Введение

Область математики и науки, основанная на нелинейных системах и начальных условиях. Теория хаоса – это междисциплинарная область научных исследований и отрасль математики. Она фокусируется на лежащих в основе закономерностях и детерминированных законах динамических систем, крайне чувствительных к начальным условиям. Ранее считалось, что эти системы демонстрируют полностью случайные состояния беспорядка и нерегулярности. Теория хаоса утверждает, что в кажущейся случайности хаотических сложных систем существуют скрытые закономерности, взаимосвязи, постоянные петли обратной связи, повторения, самоподобие, фракталы и самоорганизация. Эффект бабочки, являющийся основополагающим принципом хаоса, описывает, как незначительное изменение в одном состоянии детерминированной нелинейной системы может привести к значительным различиям в последующем состоянии (то есть существует чувствительная зависимость от начальных условий). Метафорически это можно представить так: взмах крыльев бабочки в Бразилии может вызвать торнадо в Техасе. Небольшие различия в начальных условиях, вызванные, например, ошибками измерений или погрешностями округления в численных расчетах, могут приводить к существенно различающимся результатам для таких динамических систем, делая долгосрочное прогнозирование их поведения в целом невозможным. Это может происходить, даже если эти системы детерминированы, то есть их будущее поведение следует уникальной эволюции и полностью определяется их начальными условиями, без каких-либо случайных элементов. Иными словами, детерминированная природа этих систем не делает их предсказуемыми. Такое поведение известно как детерминированный хаос, или просто хаос. Эдвард Лоренц сформулировал теорию следующим образом:

Хаос: когда настоящее определяет будущее, но приближенное настоящее не определяет приближенное будущее. Хаотическое поведение наблюдается во многих природных системах, включая течение жидкостей, нарушения сердечного ритма, погоду и климат, социологию, экологию, информатику, инженерию, экономику и управление кризисами, связанными с пандемиями. Теория стала основой для таких областей исследования, как сложные динамические системы, теория края хаоса и процессы самосборки.

Введение

Теория хаоса изучает детерминированные системы, поведение которых, в принципе, можно предсказать. Хаотические системы предсказуемы в течение определенного времени, после чего кажутся случайными. Продолжительность, в течение которой поведение хаотической системы можно эффективно предсказывать, зависит от трех факторов: допустимой погрешности прогноза, точности измерения ее текущего состояния и временной шкалы, определяемой динамикой системы, называемой временем Ляпунова. Примеры времен Ляпунова: хаотические электрические цепи – около 1 миллисекунды; погодные системы – несколько дней (не подтверждено); внутренняя солнечная система – от 4 до 5 миллионов лет. В хаотических системах неопределенность прогноза экспоненциально возрастает с течением времени. Следовательно, математически, удвоение времени прогнозирования более чем удваивает пропорциональную неопределенность прогноза. Это означает, что на практике осмысленный прогноз невозможен на интервале, превышающем два-три времени Ляпунова. Когда осмысленные прогнозы невозможны, система проявляет случайность. Теория хаоса – это метод качественного и количественного анализа, предназначенный для изучения поведения динамических систем, которые нельзя объяснить и предсказать, опираясь на отдельные зависимости данных, а требуют объяснения и прогнозирования на основе целостных, непрерывных зависимостей данных.

Плотность периодических орбит

Для хаотической системы наличие плотных периодических орбит означает, что каждая точка в пространстве может быть сколь угодно близко приближена периодическими орбитами. Теорема Шарковского лежит в основе доказательства Ли и Йорка (1975) о том, что любая непрерывная одномерная система, демонстрирующая регулярный цикл периода три, также будет демонстрировать регулярные циклы любой другой длины, а также полностью хаотические орбиты.

