Кіріспе

Математиканың тәртіп теориясы саласында модульдік тор – келесі өзіндік дуалды шартын қанағаттандыратын тор, яғни модульдік заң: a ≤ b болғанда 1 = a ∨ (x ∧ b) = (a ∨ x) ∧ b.

Мұндағы x, a, b – тордың кездейсоқ элементтері, ≤ – ішінара тәртіп, ал ∨ және ∧ (сәйкесінше қосылу және кездесу деп аталады) – тордың амалдары. Бұл тұжырымдама [a, b] кішіторына проекциялау арқылы қарастырылады, бұл алмаз изоморфизм теоремасы деп белгілі. Баламалы, бірақ эквивалентті шарт, теңдеу түрінде берілген (төменде қараңыз), модульдік торлардың әмбебап алгебра мағынасындағы әртүрлілік құрайтынын көрсетеді. Модульдік торлар алгебрада және математиканың көптеген басқа салаларында табиғи түрде кездеседі. Бұл жағдайларда модульдік – 2-ші изоморфизм теоремасының абстракциясы. Мысалы, векторлық кеңістіктің кіші кеңістіктері (және жалпы алғанда, сақина үстіндегі модульдің кіші модульдері) модульдік тор құрайды. Модульдік решетте, модульдік заң x және a кездейсоқ элементтері үшін (a ≤ b болғанда) сақталатын b элементтері болуы мүмкін. Мұндай элемент оң модульдік элемент деп аталады. Одан да жалпы алғанда, модульдік заң кез келген a және белгілі бір жұп (x, b) үшін орындалуы мүмкін. Мұндай жұп модульдік жұп деп аталады, және осы ұғымға және жартылай модульділікке байланысты модульділіктің әртүрлі жалпыламалары бар. Модульдік торлар кейде модульдік тепе-теңдікті бірнеше ынталандыратын мысалдарда ашқан Ричард Дедекиндтің құрметіне Дедекинд торлары деп аталады.

Кіріспе

Модульдік заңдылық екі тор операцияларын байланыстыратын шектелген ассоциативтік заң ретінде қарастыруға болады, бұл ассоциативтік заң λ(μx) = (λμ)x векторлық кеңістіктер үшін өрістегі көбейтуді және скалярлық көбейтуді байланыстырады. a ≤ b шектеуі қажет, өйткені ол 1 = a ∨ (x ∧ b) = (a ∨ x) ∧ b теңдігінен шығады. Басқаша айтқанда, бір элементтен артық элементі бар ешбір тор модульдік заңның шектелмеген салдарына қанағаттандырмайды. a ≤ b болса, әр торда 1 = a ∨ (x ∧ b) ≤ (a ∨ x) ∧ b екенін көру оңай. Сондықтан модульдік заңдылықты модульдік заңдылық (вариант) a ≤ b болса, (a ∨ x) ∧ b ≤ a ∨ (x ∧ b) түрінде де тұжырымдауға болады. Модульдік заңдылықты шартсыз орындалуы тиіс теңдеу ретінде де беруге болады. a ≤ b екенін ескерсек және a ∧ b ≤ b болғандықтан, модульдік заңдылықты анықтайтын теңдеуде a-ны a ∧ b-мен алмастырсақ, мынаны аламыз: Модульдік сәйкестік 1 = (a ∧ b) ∨ (x ∧ b) = ((a ∧ b) ∨ x) ∧ b. Бұл универсалды алгебра терминологиясын қолданғанда, модульдік торлар торлардың түрінің субтүрін құрайтынын көрсетеді. Сондықтан модульдік торлардың барлық гомоморфты бейнелері, кіші торлары және тікелей көбейтінділері де модульді болады.

Модульді жұптар және байланысты ұғымдар

Кез келген торда модульді жұп – (a, b) элементтерінің жұбы болып табылады, мұнда барлық x үшін, егер a ∧ b ≤ x ≤ b болса, (x ∨ a) ∧ b = x теңдігі орындалады, яғни егер алмаз изоморфизмі теоремасының жартысы осы жұп үшін жарамды болса. Егер (a, b) жұбы барлық a элементтері үшін модульді жұп болса, онда тордың b элементі оң модульді элемент деп аталады, ал егер (a, b) жұбы барлық b элементтері үшін модульді жұп болса, онда a элементі сол модульді элемент деп аталады. Егер (a, b) жұбы модульді жұп болса, онда (b, a) жұбы да модульді жұп болатын қасиетке ие тор M-симметриялық тор деп аталады. Осылайша, M-симметриялық торда кез келген оң модульді элемент сол модульді элемент болып табылады, және керісінше. Тордың барлық элементтерінің жұптары модульді болса және тек сонда ғана ол модульді тор болады, сондықтан кез келген модульді тор M-симметриялы болып табылады. Жоғарыда сипатталған N5 торында (b, a) жұбы модульді, бірақ (a, b) жұбы модульді емес. Сондықтан N5 M-симметриялы емес. Ортасы алтыбұрышты тор S7 M-симметриялы, бірақ модульді емес. N5 торы S7 торының кіші торы болғандықтан, M-симметриялық торлар торлардың әр түрлілігінің кіші әр түрлілігін құрамайды. M-симметриясы – өзіне дуалды ұғым емес. Дуалды модульді жұп – бұл дуалды торда модульді болатын жұп, ал тор M-симметриялы болса, онда ол M*-симметриялы деп аталады. Шекті тор M-симметриялы және M*-симметриялы болса және тек сонда ғана модульді болады. Сол теңдік жоғары өсу тізбегі шартын (немесе төмен өсу тізбегі шартын) қанағаттандыратын шексіз торлар үшін де қолданылады. Бірнеше маңызды емес ұғымдар да тығыз байланысты. Егер кез келген модульді жұп (a, b) үшін (b, a) жұбы дуалды модульді болса, онда тор көлденең симметриялы болып табылады. Көлденең симметрия M-симметрияны білдіреді, бірақ M*-симметрияны білдірмейді. Сондықтан, көлденең симметрия екі жақты көлденең симметрияға тең емес. 0 ең кіші элементі бар тор ⊥-симметриялық болып табылады, егер a ∧ b = 0 шартын қанағаттандыратын кез келген модульді жұп (a, b) үшін (b, a) жұбы да модульді болса.

Тарих

Модульділіктің анықтамасы Ричард Дедекиндке тиесілі, ол зейнетке шыққаннан кейін осы саладағы көптеген мақалаларын жариялаған. 1894 жылы жарияланған мақаласында ол "модульдер алгебрасының" бір бөлігі ретінде "қос топтар" (Dualgruppen) деп атаған торларды зерттеді және идеалдар қазір модульдік заң деп аталатын қағиданы орындайтынын байқады. Ол сондай-ақ, кез келген тор үшін модульдік заң оның қос заңымен эквивалентті екенін көрсетті. 1897 жылы жарияланған тағы бір мақаласында Дедекинд ең үлкен ортақ бөлгіш (gcd) және ең кіші ортақ еселік (lcm) операцияларын қолданып, бөлгіштердің торын зерттеді, осылайша тордың реті бөліну арқылы анықталады. Ол сондай-ақ, тоқтап, жалпы жағдайда формалды түрде торларды енгізіп, зерттеді.