0 до 1. P-значения меньше 0,05 указывают на значительную мультимодальность, а P-значения больше 0,05, но меньше 0,10, предполагают мультимодальность с незначительной значимостью.

Тест Сильвермана

Сильверман предложил метод бутстрэпа для оценки числа модальностей. Тест использует фиксированную ширину полосы, что снижает его мощность и интерпретируемость. При сглаженных оценках плотности может наблюдаться избыточное число модальностей, подсчет которых при бутстрэпе оказывается нестабильным.

Тест Баджье-Аггарвала

Баджер и Аггарвал предложили тест, основанный на эксцессе распределения.

Оценка параметров и кривые подбора

Предполагая, что распределение известно как бимодальное или установлено как бимодальное одним или несколькими из вышеперечисленных тестов, часто желательно подогнать кривую к данным. Это может оказаться сложной задачей. В трудных случаях могут оказаться полезными байесовские методы.

Пример программного обеспечения

Программа CumFreqA для подгонки составных распределений вероятностей к набору данных (X) может разделить набор на две части с различными распределениями. На рисунке показан пример двойного обобщенного зеркального распределения Гамбеля, как при подгонке распределения с использованием уравнений кумулятивной функции распределения (CDF):

X < 8.10: CDF = 1 – exp[–exp{ (0.092X^0.01+935)}]
X > 8.10: CDF = 1 – exp[–exp{ (0.0039X^2.79+1.05)}]