Парадокс лестницы и сарая в специальной теории относительности

Введение

Мысленный эксперимент в специальной теории относительности. Парадокс лестницы (или парадокс амбара) — это мысленный эксперимент в специальной теории относительности. Он включает в себя лестницу, параллельную земле, движущуюся горизонтально с релятивистской скоростью (близкой к скорости света) и, следовательно, испытывающую сокращение длины Лоренца. Предполагается, что лестница проходит через открытые передние и задние двери гаража или амбара, которые короче её длины в состоянии покоя, поэтому, если бы лестница не двигалась, она не поместилась бы внутри. Для неподвижного наблюдателя, из-за сокращения, движущаяся лестница может полностью поместиться внутри здания, когда она проходит через него. С другой стороны, с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с лестницей, лестница не будет сокращаться, а здание будет сокращено по длине Лоренца до ещё меньшей величины. Следовательно, лестница не сможет поместиться внутри здания, когда она проходит через него. Это создает кажущееся противоречие между реальностями обоих наблюдателей. Этот кажущийся парадокс возникает из-за ошибочного предположения об абсолютной одновременности. Говорят, что лестница помещается в гараж, если оба её конца могут одновременно находиться внутри гаража. Парадокс разрешается, когда учитывается, что в теории относительности одновременность относительна для каждого наблюдателя, что делает ответ на вопрос, помещается ли лестница в гараж, также относительным для каждого из них.

Парадокс

Простейшая формулировка проблемы включает в себя гараж с открытыми передней и задней дверями и лестницу, которая, находясь в состоянии покоя относительно гаража, слишком длинная, чтобы поместиться внутри. Теперь мы перемещаем лестницу с большой горизонтальной скоростью сквозь неподвижный гараж. Из-за этой высокой скорости лестница испытывает релятивистское сокращение длины и становится значительно короче. В результате, когда лестница проходит через гараж, она на некоторое время полностью оказывается внутри него. Мы могли бы, при желании, одновременно закрыть обе двери на короткое время, чтобы продемонстрировать, что лестница помещается. Пока что это непротиворечиво. Кажущийся парадокс возникает, когда мы рассматриваем симметрию ситуации. Поскольку наблюдатель, движущийся вместе с лестницей, движется с постоянной скоростью в инерциальной системе отсчета гаража, этот наблюдатель также находится в инерциальной системе, где, в соответствии с принципом относительности, действуют те же законы физики. С этой точки зрения, неподвижна уже лестница, а гараж движется с большой скоростью. Следовательно, сокращается длина гаража, и мы приходим к выводу, что он слишком мал, чтобы когда-либо полностью вместить лестницу при её прохождении: лестница не помещается, и мы не можем закрыть обе двери по обе стороны от лестницы, не задев её. Это кажущееся противоречие и есть парадокс.

Резолюция

Решение кажущегося парадокса заключается в относительности одновременности: то, что один наблюдатель (например, находящийся рядом с гаражом) считает двумя одновременными событиями, может на самом деле не быть одновременным для другого наблюдателя (например, находящегося рядом с лестницей). Когда мы говорим, что лестница "вмещается" в гараж, мы имеем в виду, что в определенный момент времени положение заднего конца лестницы и положение переднего конца лестницы находились внутри гаража; другими словами, передняя и задняя части лестницы одновременно находились внутри гаража. Поскольку одновременность относительна, два наблюдателя расходятся во мнениях относительно того, вмещается ли лестница. Для наблюдателя рядом с гаражом задний конец лестницы находился в гараже одновременно с передним концом, и поэтому лестница вмещалась; но для наблюдателя рядом с лестницей эти два события не были одновременными, и лестница не вмещалась. Ясно увидеть это можно, рассмотрев двери, которые, в системе отсчета гаража, закрываются на короткий промежуток времени, когда лестница полностью находится внутри. Теперь рассмотрим эти события в системе отсчета лестницы. Первое событие – приближение переднего конца лестницы к выходной двери гаража. Дверь закрывается, а затем снова открывается, чтобы пропустить передний конец лестницы. Позже задний конец лестницы проходит через входную дверь, которая закрывается, а затем открывается. Мы видим, что, поскольку одновременность относительна, обеим дверям не обязательно закрываться одновременно, и лестница не обязана вмещаться в гараж. Ситуацию можно дополнительно проиллюстрировать диаграммой Минковского, представленной ниже. Диаграмма построена в системе покоя гаража. Вертикальная светло-голубая полоса показывает гараж в пространстве-времени, а светло-красная полоса – лестницу в пространстве-времени. Оси x и t соответствуют пространству и времени гаража, а x’ и t’ – пространству и времени лестницы. В системе отсчета гаража лестница в любой конкретный момент времени представлена горизонтальным набором точек, параллельных оси x, в красной полосе. Примером является выделенный синий отрезок, который лежит внутри синей полосы, представляющей гараж, и отображает положение лестницы в момент, когда она полностью находится внутри гаража. В системе отсчета лестницы множества одновременных событий лежат на линиях, параллельных оси x’; поэтому лестница в любой конкретный момент времени представлена сечением такой линии с красной полосой. Примером является выделенный красный отрезок. Мы видим, что такие отрезки никогда полностью не лежат внутри синей полосы; то есть лестница никогда полностью не помещается внутри гаража.

