Введение

Число, такое, что оно и все меньшие числа могут быть представлены в виде сумм его различных делителей.

В теории чисел практическое число или панаритмическое число — это положительное целое число, для которого все меньшие положительные целые числа могут быть представлены в виде сумм различных делителей этого числа. Например, 12 является практическим числом, поскольку все числа от 1 до 11 могут быть выражены в виде сумм его делителей 1, 2, 3, 4 и 6: а также самих этих делителей, имеем 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 и 11 = 6 + 3 + 2. Последовательность практических чисел начинается…

Практические числа использовались Фибоначчи в его книге «Liber Abaci» (1202) в связи с задачей представления рациональных чисел в виде египетских дробей. Фибоначчи не дает формального определения практическим числам, но приводит таблицу египетских разложений дробей с практичными знаменателями. Название «практическое число» происходит от того, что он отметил, что «подразделения денег, весов и мер включают числа, такие как 4, 12, 16, 20 и 28, которые обычно считаются настолько неудобными, что заслуживают замены степенями 10». Его частичная классификация этих чисел была завершена… и… Эта характеристика позволяет определить, является ли число практическим, путем изучения его разложения на простые множители. Любое четное совершенное число и любая степень числа два также являются практическим числом. Практические числа также оказались аналогичны простым числам во многих своих свойствах.

Свойства

Единственное нечётное практическое число — 1, потому что если *n* — нечётное число, большее 2, то 2 нельзя представить в виде суммы различных делителей *n*. Более того, отмечается, что кроме 1 и 2, каждое практическое число делится на 4 или 6 (или на оба). Произведение двух практических чисел также является практическим числом. Эквивалентно, множество всех практических чисел замкнуто относительно умножения. Более того, наименьшее общее кратное любых двух практических чисел также является практическим числом. Из вышеуказанной характеризации Стюарта и Серпинского следует, что если *n* — практическое число, а *d* — один из его делителей, то *d* также должно быть практическим числом. В множестве всех практических чисел существует примитивное множество практических чисел. Примитивное практическое число либо практическое и свободно от квадратов, либо практическое, и при делении на любой из его простых множителей, показатель степени которого в разложении на простые множители больше 1, перестаёт быть практическим. Последовательность примитивных практических чисел начинается. Каждое положительное целое число имеет практическое кратное. Например, для каждого целого числа *k*, его кратное *2^k* является практическим.

Практические числа и египетские дробь

Если число практично, то любое рациональное число вида с может быть представлено в виде суммы, где каждый является различным делителем . Каждый член этой суммы упрощается до единичной дроби, таким образом, такая сумма представляет собой разложение числа в египетскую дробь. Например,

Фибоначчи в своей книге "Liber Abaci" 1202 года утверждал, что каждое положительное рациональное число имеет представление в виде египетской дроби, в котором каждый знаменатель является практическим числом. Это утверждение было доказано .