Введение

Математическая модель зависимости точки в пространстве от времени – общие аспекты динамических систем.

В математике динамическая система – это система, в которой функция описывает временную зависимость точки в окружающем пространстве, например, на параметрической кривой. Примерами могут служить математические модели, описывающие колебания маятника часов, течение воды в трубе, случайное движение частиц в воздухе и численность рыб в озере каждую весну. Наиболее общее определение объединяет несколько концепций в математике, таких как обыкновенные дифференциальные уравнения и эргодическая теория, допуская различные варианты пространства и измерения времени. Время может измеряться целыми числами, действительными или комплексными числами, либо быть более общим алгебраическим объектом, утрачивающим память о своем физическом происхождении, а пространство может представлять собой многообразие или просто множество, без необходимости определения на нем гладкой структуры пространства-времени. В любой момент времени динамическая система имеет состояние, представляющее собой точку в соответствующем пространстве состояний. Это состояние часто задается кортежем действительных чисел или вектором в геометрическом многообразии. Правило эволюции динамической системы – это функция, описывающая, какие будущие состояния следуют из текущего состояния. Часто функция является детерминированной, то есть для заданного интервала времени из текущего состояния следует только одно будущее состояние. Однако некоторые системы являются стохастическими, поскольку случайные события также влияют на эволюцию переменных состояния. В физике динамическая система описывается как «частица или ансамбль частиц, состояние которых изменяется со временем и, следовательно, подчиняется дифференциальным уравнениям, содержащим производные по времени». Для прогнозирования будущего поведения системы реализуется аналитическое решение таких уравнений или их численное интегрирование во времени с помощью компьютерного моделирования. Изучение динамических систем является предметом теории динамических систем, которая находит применение в самых разных областях, таких как математика, физика, биология, химия, инженерия, экономика, история и медицина. Динамические системы являются фундаментальной частью теории хаоса, динамики логистического отображения, теории бифуркаций, процессов самосборки и самоорганизации, а также концепции края хаоса.

Обзор

Понятие динамической системы берет свое начало в ньютоновской механике. Там, как и в других естественных науках и инженерных дисциплинах, правило эволюции динамических систем представляет собой неявную зависимость, определяющую состояние системы лишь на короткий промежуток времени в будущем. (Эта зависимость выражается дифференциальным уравнением, разностным уравнением или другим соотношением, описывающим изменение во времени.) Для определения состояния системы на протяжении всего будущего времени требуется многократная итерация этого соотношения, с каждым шагом продвигая время на небольшой интервал. Процедура итерации называется решением системы или интегрированием системы. Если систему удается решить, то, задав начальную точку, можно определить все ее будущие положения, совокупность которых известна как траектория или орбита. До появления компьютеров нахождение орбиты требовало сложных математических методов и было возможно лишь для небольшого класса динамических систем. Численные методы, реализованные на электронных вычислительных машинах, упростили задачу определения орбит динамической системы. Для простых динамических систем знания траектории часто бывает достаточно, но большинство динамических систем слишком сложны для понимания на основе анализа отдельных траекторий. Трудности возникают из-за того, что изучаемые системы могут быть известны лишь приближенно – параметры системы могут быть определены неточно или в уравнениях могут отсутствовать некоторые слагаемые. Используемые приближения ставят под вопрос достоверность или применимость численных решений. Для решения этих вопросов в исследовании динамических систем были введены различные понятия стабильности, такие как стабильность по Ляпунову или структурная стабильность. Стабильность динамической системы подразумевает существование класса моделей или начальных условий, для которых траектории будут эквивалентны. Операция сравнения орбит для установления их эквивалентности зависит от конкретного понятия стабильности. Тип траектории может быть более важным, чем какая-либо одна конкретная траектория. Некоторые траектории могут быть периодическими, в то время как другие могут хаотично перемещаться между различными состояниями системы. Во многих приложениях требуется перечислить эти классы или поддерживать систему в пределах одного класса. Классификация всех возможных траекторий привела к качественному изучению динамических систем, то есть к исследованию свойств, инвариантных относительно преобразований координат. Линейные динамические системы и системы, состояние которых описывается двумя числами, являются примерами динамических систем, для которых известны возможные классы орбит. Поведение траекторий как функции параметра может быть ключевым для конкретного приложения. При изменении параметра динамическая система может достигать точек бифуркации, в которых качественно меняется ее поведение. Например, система может перейти от периодических движений к, казалось бы, хаотичному поведению, как это происходит при переходе к турбулентности жидкости. Траектории системы могут выглядеть хаотичными, как будто случайными. В таких случаях может потребоваться вычисление средних значений по одной очень длинной траектории или по множеству различных траекторий. Средние значения хорошо определены для эргодических систем, а более детальное понимание достигнуто для гиперболических систем. Понимание вероятностных аспектов динамических систем способствовало становлению статистической механики и теории хаоса.

