Кіріспе

Бірнеше режимді ықтималдық үлестірімі

Статистикада көп режимді үлестірім – бірнеше режимге ие ықтималдық үлестірімі (яғни, үлестірімнің бірнеше жергілікті жоғарғы нүктесі). Олар ықтималдық тығыздық функциясында ерекше шыңдар (жергілікті максимумдар) түрінде көрінеді, 1- және 2-суреттерде көрсетілгендей. Категориялық, үздіксіз және дискретті деректердің барлығы көп режимді үлестірімдерді құрауы мүмкін. Бір айнымалылы талдаулардың ішінде көп режимді үлестірімдер көбінесе екі режимді болады.

Терминология

Екі режім тең болмаса, үлкені басты режім, ал кішісі қосалқы режім деп аталады. Режімдер арасындағы ең сирек кездесетін мән антирежим деп аталады. Басты және қосалқы режімдер арасындағы айырмашылық амплитуда деп аталады. Уақыт қатарларында басты режім акрофаза, ал антирежим батифаза деп аталады.

Мысалдар

Бимодальдық үлестірулер математика мен табиғат ғылымдарында да кездеседі.

Ықтималдық үлестірілімдері

Маңызды бимодальдық үлестірілімдерге арксиндік үлестірілім және бета-таралым жатады (егер a және b параметрлерінің екеуі де 1-ден кем болса). Басқаларына U квадраттық үлестірілімі кіреді. Екі қалыпты үлестірілімнің қатынасы да бимодальді түрде таралады. Онда a және b тұрақты шамалар, ал x және y орташа мәні 0 және стандартты қатесі 1 болатын қалыпты айнымалылар ретінде таратылсын. R белгілі тығыздыққа ие, оны конfluent гипергеометриялық функция түрінде көрсетуге болады. t-таралымнан алынған кездейсоқ айнымалының кері таралуы, егер бостандық дәрежесі бірден жоғары болса, бимодальді болады. Сол сияқты, қалыпты таралымнан алынған айнымалының керісі де бимодальді таралады. Коши таралымынан алынған деректер жиынтығынан есептелген t статистикасы бимодальді болады.

Табиғатта кездесетін құбылыстар

Бимодальді таралулары бар айнымалылардың мысалдары: белгілі бір гейзерлердің атқылау аралығындағы уақыт, галактикалардың түсі, жұмысшы тоқушы құмырсқалардың мөлшері, Ходжкин лимфомасының пайда болу жасы, АҚШ ересектерінде изониязид дәрісінің белсенділігінен айырылу жылдамдығы, новалардың абсолютті шамасы және таңертеңгі және кешкі шапақ уақытында белсенді болатын крепускуляр жануарлардың циркадиандық белсенділік үлгілері. Балық шаруашылығы ғылымында ұзындығының көпмодальді таралуы әртүрлі жылдық топтарды көрсетеді, сондықтан оларды балық популяциясының жас құрамын және өсуін бағалау үшін қолдануға болады. Тұнбалар әдетте бимодальді түрде таралады. Кен өндіру галереяларын, тау жынысын және минералдық талшықтарды кесіп өтетін кезде, геохимиялық айнымалылардың таралуы бимодальді болады. Бимодальді таралулар көлік талдауында да байқалады, онда көлік қозғалысы таңертеңгі сағаттардағы ең жоғары жүктемеде, содан кейін кешкі сағаттардағы ең жоғары жүктемеде өседі. Бұл құбылыс күнделікті су таратпасында да көрінеді, себебі су сұранысы, душ қабылдау, тамақ дайындау және дәретхананы пайдалану сияқты, әдетте таңертеңгі және кешкі уақытта жоғары болады.

Эконометрия

Эконометриялық модельдерде параметрлер екіжолды таралымға ие болуы мүмкін.

Математикалық

Бимодальдық үлестірім көбінесе екі түрлі монодальдық үлестірімнің (яғни, тек бір жотасы бар үлестірімнің) қосындысы ретінде туындайды. Басқаша айтқанда, бимодальді таратылған кездейсоқ шама X, ықтималдықпен Y немесе ықтималдықпен Z ретінде анықталады, мұнда Y және Z – монодальді кездейсоқ шамалар, ал – араласу коэффициенті. Екі ерекше компоненті бар қосындылардың бимодальды болуы міндетті емес, сондай-ақ монодальді компоненттік тығыздықтары бар екі компоненттік қосындылар екі жотадан да көп болуы мүмкін. Қосындыдағы компоненттер саны мен нәтижедегі тығыздық жоталарының саны арасында тікелей байланыс жоқ.

Ерекше үлестірулер

Бимодальдық үлестірулер, дерек жиынтықтарында жиі кездесетініне қарамастан, сирек зерттелген. Бұл, олардың параметрлерін жиіліктерлік немесе Байес әдістерімен бағалаудағы қиындықтармен байланысты болуы мүмкін. Зерттелгендердің қатарында:

Бимодальдық экспоненциалдық үлестіру. Альфа-қисайған қалыпты үлестіру. Бимодальдық қисайған симметриялық қалыпты үлестіру. Бимодальдық санау деректеріне Конвей-Максвелл-Пуассон үлестірулерінің қоспасы қолданылған. Бимодальдық құбылыс катастрофалық қисық үлестіруінде де табиғи түрде пайда болады.