Странные притягатели

Некоторые динамические системы, такие как одномерное логистическое отображение, определяемое как x → 4x(1 – x), хаотичны повсюду, но во многих случаях хаотическое поведение наблюдается лишь в подмножестве фазового пространства. Наибольший интерес представляют случаи, когда хаотическое поведение проявляется на аттракторе, поскольку тогда большое множество начальных условий приводит к траекториям, сходящимся к этой хаотической области. Простой способ визуализировать хаотический аттрактор – начать с точки в бассейне притяжения аттрактора и затем просто построить её последующую орбиту. Благодаря условию топологической транзитивности, это, вероятно, позволит получить картину всего конечного аттрактора, и действительно, обе орбиты, показанные на рисунке справа, демонстрируют общую форму аттрактора Лоренца. Этот аттрактор является результатом простой трехмерной модели метеорологической системы Лоренца. Атрактор Лоренца, пожалуй, одна из наиболее известных диаграмм хаотических систем, вероятно, потому, что это не только одна из первых, но и одна из самых сложных, и поэтому порождает очень интересный узор, который, при небольшой доле воображения, напоминает крылья бабочки. В отличие от аттракторов с фиксированной точкой и предельных циклов, аттракторы, возникающие в хаотических системах, известные как странные аттракторы, отличаются высокой детализацией и сложностью. Странные аттракторы встречаются как в непрерывных динамических системах (например, в системе Лоренца), так и в некоторых дискретных системах (например, в отображении Энона). Другие дискретные динамические системы обладают отталкивающей структурой, называемой множеством Жюлиа, которая формируется на границе между областями притяжения фиксированных точек. Множество Жюлиа можно рассматривать как странный репеллер. Как странные аттракторы, так и множества Жюлиа обычно имеют фрактальную структуру, для которых можно вычислить фрактальную размерность.

Сосуществующие атракторы

[[Файл:Сосуществующие Атракторы.png|thumb|Сосуществующие хаотические и нехаотические аттракторы в обобщенной модели Лоренца. Подчеркивалось значение рассмотрения различных типов решений. Например, хаотические и нехаотические аттракторы могут сосуществовать в одной и той же модели (например, в системе двойного маятника), при использовании одинаковых конфигураций моделирования, но различных начальных условий. Результаты, полученные для сосуществующих аттракторов в классических и обобщенных моделях Лоренца, позволяют предложить новый взгляд на то, что "вся погода обладает двойственной природой, сочетающей хаос и порядок с различной степенью предсказуемости", в отличие от общепринятого представления о "хаотичности погоды".

Минимальная сложность хаотической системы

thumb|right|Диаграмма бифуркаций логистического отображения x → r x (1 – x). Каждый вертикальный срез показывает аттрактор для конкретного значения r. Диаграмма демонстрирует удвоение периода с увеличением r, в конечном итоге приводя к хаосу. Более темные точки посещаются чаще. Дискретные хаотические системы, такие как логистическое отображение, могут проявлять странные аттракторы независимо от их размерности. В отличие от этого, для непрерывных динамических систем теорема Пуанкаре — Бендиксона показывает, что странный аттрактор может возникать только в трех или более измерениях. Линейные системы конечной размерности никогда не являются хаотичными; для проявления хаотического поведения динамическая система должна быть либо нелинейной, либо бесконечномерной. Теорема Пуанкаре — Бендиксона утверждает, что двумерное дифференциальное уравнение имеет очень регулярное поведение. Атрактор Лоренца, обсуждаемый ниже, генерируется системой из трех дифференциальных уравнений, таких как:
где , , и составляют состояние системы, — время, а , , — параметры системы. Пять из членов правой части линейны, а два — квадратичны; всего семь членов. Другой хорошо известный хаотический аттрактор генерируется уравнениями Рёсслера, которые содержат только один нелинейный член из семи. Спротт обнаружил трехмерную систему, состоящую всего из пяти членов, с единственным нелинейным членом, демонстрирующую хаос при определенных значениях параметров. Чжан и Хайдель показали, что, по крайней мере, для диссипативных и консервативных квадратичных систем, трехмерные квадратичные системы с только тремя или четырьмя членами в правой части не могут проявлять хаотическое поведение. Причина проста: решения таких систем асимптотически приближаются к двумерной поверхности, и, следовательно, хорошо определены. В то время как теорема Пуанкаре — Бендиксона показывает, что непрерывная динамическая система на евклидовой плоскости не может быть хаотичной, двумерные непрерывные системы с неевклидовой геометрией все же могут проявлять некоторые хаотические свойства. Удивительно, но хаос может возникать и в линейных системах, при условии, что они бесконечномерны. Теория линейного хаоса разрабатывается в области математического анализа, известной как функциональный анализ. Приведенный выше набор из трех обыкновенных дифференциальных уравнений называют трехмерной моделью Лоренца. С 1963 года в многочисленных исследованиях были разработаны модели Лоренца более высокой размерности для изучения влияния повышенной степени нелинейности, а также ее совокупного эффекта с нагревом и диссипацией на устойчивость решений.