История

Многие считают французского математика Анри Пуанкаре основателем динамических систем. Пуанкаре опубликовал две классические монографии: "Новые методы небесной механики" (1892–1899) и "Лекции по небесной механике" (1905–1910). В них он успешно применил результаты своих исследований к проблеме движения трех тел и подробно изучил поведение решений (частоту, устойчивость, асимптотическое поведение и т. д.). В этих работах была сформулирована теорема Пуанкаре о возврате, утверждающая, что определенные системы после достаточно длительного, но конечного времени вернутся в состояние, очень близкое к исходному. Александр Ляпунов разработал множество важных методов аппроксимации. Его методы, разработанные в 1899 году, позволяют определять устойчивость множеств обыкновенных дифференциальных уравнений. Он создал современную теорию устойчивости динамической системы. В 1913 году Джордж Дэвид Биркгофф доказал "Последнюю геометрическую теорему" Пуанкаре, частный случай задачи трех тел, что принесло ему мировую известность. В 1927 году он опубликовал свою работу "Динамические системы". Наиболее значительным результатом Биркгоффа стало его открытие в 1931 году того, что теперь известно как эргодическая теорема. Сочетая идеи из физики об эргодической гипотезе с теорией меры, эта теорема, по крайней мере в принципе, решила фундаментальную проблему статистической механики. Эргодическая теорема также оказала влияние на динамику. Стивен Смейл также внес значительный вклад. Его первым достижением стала подкова Смаля, которая стимулировала активные исследования в области динамических систем. Он также сформулировал исследовательскую программу, которую впоследствии реализовали многие другие ученые. Олександр Николаевич Шарковский разработал теорему Шарковского о периодах дискретных динамических систем в 1964 году. Одним из следствий этой теоремы является то, что если дискретная динамическая система на вещественной прямой имеет периодическую точку периода 3, то она должна иметь периодические точки любого другого периода. В конце XX века подход динамических систем к решению уравнений в частных производных начал приобретать популярность. Палестинский инженер-механик Али Х. Найфе применял нелинейную динамику в механических и инженерных системах. Его новаторская работа в области прикладной нелинейной динамики оказала влияние на проектирование и обслуживание машин и конструкций, широко используемых в повседневной жизни, таких как корабли, краны, мосты, здания, небоскребы, авиационные и ракетные двигатели, самолеты и космические аппараты.

Геометрическое определение

В геометрическом определении динамическая система – это кортеж, где – область определения времени, для которой существует множество вариантов, обычно действительные или целые числа, возможно, ограниченные неотрицательными значениями. – это многообразие, то есть локально пространство Банаха или евклидово пространство, или, в дискретном случае, граф. f – правило эволюции, отображающее t в f(t) (где t принадлежит ), такое, что f(t) является диффеоморфизмом многообразия на само себя. Таким образом, f – это "гладкое" отображение области времени в пространство диффеоморфизмов многообразия на само себя. Иными словами, f(t) – диффеоморфизм для каждого момента времени t из области .

