Кіріспе
Сан теориясында практикалық сан немесе панаритмикалық сан — оң бүтін сан, онда бұл санның өзінен кіші барлық оң бүтін сандарды оның әр түрлі бөлгіштерінің қосындысы ретінде көрсетуге болады. Мысалы, 12 — практикалық сан, себебі 1-ден 11-ге дейінгі барлық сандарды оның бөлгіштері 1, 2, 3, 4 және 6 арқылы қосынды ретінде көрсетуге болады: осы бөлгіштердің өзінен басқа, 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 және 11 = 6 + 3 + 2. Практикалық сандар тізбесі Фибоначчидің 1202 жылғы «Liber Abaci» еңбегінде рационал сандарды египеттік бөлшектер түрінде көрсету мәселесіне байланысты қолданылған. Фибоначчи практикалық сандарды формалды түрде анықтамайды, бірақ практикалық белгісі бар бөлшектер үшін египеттік бөлшектердің кеңею кестесін ұсынады. «Практикалық сан» деген атауды алғаш рет осы сандарды атап көрсеткен: «ақша, салмақ және өлшемдердің бөліністері 4, 12, 16, 20 және 28 сияқты сандарды қамтиды, олар көбінесе 10-ның дәрежелерімен алмастырылуға лайық ыңғайсыз сандар деп есептеледі». Бұл сипаттама сандың жай көбейткіштерін қарастыру арқылы оның практикалық санын анықтауға мүмкіндік береді. Кез келген жұп толық сан және екінің кез келген дәрежесі де практикалық сан болып табылады. Практикалық сандар жай сандардың көптеген қасиеттеріне ұқсас екені де көрсетілген.
In number theory, a practical number or panarithmic number is a positive integer such that all smaller positive integers can be represented as sums of distinct divisors of For example, 12 is a practical number because all the numbers from 1 to 11 can be expressed as sums of its divisors 1, 2, 3, 4, and 6: as well as these divisors themselves, we have 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1, and 11 = 6 + 3 + 2. The sequence of practical numbers begins
Practical numbers were used by Fibonacci in his Liber Abaci (1202) in connection with the problem of representing rational numbers as Egyptian fractions. Fibonacci does not formally define practical numbers, but he gives a table of Egyptian fraction expansions for fractions with practical denominators. The name "practical number" is due to He noted that "the subdivisions of money, weights, and measures involve numbers like 4, 12, 16, 20 and 28 which are usually supposed to be so inconvenient as to deserve replacement by powers of 10." His partial classification of these numbers was completed by and This characterization makes it possible to determine whether a number is practical by examining its prime factorization. Every even perfect number and every power of two is also a practical number. Practical numbers have also been shown to be analogous with prime numbers in many of their properties.
Қасиеттері
Жалғыз тақ практикалық сан – 1, себебі егер 2-ден үлкен тақ сан болса, онда 2-ні сол санның әр түрлі бөлгіштерінің қосындысы түрінде жазуға болмайды. Күштірек айтқанда, 2-ні ешқандай практикалық санның әр түрлі бөлгіштерінің қосындысы ретінде жазуға болмайды. Екі практикалық санның көбейтіндісі де практикалық сан болады. Басқаша айтқанда, барлық практикалық сандар жиыны көбейту операциясына қатысты жабық жиын болып табылады. Күштірек айтқанда, кез келген екі практикалық санның ең кіші ортақ еселігі де практикалық сан болады. Стюарт пен Серпинскийдің жоғарыдағы сипаттамасынан көрініп тұрғанындай, егер – практикалық сан болса және – оның бөлгіші болса, онда де практикалық сан болуы керек. Барлық практикалық сандар жиынында бастапқы практикалық сандар жиыны бар. Бастапқы практикалық сан – практикалық және квадратсыз сан, немесе практикалық сан, ал оны оның жай көбейткіштерінің біріне бөлгенде, егер сол көбейткіштің дәрежесі 1-ден үлкен болса, онда ол практикалық сан болмайды. Бастапқы практикалық сандар тізбегі басталады.
Кез келген оң бүтін санның практикалық еселігі болады. Мысалы, кез келген бүтін саны үшін, оның еселігі практикалық болады.
Қолданбалы сандар және мысырлық бөлшектер
Егер санды практикалық болса, онда кез келген рационалды санды түрінде көрсетуге болады, мұнда – бүтін сан. Бұл қосындыны әрқайсысы бөлек бөлгіш болатын мүшелердің қосындысы ретінде жазуға болады. Қосындының әрбір мүшесі бірлік бөлшекке дейін ықшамдалады, сондықтан мұндай қосынды санды египеттік бөлшек түрінде көрсетеді. Мысалы,
Фибоначчи 1202 жылы жазған "Либер Абаци" кітабында кез келген оң рационалды санның египеттік бөлшек түріндегі көрсетілімі бар, онда әрбір бөлімі практикалық сан болады. Бұл болжамды дәлелдеді.