Системы с толчком

В физике, рывок – это третья производная координаты по времени. Следовательно, дифференциальные уравнения вида

иногда называют уравнениями рывка. Было показано, что уравнение рывка, эквивалентное системе из трех обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, в определенном смысле является минимальной конфигурацией для решений, демонстрирующих хаотическое поведение. Это мотивирует математический интерес к системам рывка. Системы, включающие четвертую и более высокую производную, соответственно называются гиперрывочными системами. Поведение системы рывка описывается уравнением рывка, и для определенных уравнений рывка простые электронные схемы могут моделировать решения. Эти схемы известны как схемы рывка. Одним из наиболее интересных свойств схем рывка является возможность хаотического поведения. Фактически, некоторые известные хаотические системы, такие как аттрактор Лоренца и отображение Рёсслера, обычно описываются как система из трех дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть объединены в одно (хотя и довольно сложное) уравнение рывка. Другой пример уравнения рывка с нелинейностью в величине:

Здесь A – регулируемый параметр. Это уравнение имеет хаотическое решение при A=3/5 и может быть реализовано следующей схемой рывка; требуемая нелинейность достигается с помощью двух диодов:

frameless|upright=1.4|center

В приведенной выше схеме все резисторы имеют одинаковое значение, за исключением , и все конденсаторы одинакового размера. Доминирующая частота равна . Выход операционного усилителя 0 соответствует переменной x, выход 1 – первой производной x, а выход 2 – второй производной. Подобные схемы требуют только одного диода или вообще не требуют диодов. См. также хорошо известную схему Чуа, одну из основ для хаотических генераторов истинных случайных чисел. Простота конструкции схемы сделала ее повсеместным реальным примером хаотической системы.

Спонтанный заказ

В подходящих условиях хаос спонтанно переходит в упорядоченную структуру. В модели Курамото достаточно четырех условий для достижения синхронизации в хаотической системе. Примеры включают в себя синхронизированные колебания маятников Кристиана Гюйгенса, светлячков, нейронов, резонанс на Лондонском мосту Тысячелетия и большие массивы джозефсоновских переходов. Более того, с точки зрения теоретической физики, сам динамический хаос, в своем наиболее общем проявлении, представляет собой спонтанный порядок. Суть в том, что большинство упорядоченных структур в природе возникают в результате спонтанного нарушения различных симметрий. К этому обширному семейству явлений относятся упругость, сверхпроводимость, ферромагнетизм и многие другие. Согласно суперсимметричной теории стохастической динамики, хаос, или, точнее, его стохастическое обобщение, также входит в это семейство. Симметрия, которая при этом нарушается, – это топологическая суперсимметрия, скрытая во всех стохастических (частичных) дифференциальных уравнениях, а соответствующий параметр порядка является полевым представлением эффекта бабочки.