Реальная динамическая система

Реальная динамическая система, динамическая система реального времени, динамическая система непрерывного времени или поток — это кортеж (T, M, Φ), где T — открытый интервал в множестве действительных чисел R, M — многообразие, локально диффеоморфное банаховому пространству, а Φ — непрерывная функция. Если Φ непрерывно дифференцируема, то система называется дифференцируемой динамической системой. Если многообразие M локально диффеоморфно Rn, то динамическая система является конечномерной; в противном случае — бесконечномерной. Наличие симплектической структуры не предполагается. Если T принимается за множество действительных чисел, динамическая система называется глобальной или потоком; а если T ограничено неотрицательными действительными числами, то динамическая система является полупотоком.

Дискретная динамическая система

Дискретная динамическая система, система динамического времени – это кортеж (T, M, Φ), где M – многообразие, локально диффеоморфное банаховому пространству, а Φ – функция. Если T рассматривается как множество целых чисел, то это каскад или отображение. Если T ограничено неотрицательными целыми числами, то система называется полукаскадом.

Клеточный автомат

Клеточный автомат — это кортеж (T, M, Φ), где T — решётка, такая как целые числа или многомерная целочисленная сетка, M — множество функций из целочисленной решётки (опять же, с одним или несколькими измерениями) в конечное множество, а Φ — (локально определённая) функция эволюции. Таким образом, клеточные автоматы являются динамическими системами. Решётка в M представляет собой "пространственную" решётку, а решётка в T — "временную" решётку.

Многомерное обобщение

Динамические системы обычно определяются относительно одной независимой переменной, рассматриваемой как время. Более общий класс систем определяется на множестве независимых переменных и поэтому называется многомерными системами. Такие системы полезны для моделирования, например, в области обработки изображений.

Компактификация динамической системы

При заданной глобальной динамической системе (R, X, Φ) на локально компактном и хаусдорфовом топологическом пространстве X, часто бывает полезно изучать непрерывное расширение Φ* отображения Φ на одноточечную компактификацию X* пространства X. Хотя мы теряем дифференциальную структуру исходной системы, теперь мы можем использовать аргументы, основанные на компактности, для анализа новой системы (R, X*, Φ*). В компактных динамических системах предельное множество любой орбиты непусто, компактно и простосвязно.

Теоретическое определение измерения

Динамическая система может быть формально определена как преобразование, сохраняющее меру, пространства с мерой, представленное тройкой (T, (X, Σ, μ), Φ). Здесь T – моноид (обычно неотрицательные целые числа), X – множество, а (X, Σ, μ) – вероятностное пространство, то есть Σ является сигма-алгеброй на X, а μ – конечной мерой на (X, Σ). Отображение Φ: X → X называется Σ-измеримым, если и только если для любого множества σ из Σ его прообраз также принадлежит Σ. Отображение Φ называется сохраняющим меру, если и только если для любого множества σ из Σ выполняется μ(Φ(σ)) = μ(σ). Объединяя вышесказанное, отображение Φ называется преобразованием, сохраняющим меру на X, если это отображение из X в себя, оно Σ-измеримо и сохраняет меру. Тройка (T, (X, Σ, μ), Φ), для такого Φ, тогда определяется как динамическая система. Отображение Φ описывает эволюцию динамической системы во времени. Таким образом, для дискретных динамических систем изучаются итерации Φⁿ для каждого целого числа n. Для непрерывных динамических систем отображение Φ понимается как эволюция во времени за конечный промежуток времени, и построение более сложное.

