Введение

В области математики, называемой теорией порядка, модульная решётка — это решётка, удовлетворяющая следующему самодвойственному условию: модульный закон a ≤ b влечёт 1 = a ∨ (x ∧ b) = (a ∨ x) ∧ b,

где x, a, b — произвольные элементы решётки, ≤ — частичный порядок, а ∨ и ∧ (называемые соответственно соединением и пересечением) — операции решётки. Эта формулировка подчёркивает интерпретацию в терминах проекции на подрешётку [a, b], что известно как теорема об изоморфизме в форме ромба. Альтернативное, но эквивалентное условие, выраженное в виде уравнения (см. ниже), подчёркивает, что модульные решётки образуют многообразие в смысле универсальной алгебры. Модульные решётки возникают естественным образом в алгебре и во многих других областях математики. В этих случаях модульность является абстракцией второй теоремы об изоморфизмах. Например, подпространства векторного пространства (и, в более общем смысле, подмодули модуля над кольцом) образуют модульную решётку. В решётке, не обязательно модульной, могут существовать элементы b, для которых модульный закон выполняется в отношении произвольных элементов x и a (при a ≤ b). Такой элемент называется правым модульным элементом. Ещё более общим образом, модульный закон может выполняться для любого a и фиксированной пары (x, b). Такая пара называется модульной парой, и существуют различные обобщения модульности, связанные с этим понятием и полумодульностью. Модульные решётки иногда называют решётками Дедекинда в честь Ричарда Дедекинда, который обнаружил модульное тождество на нескольких мотивационных примерах.

Введение

Модульный закон можно рассматривать как ограниченный ассоциативный закон, который связывает две решёточные операции аналогично тому, как ассоциативный закон λ(μx) = (λμ)x для векторных пространств связывает умножение в поле и скалярное умножение. Ограничение a ≤ b явно необходимо, поскольку это следует из 1 = a ∨ (x ∧ b) = (a ∨ x) ∧ b. Иными словами, ни одна решётка с более чем одним элементом не удовлетворяет неограниченному следствию модульного закона. Легко увидеть, что a ≤ b влечёт 1 = a ∨ (x ∧ b) ≤ (a ∨ x) ∧ b в любой решётке. Поэтому модульный закон также можно сформулировать следующим образом:

Модульный закон (вариант): a ≤ b влечёт (a ∨ x) ∧ b ≤ a ∨ (x ∧ b). Модульный закон можно выразить в виде уравнения, которое должно выполняться безусловно. Поскольку a ≤ b влечёт, и поскольку a ∧ b ≤ b, заменим a на a ∧ b в определяющем уравнении модульного закона, чтобы получить:

Модульное тождество: 1 = (a ∧ b) ∨ (x ∧ b) = ((a ∧ b) ∨ x) ∧ b. Это показывает, что, используя терминологию универсальной алгебры, модульные решётки образуют подвидообразие в многообразии решёток. Следовательно, все гомоморфные образы, подрешётки и прямые произведения модульных решёток снова являются модульными.

Модульные пары и связанные с ними понятия

В любой решетке модульная пара – это пара (a, b) элементов, такая, что для всех x, удовлетворяющих a ∧ b ≤ x ≤ b, выполняется (x ∨ a) ∧ b = x, то есть если одна половина теоремы об изоморфизме ромба верна для данной пары. Элемент b решетки называется правым модульным элементом, если (a, b) является модульной парой для всех элементов a, а элемент a называется левым модульным элементом, если (a, b) является модульной парой для всех элементов b. Решетка, обладающая свойством, что если (a, b) является модульной парой, то (b, a) также является модульной парой, называется M-симметричной решеткой. Таким образом, в M-симметричной решетке каждый правый модульный элемент также является левым модульным, и наоборот. Поскольку решетка модулярна тогда и только тогда, когда все пары элементов модулярны, очевидно, что каждая модулярная решетка является M-симметричной. В описанной выше решетке N5 пара (b, a) является модульной, но пара (a, b) – нет. Следовательно, N5 не является M-симметричной. Центрированная шестиугольная решетка S7 является M-симметричной, но не модулярной. Поскольку N5 является подрешеткой S7, следует, что M-симметричные решетки не образуют подразновидность разновидности решеток. M-симметрия не является самодвойственным понятием. Двойная модульная пара – это пара, которая является модульной в двойственной решетке, и решетка называется двойной M-симметричной или M*-симметричной, если ее двойственная решетка является M-симметричной. Можно показать, что конечная решетка является модулярной тогда и только тогда, когда она является M-симметричной и M*-симметричной. То же самое справедливо для бесконечных решеток, удовлетворяющих условию восходящей цепи (или условию нисходящей цепи). Несколько менее важных понятий также тесно связаны. Решетка является перекрестно-симметричной, если для каждой модульной пары (a, b) пара (b, a) является двойственно модульной. Перекрестная симметрия влечет за собой M-симметрию, но не M*-симметрию. Следовательно, перекрестная симметрия не эквивалентна двойной перекрестной симметрии. Решетка с наименьшим элементом 0 является ⊥-симметричной, если для каждой модульной пары (a, b), удовлетворяющей a ∧ b = 0, пара (b, a) также является модульной.

История

Определение модульности принадлежит Ричарду Дедекинду, который опубликовал большинство соответствующих работ после выхода на пенсию. В статье, опубликованной в 1894 году, он изучал решетки, которые он называл двойными группами (Dualgruppen) в рамках своей "алгебры модулей", и заметил, что идеалы удовлетворяют тому, что мы сейчас называем модульным законом. Он также отметил, что для решеток в целом модульный закон эквивалентен своему двойственному. В другой работе, опубликованной в 1897 году, Дедекинд изучал решетку делителей, где наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) выступали в качестве операций, а порядок решетки определялся делимостью. В качестве отступления он формально представил и исследовал решетки в общем виде.