История

Пальчик вверх | Вертикально | Папоротник Барнсли, созданный с помощью игры в хаос. Природные формы (папоротники, облака, горы и т. д.) могут быть воссозданы с помощью итерированной системы функций (IFS). Джеймс Клерк Максвелл первым подчеркнул «эффект бабочки» и считается одним из первых, кто обсуждал теорию хаоса, с работами в 1860-х и 1870-х годах. Анри Пуанкаре был одним из первых сторонников теории хаоса. В 1880-х годах, изучая задачу трех тел, он обнаружил, что могут существовать орбиты, которые не являются периодическими, но при этом не бесконечно возрастают и не приближаются к фиксированной точке. В 1898 году Жак Адамар опубликовал влиятельное исследование хаотического движения свободной частицы, скользящей без трения по поверхности с постоянной отрицательной кривизной, известное как «бильярд Адамара». Адамар смог показать, что все траектории неустойчивы, поскольку все траектории частиц экспоненциально расходятся друг от друга с положительным показателем Ляпунова. Теория хаоса зародилась в области эргодической теории. Позднее исследования, также посвященные нелинейным дифференциальным уравнениям, были проведены Джорджем Дэвидом Биркгоффом, Андреем Николаевичем Колмогоровым, Мэри Люси Картрайт и Джоном Эденсором Литтлвудом, а также Стивеном Смалем. За исключением Смаля, все эти исследования были непосредственно вдохновлены физикой: задача трех тел в случае Биркгоффа, турбулентность и астрономические проблемы в случае Колмогорова, а также радиотехника в случае Картрайт и Литтлвуда. Хотя хаотическое движение планет не наблюдалось, экспериментаторы сталкивались с турбулентностью в движении жидкости и непериодическими колебаниями в радиосхемах, не имея теории, объясняющей наблюдаемое. Несмотря на первоначальные идеи в первой половине двадцатого века, теория хаоса была формализована как таковая только после середины века, когда некоторым ученым стало очевидно, что линейная теория, преобладающая в то время теория систем, просто не может объяснить наблюдаемое поведение определенных экспериментов, таких как логистическое отображение. То, что приписывалось неточности измерений и простому «шуму», стало рассматриваться теоретиками хаоса как полноценный компонент изучаемых систем. В 1959 году Борис Валерианович Чириков предложил критерий возникновения классического хаоса в гамильтоновых системах (критерий Чирикова). Он применил этот критерий для объяснения некоторых экспериментальных результатов по удержанию плазмы в открытых зеркальных ловушках. Это считается первой физической теорией хаоса, которая смогла объяснить конкретный эксперимент. Борис Чириков считается пионером в классическом и квантовом хаосе. Главным катализатором развития теории хаоса стал электронный компьютер. Большая часть математики теории хаоса включает в себя многократную итерацию простых математических формул, что было бы непрактично выполнять вручную. Электронные компьютеры сделали эти многократные вычисления практическими, а графики и изображения позволили визуализировать эти системы. Будучи аспирантом в лаборатории Чихиро Хаяси в Киотском университете, Ёсисукэ Уэда экспериментировал с аналоговыми компьютерами и 27 ноября 1961 года заметил то, что он назвал «случайными переходными явлениями». Однако его научный руководитель не согласился с его выводами в то время и не разрешил ему сообщать о своих результатах до 1970 года.