Отношение к геометрическому определению

Теоретическое определение меры предполагает существование преобразования, сохраняющего меру. Для любого заданного правила эволюции можно связать множество различных инвариантных мер. Если динамическая система задана системой дифференциальных уравнений, необходимо определить соответствующую меру. Это затрудняет развитие эргодической теории, исходя из дифференциальных уравнений, поэтому становится целесообразным иметь определение, мотивированное динамическими системами, в рамках эргодической теории, которое обходит выбор меры и исходит из предположения, что выбор уже сделан. Простое построение (иногда называемое теоремой Крылова — Боголюбова) показывает, что для широкого класса систем всегда можно построить меру, которая делает правило эволюции динамической системы преобразованием, сохраняющим меру. В этом построении заданная мера пространства состояний суммируется по всем будущим точкам траектории, обеспечивая инвариантность. Некоторые системы имеют естественную меру, например, мера Лиувиля в гамильтоновых системах, предпочтительную по сравнению с другими инвариантными мерами, такими как меры, сосредоточенные на периодических орбитах гамильтоновой системы. Выбор инвариантной меры для хаотических диссипативных систем технически более сложен. Меру необходимо определить на аттракторе, но аттракторы имеют нулевую меру Лебега, и инвариантные меры должны быть сингулярными по отношению к мере Лебега. Небольшой участок фазового пространства сжимается в процессе эволюции во времени. Для гиперболических динамических систем меры Синая — Руэля — Боуэна представляются естественным выбором. Они строятся на основе геометрической структуры устойчивых и неустойчивых многообразий динамической системы, физически устойчивы к малым возмущениям и объясняют многие наблюдаемые статистические характеристики гиперболических систем.

Линейные динамические системы

Линейные динамические системы могут быть решены с использованием простых функций, а поведение всех орбит может быть классифицировано. В линейной системе фазовое пространство является N-мерным евклидовым пространством, поэтому любую точку в фазовом пространстве можно представить вектором из N чисел. Анализ линейных систем возможен благодаря тому, что они удовлетворяют принципу суперпозиции: если функции u(t) и w(t) являются решениями дифференциального уравнения для векторного поля (но не обязательно при одних и тех же начальных условиях), то их сумма u(t) + w(t) также является решением.

Местная динамика

Качественные свойства динамических систем не изменяются при гладком изменении координат (это иногда принимается за определение качественных свойств): сингулярная точка векторного поля (точка, где v(x) = 0) останется сингулярной точкой при гладких преобразованиях; периодическая орбита представляет собой петлю в фазовом пространстве, и гладкие деформации фазового пространства не могут изменить её свойство быть петлей. Именно в окрестности сингулярных точек и периодических орбит структура фазового пространства динамической системы может быть хорошо понята. В качественном исследовании динамических систем подход заключается в том, чтобы показать, что существует изменение координат (обычно не указанное явно, но вычислимое), которое делает динамическую систему максимально простой.

Исправление

Поток в большинстве небольших областей фазового пространства может быть сделан очень простым. Если y – точка, в которой векторное поле v(y) ≠ 0, то существует изменение координат в окрестности y, где векторное поле становится набором параллельных векторов одинаковой величины. Это известно как теорема ректификации. Теорема ректификации утверждает, что вдали от особых точек динамика точки в небольшой области является прямой линией. Область иногда можно расширить, сшивая несколько областей вместе, и когда это удается во всем фазовом пространстве M, динамическая система является интегрируемой. В большинстве случаев область нельзя расширить на все фазовое пространство. В векторном поле могут быть особые точки (где v(x) = 0); или области могут становиться все меньше и меньше по мере приближения к некоторой точке. Более тонкая причина – глобальное ограничение, когда траектория начинается в одной области, а после посещения ряда других областей возвращается к исходной. Если в следующий раз орбита обходит фазовое пространство другим образом, то невозможно ректифицировать векторное поле во всей последовательности областей.

Близкие к периодическим орбитам

В общем, в окрестности периодической орбиты теорему ректификации использовать нельзя. Пуанкаре разработал подход, который преобразует анализ вблизи периодической орбиты к анализу отображения. Выберем точку x0 на орбите γ и рассмотрим точки в фазовом пространстве в этой окрестности, перпендикулярные v(x0). Эти точки образуют сечение Пуанкаре S(γ, x0) орбиты. Поток теперь определяет отображение, карту Пуанкаре F: S → S, для точек, начинающихся в S и возвращающихся в S. Не все эти точки вернутся за одинаковое время, но времена будут близки к времени возврата точки x0. Пересечение периодической орбиты с сечением Пуанкаре является неподвижной точкой карты Пуанкаре F. С помощью сдвига можно считать, что эта точка находится в x = 0. Ряд Тейлора для отображения имеет вид F(x) = J · x + O(x²), поэтому изменение координат h может лишь упростить F до его линейной части.