Жалпы қасиеттері

Орташалары әр түрлі екі монодальді үлестірімнің қоспасы міндетті түрде бимодальді бола бермейді. Ерлер мен әйелдердің бойының біріктірілген үлестірімі кейде бимодальді үлестірілімнің мысалы ретінде келтіріледі, бірақ шындығында ерлер мен әйелдердің орташа бойындағы айырмашылық, екі үлестірім қисығын біріктіргенде бимодалдылық тудыру үшін олардың стандартты қатесіне қарағанда тым кішкентай. Бимодальді үлестірілімдердің ерекше қасиеті бар – монодальді үлестірілімдерден өзгеше, олардың орташа мәні медианадан гөрі сенімді үлгі бағалаушысы болуы мүмкін. Бұл әсіресе үлестірім U пішіндес болғанда, мысалы, арксинус үлестірімі сияқты айқын байқалады. Бірақ егер үлестірімде бір немесе бірнеше ұзын құйрықтар болса, онда бұл дұрыс болмауы мүмкін.

Екі қалыпты үлестірімнің қоспасы

Зерттеуші деректер екі қалыпты үлестірімнің қоспасынан алынған деп ойлайтын жағдайлар жиі кездеседі. Осы себепті, мұндай қоспалар жан-жақты зерттелген. Екі қалыпты үлестірімнің қоспасында бағалауға бес параметр бар: екі орташа мән, екі дисперсия және араласу параметрі. Егер екі қалыпты үлестірімнің стандартты ауытқулары тең болса, олардың орташа мәндерінің айырмасы ортақ стандартты ауытқудан кем дегенде екі есе көп болған жағдайда ғана бимодальды болады. Рэй мен Линдсей нормальды үлестірілімдер қоспасының бимодальды болуы үшін қажетті және жеткілікті шарттарды анықтады. Екі шамамен тең массалы қалыпты үлестірімнің қоспасы теріс куртозға ие, себебі массалық орталықтың екі жағындағы екі модасы үлестірілімнің құйрықтарын тиімді түрде қысқартады. Массасы күрт өзгешеленетін екі қалыпты үлестірімнің қоспасы оң куртозға ие, өйткені кіші үлестірім үлкен үлестірімнің құйрығын созады. Басқа үлестірілімдердің қоспаларын бағау үшін қосымша параметрлер қажет.

Статистикалық сынақтар

Деректер жиынтығының бимодальды (немесе мультимодальды) екі немесе одан көп қалыпқа ие екенін анықтау үшін бірнеше тесттер қолжетімді.

Жалпы сынақтар

Таралудың біржақты емес екенін тексеру үшін бірнеше қосымша тесттер әзірленді: ендік сынақ, артық масса сынағы, MAP сынағы, моданың болуын анықтау сынағы, ең кішкентай сынақ, аралық сынақ және қысым сынағы. R бағдарламалау тілі үшін дип-тестінің іске асырылуы қолжетімді. Дип статистикасының p-мәндері 0 мен 1 аралығында өзгереді. P-мәні 0,05-тен төмен болса, маңызды көпмодалылықты көрсетеді, ал 0,05-тен жоғары, бірақ 0,10-нан төмен болса, маргиналды маңыздылықпен көпмодалылықты ұсынады.

Сильверменнің сынағы

Сильверман режимдер санына арналған бутстрап әдісін ұсынды. Тест белгілі бір ендіктеме қолданады, бұл тесттің қуатын және оны түсіндіруді төмендетеді. Тегістелген тығыздықтарда көптеген режимдер болуы мүмкін, олардың саны бутстрап барысында тұрақсыз болады.

Баджер-Аггарвал сынағы

Баджер мен Аггарвал таралудың куртозына негізделген тест ұсынды.

Параметрлерді бағалау және орнату қисықтары

Егер үлестіру бимодальды екені белгілі болса немесе жоғарыда аталған бір немесе бірнеше сынақтар арқылы бимодальды екені көрсетілсе, деректерге қисық сызық жүргізу көбінесе қажет болады. Бұл қиынға соғуы мүмкін. Қиын жағдайларда Бейес әдістері көмектесе алады.

Бағдарламалық жасақтаманың үлгісі

CumFreqA бағдарламасы деректер жиынтығына (X) композиттік ықтималдық үлестірілімдерін бейімдеу үшін жиынтықты әртүрлі үлестірілімдерге ие екі бөлікке бөле алады. Суретте екі еселенген жалпыланған айна Gumbel үлестірілімінің мысалы көрсетілген, оның жиынтық үлестірім функциясы (CDF) теңдеулері:

X < 8.10: CDF = 1 – exp[–exp{(0.092X^0.01+935)}]
X > 8.10: CDF = 1 – exp[–exp{(0.0039X^2.79+1.05)}]