Пальчик слева | Горизонтально | Турбулентность на вихревом следе от крыла самолета. Исследования критической точки, за которой система создает турбулентность, были важны для теории хаоса и были проанализированы, например, советским физиком Львом Ландау, который разработал теорию турбулентности Ландау-Хопфа. Дэвид Руэль и Флорис Такенс позже предсказали, вопреки Ландау, что турбулентность жидкости может развиваться через странный аттрактор, основную концепцию теории хаоса. Эдвард Лоренц был одним из первых пионеров теории. Его интерес к хаосу возник случайно в результате его работы по прогнозированию погоды в 1961 году. Лоренц и его коллеги Эллен Феттер и Маргарет Гамильтон использовали простой цифровой компьютер Royal McBee LGP 30 для выполнения симуляций погоды. Они хотели увидеть последовательность данных снова и, чтобы сэкономить время, начали моделирование в середине его хода. Они сделали это, введя распечатку данных, соответствующих условиям в середине исходной симуляции. К их удивлению, погода, которую машина начала предсказывать, была совершенно иной, чем предыдущие расчеты. Они проследили это до компьютерной распечатки. Компьютер работал с 6-значной точностью, но распечатка округляла переменные до 3 знаков, поэтому значение, например, 0,506127, печаталось как 0,506. Эта разница незначительна, и в то время консенсус заключался в том, что она не должна оказывать практического влияния. Однако Лоренц обнаружил, что небольшие изменения в начальных условиях приводят к большим изменениям в долгосрочном результате. Открытие Лоренца, давшее название аттракторам Лоренца, показало, что даже подробное атмосферное моделирование, как правило, не может делать точные долгосрочные прогнозы погоды. В 1963 году Бенуа Мандельброт, изучая теорию информации, обнаружил, что шум во многих явлениях (включая цены на акции и телефонные цепи) имеет структуру, подобную множеству Кантора, множеству точек с бесконечной шероховатостью и детализацией. Мандельброт описал как «эффект Ноя» (в котором могут происходить внезапные разрывные изменения), так и «эффект Иосифа» (в котором значение может сохраняться в течение некоторого времени, но затем внезапно измениться). В 1967 году он опубликовал статью «Как долго береговая линия Великобритании? Статистическая самоподобие и дробная размерность», показав, что длина береговой линии меняется в зависимости от масштаба измерительного инструмента, похожа на себя во всех масштабах и бесконечна в длину для бесконечно малого измерительного устройства. Утверждая, что клубок веревки выглядит как точка при взгляде издалека (0-мерный), как шар при взгляде с близкого расстояния (3-мерный) или как изогнутая нить (1-мерный), он утверждал, что размерность объекта относительна для наблюдателя и может быть дробной. Объект, чья неровность постоянна в разных масштабах («самоподобие»), является фракталом (примерами являются губка Менгера, треугольник Серпинского и кривая Коха или снежинка, которая бесконечно длинна, но заключает в себе конечное пространство и имеет фрактальную размерность около 1,2619). В 1982 году Мандельброт опубликовал книгу «Фрактальная геометрия природы», которая стала классикой теории хаоса. В декабре 1977 года Нью-Йоркская академия наук организовала первый симпозиум по хаосу, в котором приняли участие Дэвид Руэль, Роберт Мэй, Джеймс А. Йорк (автор термина «хаос», используемого в математике), Роберт Шоу и метеоролог Эдвард Лоренц. В следующем году Пьер Кулье и Шарль Трессер опубликовали «Itérations d'endomorphismes et groupe de renormalisation», а статья Митчелла Фейгенбаума «Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations» наконец-то появилась в журнале после 3 лет отклонений рецензентами. Таким образом, Фейгенбаум (1975) и Кулье и Трессер (1978) обнаружили универсальность в хаосе, что позволило применить теорию хаоса ко многим различным явлениям. В 1979 году Альберт Дж. Либхабер, во время симпозиума, организованного Пьером Хоенбергом в Аспене, представил свое экспериментальное наблюдение каскада бифуркаций, ведущего к хаосу и турбулентности в системах конвекции Рэлея-Бенара. Он был удостоен Вольфовой премии по физике в 1986 году вместе с Митчеллом Дж. Фейгенбаумом за их вдохновляющие достижения. В 1986 году Нью-Йоркская академия наук совместно с Национальным институтом психического здоровья и Управлением военно-морских исследований организовала первую важную конференцию по хаосу в биологии и медицине. Там Бернардо Хуберман представил математическую модель дисфункции отслеживания глаз у людей с шизофренией. Это привело к возрождению физиологии в 1980-х годах благодаря применению теории хаоса, например, в изучении патологических сердечных циклов. В 1987 году Пер Бак, Чао Тан и Курт Визенфельд опубликовали статью в журнале Physical Review Letter…

Популярная, но неточная аналогия хаоса

Чувствительная зависимость от начальных условий (т.е. эффект бабочки) была проиллюстрирована с использованием следующего фольклора: Анализ показал, что стих указывает лишь на расхождение, а не на ограниченность. В недавнем исследовании характеристика указанного стиха была обозначена как "зависимость от начальных условий за конечное время".

