Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Бесконечно детализированная математическая структура
Infinitely detailed mathematical structure
В математике фрактал – это геометрическая фигура, содержащая детальную структуру в произвольно малых масштабах, обычно обладающая фрактальной размерностью, строго превышающей топологическую размерность. Многие фракталы выглядят схожими в различных масштабах, что иллюстрируется последовательными увеличениями множества Мандельброта. Эта особенность называется фрактальной размерностью геометрического объекта, чтобы отличать её от обычной размерности (которая формально называется топологической размерностью). Аналитически многие фракталы нигде не дифференцируемы. И так до появления термина «фрактал» в 20-м веке и последовавшего за этим всплеска интереса к фракталам и компьютерному моделированию в 20-м веке. Более формально, в 1982 году Мандельброт определил фрактал следующим образом: «Фрактал по определению – это множество, для которого размерность Хаусдорфа — Бесиковича строго превышает топологическую размерность». Позже, посчитав это определение слишком ограничивающим, он упростил и расширил его до следующего: «Фрактал – это шероховатая или фрагментированная геометрическая фигура, которую можно разделить на части, каждая из которых является (по крайней мере приблизительно) уменьшенной копией целого». Существует общее мнение среди математиков, что теоретические фракталы – это бесконечно самоподобные, итеративные и детализированные математические конструкции, многие примеры которых были сформулированы и изучены. Фракталы не ограничиваются геометрическими узорами, но также могут описывать процессы во времени. Фрактальные узоры с различной степенью самоподобия были визуализированы или изучены в визуальных, физических и звуковых медиа и встречаются в природе. Фракталы особенно важны в теории хаоса, поскольку они проявляются в геометрических представлениях большинства хаотических процессов (обычно либо в виде аттракторов, либо в виде границ между областями притяжения).
In mathematics, a fractal is a geometric shape containing detailed structure at arbitrarily small scales, usually having a fractal dimension strictly exceeding the topological dimension. Many fractals appear similar at various scales, as illustrated in successive magnifications of the Mandelbrot set. This power is called the fractal dimension of the geometric object, to distinguish it from the conventional dimension (which is formally called the topological dimension). Analytically, many fractals are nowhere differentiable. and on to the coining of the word fractal in the 20th century with a subsequent burgeoning of interest in fractals and computer based modelling in the 20th century. More formally, in 1982 Mandelbrot defined fractal as follows: "A fractal is by definition a set for which the Hausdorff–Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimension." Later, seeing this as too restrictive, he simplified and expanded the definition to this: "A fractal is a rough or fragmented geometric shape that can be split into parts, each of which is (at least approximately) a reduced size copy of the whole." The consensus among mathematicians is that theoretical fractals are infinitely self similar iterated and detailed mathematical constructs, of which many examples have been formulated and studied. Fractals are not limited to geometric patterns, but can also describe processes in time. Fractal patterns with various degrees of self similarity have been rendered or studied in visual, physical, and aural media and found in nature, Fractals are of particular relevance in the field of chaos theory because they show up in the geometric depictions of most chaotic processes (typically either as attractors or as boundaries between basins of attraction).
Этимология
Термин "фрактал" был введен математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Мандельброт основывал его на латинском слове [[wikt:fractus#Latin]], означающем "сломанный" или "расколотый", и использовал для расширения понятия теоретических дробных размерностей на геометрические формы в природе.
The term "fractal" was coined by the mathematician Benoît Mandelbrot in 1975. Mandelbrot based it on the Latin [[wikt:fractus#Latin, meaning "broken" or "fractured", and used it to extend the concept of theoretical fractional dimensions to geometric patterns in nature.
Введение
Слово "фрактал" часто имеет различные коннотации для широкой публики, в отличие от математиков, где люди, скорее всего, знакомы с фрактальным искусством, чем с математической концепцией. Математическую концепцию сложно определить формально, даже для самих математиков, но ключевые особенности можно понять, имея небольшую математическую подготовку. Например, характеристика "самоподобия" легко объясняется аналогией с увеличением изображения с помощью линзы или другого устройства, увеличивающего цифровые изображения для выявления более тонкой, ранее невидимой структуры. Однако, при увеличении фракталов, новые детали не появляются; ничего не меняется, и один и тот же узор повторяется снова и снова, или, для некоторых фракталов, почти тот же узор повторяется многократно. Самоподобие само по себе не обязательно противоречит интуиции (например, люди неформально размышляли о самоподобии, как в бесконечном отражении в параллельных зеркалах или в концепции гомункула – маленького человечка внутри головы маленького человечка). Отличие фракталов заключается в том, что воспроизводимый узор должен быть детализированным. Распространенной темой в традиционной африканской архитектуре является использование фрактального масштабирования, когда небольшие части структуры выглядят похожими на более крупные, например, круглая деревня, состоящая из круглых домов. По словам Пиковера, математика фракталов начала обретать форму в 17 веке, когда математик и философ Готфрид Лейбниц размышлял о рекурсивном самоподобии (хотя он ошибочно полагал, что только прямая линия обладает самоподобием в этом смысле). В своих работах Лейбниц использовал термин "дробные показатели", но сожалел, что "геометрия" еще не располагала знаниями о них. Вскоре после этого, в 1883 году, Георг Кантор посещал лекции Вейерштрасса, которые основывались на более ранних работах Льюиса Фрая Ричардсона. В 1975 году,
The word "fractal" often has different connotations for the lay public as opposed to mathematicians, where the public is more likely to be familiar with fractal art than the mathematical concept. The mathematical concept is difficult to define formally, even for mathematicians, but key features can be understood with a little mathematical background. The feature of "self similarity", for instance, is easily understood by analogy to zooming in with a lens or other device that zooms in on digital images to uncover finer, previously invisible, new structure. If this is done on fractals, however, no new detail appears; nothing changes and the same pattern repeats over and over, or for some fractals, nearly the same pattern reappears over and over. Self similarity itself is not necessarily counter intuitive (e. g., people have pondered self similarity informally such as in the infinite regress in parallel mirrors or the homunculus, the little man inside the head of the little man inside the head ). The difference for fractals is that the pattern reproduced must be detailed. A common theme in traditional African architecture is the use of fractal scaling, whereby small parts of the structure tend to look similar to larger parts, such as a circular village made of circular houses. According to Pickover, the mathematics behind fractals began to take shape in the 17th century when the mathematician and philosopher Gottfried Leibniz pondered recursive self similarity (although he made the mistake of thinking that only the straight line was self similar in this sense). In his writings, Leibniz used the term "fractional exponents", but lamented that "Geometry" did not yet know of them. Not long after that, in 1883, Georg Cantor, who attended lectures by Weierstrass, which built on earlier work by Lewis Fry Richardson. In 1975,
Физиологические реакции
Люди, по-видимому, особенно хорошо приспособлены к восприятию фрактальных узоров с фрактальной размерностью от 1,3 до 1,5. Просмотр людьми фрактальных узоров с фрактальной размерностью от 1,3 до 1,5 обычно снижает физиологический стресс.
Humans appear to be especially well adapted to processing fractal patterns with fractal dimension between 1.3 and 1.5. When humans view fractal patterns with fractal dimension between 1.3 and 1.5, this tends to reduce physiological stress.