Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Параметр в дифференциальных уравнениях и динамических системах
Parameter in differential equations and dynamical systems
В математике, и особенно в динамических системах, начальное условие, в некоторых контекстах называемое начальным значением, представляет собой значение изменяющейся переменной в определенный момент времени, который считается начальным (обычно обозначается t = 0). Для системы порядка k (количество временных лагов в дискретном времени или порядок наивысшей производной в непрерывном времени) и размерности n (то есть, с n различными изменяющимися переменными, которые вместе можно представить в виде n-мерного координатного вектора), как правило, требуется nk начальных условий для отслеживания изменения переменных системы во времени. В дифференциальных уравнениях в непрерывном времени и разностных уравнениях в дискретном времени начальные условия влияют на значение динамических переменных (переменных состояния) в любой будущий момент времени. В непрерывном времени задача нахождения решения в замкнутой форме для переменных состояния как функции времени и начальных условий называется задачей Коши. Соответствующая задача существует и для дискретного времени. Хотя решение в замкнутой форме не всегда возможно получить, будущие значения дискретной системы могут быть найдены путем последовательных итераций с шагом во времени, равным одному периоду, однако погрешность округления может сделать это непрактичным на больших временных интервалах.
In mathematics and particularly in dynamic systems, an initial condition, in some contexts called a seed value, is a value of an evolving variable at some point in time designated as the initial time (typically denoted t = 0). For a system of order k (the number of time lags in discrete time, or the order of the largest derivative in continuous time) and dimension n (that is, with n different evolving variables, which together can be denoted by an n dimensional coordinate vector), generally nk initial conditions are needed in order to trace the system's variables forward through time. In both differential equations in continuous time and difference equations in discrete time, initial conditions affect the value of the dynamic variables (state variables) at any future time. In continuous time, the problem of finding a closed form solution for the state variables as a function of time and of the initial conditions is called the initial value problem. A corresponding problem exists for discrete time situations. While a closed form solution is not always possible to obtain, future values of a discrete time system can be found by iterating forward one time period per iteration, though rounding error may make this impractical over long horizons.
Нелинейные системы
Нелинейные системы могут демонстрировать значительно более разнообразное поведение, чем линейные. В частности, начальные условия могут определять, расходится ли система к бесконечности или сходится к одному из аттракторов системы. Каждый аттрактор – (возможно, несвязная) область значений, к которой стремятся некоторые динамические траектории, но которую не покидают – имеет (возможно, несвязный) бассейн притяжения, такой что переменные состояния с начальными условиями, лежащими в этом бассейне (и нигде более), будут эволюционировать к этому аттрактору. Даже близкие начальные условия могут оказаться в бассейнах притяжения различных аттракторов (см., например, метод Ньютона, раздел «Бассейны притяжения»). Более того, в нелинейных системах, проявляющих хаотическое поведение, эволюция переменных демонстрирует чувствительную зависимость от начальных условий: итерационные значения любых двух очень близких точек на одном и том же странном аттракторе, оставаясь при этом на аттракторе, со временем будут расходиться друг от друга. Таким образом, даже на одном аттракторе точные значения начальных условий существенно влияют на будущие значения итераций. Эта особенность затрудняет точное моделирование будущих значений и делает его невозможным на длительных временных горизонтах, поскольку указать начальные условия с абсолютной точностью редко удается, а также из-за неизбежности ошибки округления даже после нескольких итераций, начиная с точного начального условия.
Nonlinear systems can exhibit a substantially richer variety of behavior than linear systems can. In particular, the initial conditions can affect whether the system diverges to infinity or whether it converges to one or another attractor of the system. Each attractor, a (possibly disconnected) region of values that some dynamic paths approach but never leave, has a (possibly disconnected) basin of attraction such that state variables with initial conditions in that basin (and nowhere else) will evolve toward that attractor. Even nearby initial conditions could be in basins of attraction of different attractors (see for example Newton's method#Basins of attraction). Moreover, in those nonlinear systems showing chaotic behavior, the evolution of the variables exhibits sensitive dependence on initial conditions: the iterated values of any two very nearby points on the same strange attractor, while each remaining on the attractor, will diverge from each other over time. Thus even on a single attractor the precise values of the initial conditions make a substantial difference for the future positions of the iterates. This feature makes accurate simulation of future values difficult, and impossible over long horizons, because stating the initial conditions with exact precision is seldom possible and because rounding error is inevitable after even only a few iterations from an exact initial condition.
Эмпирические законы и исходные условия
Каждый эмпирический закон обладает беспокоящим свойством – неизвестностью его границ применимости. Мы убедились, что в событиях окружающего нас мира существуют закономерности, которые можно сформулировать с удивительной точностью, используя математические понятия. Однако существуют и аспекты мира, в отношении которых мы не предполагаем наличия каких-либо точных закономерностей. Мы называем их начальными условиями.
Every empirical law has the disquieting quality that one does not know its limitations. We have seen that there are regularities in the events in the world around us which can be formulated in terms of mathematical concepts with an uncanny accuracy. There are, on the other hand, aspects of the world concerning which we do not believe in the existence of any accurate regularities. We call these initial conditions.