Приложения

иллюстрация слева|Коническая тканевая раковина, внешне напоминающая правило 30 — клеточный автомат с хаотическим поведением. Хотя теория хаоса зародилась из наблюдений за погодными явлениями, она оказалась применимой к широкому спектру других областей. Сегодня теорией хаоса пользуются в геологии, математике, биологии, информатике, экономике, инженерии, финансах, метеорологии, философии, антропологии, политике, динамике популяций и робототехнике. Ниже приведены несколько категорий с примерами, но это далеко не полный список, поскольку постоянно появляются новые применения.

Криптография

Теория хаоса используется в криптографии на протяжении многих лет. За последние несколько десятилетий хаос и нелинейная динамика применялись при разработке сотен криптографических примитивов. Эти алгоритмы включают алгоритмы шифрования изображений, хеш-функции, безопасные генераторы псевдослучайных чисел, поточные шифры, цифровые водяные знаки и стеганографию. Большинство этих алгоритмов основаны на одномерных хаотических отображениях, и значительная часть из них использует управляющие параметры и начальные условия хаотических отображений в качестве ключей. В более широком смысле, сходство между хаотическими отображениями и криптографическими системами является основной мотивацией для разработки криптографических алгоритмов, основанных на хаосе. Другой подход к вычислениям, ДНК-вычисления, в сочетании с теорией хаоса, предлагает способ шифрования изображений и другой информации. Многие криптографические алгоритмы, сочетающие ДНК-вычисления и хаос, оказались либо небезопасными, либо применяемая техника признана неэффективной.

Робототехника

Робототехника – еще одна область, в которой в последнее время были получены преимущества благодаря теории хаоса. Вместо того чтобы роботы взаимодействовали с окружающей средой, совершенствуясь методом проб и ошибок, теория хаоса используется для создания предсказательной модели. Хаотическая динамика наблюдалась у пассивных двуногих роботов, способных к ходьбе.

Биология

Более ста лет биологи отслеживают численность популяций различных видов, используя модели популяций. Большинство моделей непрерывны, но в последнее время ученые смогли применять хаотические модели к определенным популяциям. Например, исследование моделей канадской рыси показало наличие хаотического поведения в динамике роста популяции. Хаос также встречается в экологических системах, таких как гидрология. Несмотря на недостатки хаотической модели гидрологии, изучение данных через призму теории хаоса все еще может дать много полезной информации. Другое биологическое применение можно найти в кардиотокографии. Мониторинг состояния плода требует тонкого баланса между получением точных данных и максимальной неинвазивностью. Более точные модели ранних признаков гипоксии плода можно получить с помощью хаотического моделирования. Как отмечает Перри, моделированию хаотических временных рядов в экологии способствует наличие ограничений. Коэволюция ген за геном иногда демонстрирует хаотическую динамику частот аллелей. Даже в стабильной среде простое сочетание одной сельскохозяйственной культуры и одного патогена может приводить к квазипериодическим или хаотическим колебаниям численности патогена.

Экономика

Возможно, экономические модели также могут быть усовершенствованы посредством применения теории хаоса, однако прогнозирование состояния экономической системы и выявление наиболее влиятельных факторов – крайне сложная задача. Экономические и финансовые системы принципиально отличаются от систем в классических естественных науках, поскольку первые по своей природе стохастичны, так как являются результатом взаимодействия людей, и поэтому чистые детерминированные модели вряд ли обеспечат точное отражение данных. Эмпирические исследования, направленные на выявление хаоса в экономике и финансах, дают весьма противоречивые результаты, отчасти из-за путаницы между специфическими тестами на хаос и более общими тестами на нелинейные зависимости. Хаос в экономике можно обнаружить с помощью анализа количественной рекуррентности. Фактически, Орландо и др. с использованием так называемого индекса корреляции количественной рекуррентности смогли выявить скрытые изменения во временных рядах. Впоследствии, тот же метод был применен для обнаружения переходов от ламинарных (упорядоченных) к турбулентным (хаотическим) фазам, а также для выявления различий между макроэкономическими переменными и скрытых особенностей экономической динамики. Наконец, теория хаоса может помочь в моделировании функционирования экономики, а также в учете шоков, вызванных внешними событиями, такими как COVID-19.