Это известно как уравнение сопряжения. Поиск условий, при которых это уравнение выполняется, является одной из основных задач в исследованиях динамических систем. Пуанкаре впервые подошел к ней, предполагая, что все функции аналитичны, и в процессе открыл условие нерезонанса. Если λ1, ..., λν – собственные значения матрицы J, то они будут резонировать, если одно собственное значение является целым линейным сочетанием двух или более других. Поскольку члены вида λi – Σ (множества других собственных значений) встречаются в знаменателе членов функции h, условие нерезонанса также известно как проблема малых делителей.

Результаты конъюгации

Результаты относительно существования решения уравнения сопряжения зависят от собственных значений J и требуемой степени гладкости функции h. Поскольку J не обязательно должен обладать какими-либо специальными симметриями, его собственные значения, как правило, являются комплексными числами. Если собственные значения J не лежат на единичной окружности, динамика вблизи неподвижной точки x0 отображения F называется гиперболической, а если собственные значения лежат на единичной окружности и являются комплексными, динамика называется эллиптической. В гиперболическом случае теорема Хартмана — Гробмана предоставляет условия существования непрерывной функции, отображающей окрестность неподвижной точки отображения в линейное отображение J · x. Гиперболический случай также структурно устойчив. Небольшие изменения в векторном поле приводят лишь к небольшим изменениям в карте Пуанкаре, и эти изменения отражаются в небольших изменениях положения собственных значений J на комплексной плоскости, что подразумевает, что отображение остаётся гиперболическим. Теорема Колмогорова — Арнольда — Мозера (KAM) описывает поведение вблизи эллиптической точки.

Теория бифуркации

Когда карта эволюции Φt (или векторное поле, из которого она выведена) зависит от параметра μ, структура фазового пространства также будет зависеть от этого параметра. Небольшие изменения могут не приводить к качественным изменениям в фазовом пространстве до тех пор, пока не будет достигнуто особое значение μ0. В этот момент фазовое пространство изменяется качественно, и говорят, что динамическая система претерпела бифуркацию. Теория бифуркаций рассматривает структуру в фазовом пространстве (обычно фиксированную точку, периодическую орбиту или инвариантный тор) и изучает её поведение как функцию параметра μ. В точке бифуркации структура может изменить свою устойчивость, разделиться на новые структуры или объединиться с другими структурами. Используя приближения карт с помощью рядов Тейлора и понимание различий, которые можно устранить с помощью смены координат, можно классифицировать бифуркации динамических систем. Бифуркации гиперболической фиксированной точки x0 семейства систем Fμ могут быть охарактеризованы собственными значениями первой производной системы DFμ(x0), вычисленной в точке бифуркации. Для отображения бифуркация произойдет, когда собственные значения DFμ окажутся на единичной окружности. Для потока это произойдет, когда собственные значения окажутся на мнимой оси. Более подробную информацию можно найти в основной статье о теории бифуркаций. Некоторые бифуркации могут приводить к очень сложным структурам в фазовом пространстве. Например, сценарий Руэля — Такенса описывает, как периодическая орбита разветвляется в тор, а тор — в странный аттрактор. В другом примере, удвоение периода Фейгенбаума описывает, как стабильная периодическая орбита проходит через серию бифуркаций удвоения периода.

Эргодические системы

Во многих динамических системах возможно выбрать координаты системы таким образом, чтобы объем (в действительности, ν-мерный объем) в фазовом пространстве был инвариантным. Это происходит для механических систем, вытекающих из законов Ньютона, при условии, что координаты – это положение и импульс, а объем измеряется в единицах (положение) × (импульс). Поток переводит точки подмножества A в точки Φt(A), и инвариантность фазового пространства означает, что в гамильтоновом формализме, задав координату, можно определить соответствующий (обобщенный) импульс, так чтобы связанный объем сохранялся потоком. Объем, как говорят, вычисляется с помощью меры Лиувиля. В гамильтоновой системе не все возможные конфигурации положения и импульса могут быть достигнуты из начального состояния. В силу сохранения энергии, доступны только состояния с той же энергией, что и начальное состояние. Состояния с одинаковой энергией образуют энергетическую оболочку Ω – подмногообразие фазового пространства. Объем энергетической оболочки, вычисленный с использованием меры Лиувиля, сохраняется в процессе эволюции. Для систем, в которых объем сохраняется потоком, Пуанкаре открыл теорему о возврате: предположим, что фазовое пространство имеет конечный объем Лиувиля и пусть F – отображение, сохраняющее объем в фазовом пространстве, а A – подмножество фазового пространства. Тогда почти каждая точка из A возвращается в A бесконечно часто. Теорема о возврате Пуанкаре была использована Цермело для возражения против вывода Больцмана об увеличении энтропии в динамической системе сталкивающихся атомов. Один из вопросов, поднятых работой Больцмана, заключался в возможном равенстве между временными и пространственными средними, которое он назвал эргодической гипотезой. Гипотеза утверждает, что время, которое типичная траектория проводит в области A, равно vol(A)/vol(Ω). Эргодическая гипотеза оказалась не тем существенным свойством, необходимым для развития статистической механики, и был введен ряд других эргодических свойств для описания релевантных аспектов физических систем. Купман подошел к изучению эргодических систем, используя функциональный анализ. Наблюдаемая a – это функция, которая каждой точке фазового пространства сопоставляет число (например, мгновенное давление или среднюю высоту). Значение наблюдаемой можно вычислить в другой момент времени, используя функцию эволюции φt. Это вводит оператор Ut – оператор переноса. Изучая спектральные свойства линейного оператора U, становится возможным классифицировать эргодические свойства Φt. Используя подход Купмана, заключающийся в рассмотрении действия потока на наблюдаемую функцию, конечномерная нелинейная задача, включающая Φt, отображается в бесконечномерную линейную задачу, включающую U. Мера Лиувиля, ограниченная энергетической поверхностью Ω, является основой для вычисления средних в равновесной статистической механике. Временное среднее вдоль траектории эквивалентно пространственному среднему, вычисленному с помощью множителя Больцмана exp(−βH). Эта идея была обобщена Синаем, Боуэном и Руэллем (SRB) для более широкого класса динамических систем, включающего диссипативные системы. Меры SRB заменяют множитель Больцмана и определяются на аттракторах хаотических систем.

Нелинейные динамические системы и хаос

Простые нелинейные динамические системы и даже кусочно-линейные системы могут демонстрировать совершенно непредсказуемое поведение, которое может казаться случайным, несмотря на то, что они принципиально детерминированы. Такое, казалось бы, непредсказуемое поведение называется хаосом. Гиперболические системы – это чётко определённые динамические системы, проявляющие свойства, характерные для хаотических систем. В гиперболических системах касательное пространство, перпендикулярное траектории, можно чётко разделить на две части: одна – с точками, сходящимися к орбите (стабильный многообразие), а другая – с точками, расходящимися от орбиты (нестабильное многообразие). Эта область математики изучает долгосрочное качественное поведение динамических систем. Здесь основное внимание уделяется не поиску точных решений уравнений, определяющих динамическую систему (что часто невозможно), а скорее ответам на вопросы, такие как: "Устремится ли система к устойчивому состоянию в долгосрочной перспективе, и если да, то каковы возможные аттракторы?" или "Зависит ли долгосрочное поведение системы от её начальных условий?". Хаотическое поведение сложных систем не является проблемой. Метеорология давно известна своей сложностью, вплоть до хаотичности. Теория хаоса оказалась столь удивительной, поскольку хаос можно обнаружить даже в тривиальных системах. Логистическое отображение – это всего лишь полином второй степени, а отображение подковы – кусочно-линейное.