Расширенная модель AI

В больших языковых моделях, управляемых ИИ, ответы могут быть чувствительны к изменениям в форматировании и вариациям в запросах. Эта чувствительность аналогична эффекту бабочки. Хотя отнесение больших языковых моделей с использованием ИИ к классическим детерминированным хаотическим системам представляет собой сложность, подходы и методы, вдохновленные теорией хаоса (например, ансамблевое моделирование), могут быть использованы для получения надежной информации из этих масштабных языковых моделей (см. также "Эффект бабочки в популярной культуре").

Статьи

Онлайн-версия (Примечание: объём и номера страниц, указанные в онлайн-тексте, отличаются от указанных здесь. Данная цитата взята из фотокопии, что соответствует другим цитатам, найденным в сети, не отображающим количество просмотров статей. Онлайн-контент полностью идентичен печатной версии. Различия в цитировании связаны со страной публикации).

Полутехнические и популярные произведения

Кристоф Летэльер, Хаос в природе, World Scientific Publishing Company, 2012,
Джон Бриггс и Дэвид Пит, Турбулентное зеркало: Иллюстрированное руководство по теории хаоса и науке о целостности, Harper Perennial, 1990, 224 с.
Джон Бриггс и Дэвид Пит, Семь жизненных уроков хаоса: духовная мудрость из науки перемен, Harper Perennial, 2000, 224 с.
Предраг Цвитанович, Универсальность в хаосе, Adam Hilger, 1989, 648 с.
Леон Гласс и Майкл К. Макки, От часов к хаосу: ритмы жизни, Princeton University Press, 1988, 272 с.
Джеймс Глейк, Хаос: создание новой науки, Нью-Йорк: Penguin, 1988, 368 с.
Л. Дуглас Кил, Э. В. Эллиотт (ред.), Теория хаоса в социальных науках: основы и применения, University of Michigan Press, 1997, 360 с.
Арвинд Кумар, Хаос, фракталы и самоорганизация: новые перспективы сложности в природе, National Book Trust, 2003.
Ханс Лаувериер, Фракталы, Princeton University Press, 1991.
Эдвард Лоренц, Сущность хаоса, University of Washington Press, 1996.
Дэвид Пик и Майкл Фрейм, Хаос под контролем: искусство и наука сложности, Freeman, 1994.
Хайнц Отто Пейтген и Дитмар Саупе (ред.), Наука фрактальных изображений, Springer, 1988, 312 с.
Нурия Перпиня, Хаос, вирус, спокойствие. Теория хаоса, примененная к художественному, социальному и политическому беспорядку, Páginas de Espuma, 2021.
Клиффорд А. Пиковер, Компьютеры, шаблоны, хаос и красота: графика из невидимого мира, St Martins Pr, 1991.
Клиффорд А. Пиковер, Хаос в стране чудес: визуальные приключения в фрактальном мире, St Martins Pr, 1994.
Илья Пригожин и Изабелла Стенгерс, Порядок из хаоса, Bantam, 1984.
Дэвид Руэлль, Шанс и хаос, Princeton University Press, 1993.
Иварс Петерсон, Часы Ньютона: хаос в Солнечной системе, Freeman, 1993.
Манфред Шредер, Фракталы, хаос и степенные законы, Freeman, 1991.
Иэн Стюарт, Бог играет в кости? : Математика хаоса, Blackwell Publishers, 1990.
Стивен Строгац, Sync: возникающая наука о спонтанном порядке, Hyperion, 2003.
Ёсисукэ Уэда, Дорога к хаосу, Aerial Pr, 1993.
М. Митчелл Уолдроп, Сложность: новая наука на грани порядка и хаоса, Simon & Schuster, 1992.
Антонио Савайя, Анализ финансовых временных рядов: подход хаоса и нейродинамики, Lambert, 2012.