The solution to the apparent paradox lies in the relativity of simultaneity: what one observer (e. g. with the garage) considers to be two simultaneous events may not in fact be simultaneous to another observer (e. g. with the ladder). When we say the ladder "fits" inside the garage, what we mean precisely is that, at some specific time, the position of the back of the ladder and the position of the front of the ladder were both inside the garage; in other words, the front and back of the ladder were inside the garage simultaneously. As simultaneity is relative, then, two observers disagree on whether the ladder fits. To the observer with the garage, the back end of the ladder was in the garage at the same time that the front end of the ladder was, and so the ladder fit; but to the observer with the ladder, these two events were not simultaneous, and the ladder did not fit. A clear way of seeing this is to consider the doors, which, in the frame of the garage, close for the brief period that the ladder is fully inside. We now look at these events in the frame of the ladder. The first event is the front of the ladder approaching the exit door of the garage. The door closes, and then opens again to let the front of the ladder pass through. At a later time, the back of the ladder passes through the entrance door, which closes and then opens. We see that, as simultaneity is relative, the two doors did not need to be shut at the same time, and the ladder did not need to fit inside the garage. The situation can be further illustrated by the Minkowski diagram below. The diagram is in the rest frame of the garage. The vertical light blue band shows the garage in spacetime, and the light red band shows the ladder in spacetime. The x and t axes are the garage space and time axes, respectively, and x and t are the ladder space and time axes, respectively. In the frame of the garage, the ladder at any specific time is represented by a horizontal set of points, parallel to the x axis, in the red band. One example is the bold blue line segment, which lies inside the blue band representing the garage, and which represents the ladder at a time when it is fully inside the garage. In the frame of the ladder, however, sets of simultaneous events lie on lines parallel to the x' axis; the ladder at any specific time is therefore represented by a cross section of such a line with the red band. One such example is the bold red line segment. We see that such line segments never lie fully inside the blue band; that is, the ladder never lies fully inside the garage.

Закрываю лестницу в гараже

В более сложной версии парадокса мы можем физически зафиксировать лестницу, когда она полностью окажется внутри гаража. Это можно сделать, например, не открывая выходную дверь после того, как мы ее закроем. В системе отсчета гаража мы предполагаем, что выходная дверь неподвижна, и поэтому, когда лестница упирается в нее, мы считаем, что она мгновенно останавливается. К этому моменту входная дверь также закрылась, и лестница оказывается запертой внутри гаража. Поскольку ее относительная скорость теперь равна нулю, она не подвержена сокращению длины и теперь длиннее гаража; ей придется согнуться, сломаться или взорваться. Снова, загадка возникает при рассмотрении ситуации с точки зрения системы отсчета лестницы. В вышеприведенном анализе, в собственной системе отсчета, лестница всегда была длиннее гаража. Так как же нам удалось закрыть двери и запереть ее внутри? Стоит отметить здесь общее свойство теории относительности: мы заключили, рассматривая систему отсчета гаража, что лестница действительно оказывается запертой внутри гаража. Следовательно, это должно быть верно в любой системе отсчета – не может быть так, что лестница ломается в одной системе, но не в другой. Исходя из системы отсчета лестницы, мы знаем, что должно быть какое-то объяснение тому, как лестница оказалась в ловушке; нам просто нужно найти это объяснение. Объяснение заключается в том, что, хотя все части лестницы одновременно замедляются до нуля в системе отсчета гаража, поскольку одновременность относительна, соответствующие замедления в системе отсчета лестницы не являются одновременными. Вместо этого каждая часть лестницы замедляется последовательно, от передней части к задней, пока, наконец, задняя часть лестницы не замедлится, к тому времени она уже окажется внутри гаража. Поскольку сокращение длины и замедление времени контролируются преобразованиями Лоренца, парадокс лестницы можно рассматривать как физический аналог парадокса близнецов, в котором один из близнецов покидает Землю, путешествует с высокой скоростью в течение определенного времени и возвращается на Землю немного моложе своего брата-близнеца, оставшегося на Земле. Как и в случае лестницы, запертой в сарае, если ни одна система отсчета не является привилегированной – каждая движется только относительно другой – как может быть, что именно путешествующий близнец, а не стационарный, оказывается моложе (так же, как лестница короче сарая)? В обоих случаях именно ускорение и замедление отличают эти явления: именно близнец, а не Земля (или лестница, а не сарай) испытывает силу замедления при возвращении в инерциальную систему отсчета (временную или физическую, в случае лестницы и сарая).

In a more complicated version of the paradox, we can physically trap the ladder once it is fully inside the garage. This could be done, for instance, by not opening the exit door again after we close it. In the frame of the garage, we assume the exit door is immovable, and so when the ladder hits it, we say that it instantaneously stops. By this time, the entrance door has also closed, and so the ladder is stuck inside the garage. As its relative velocity is now zero, it is not length contracted, and is now longer than the garage; it will have to bend, snap, or explode. Again, the puzzle comes from considering the situation from the frame of the ladder. In the above analysis, in its own frame, the ladder was always longer than the garage. So how did we ever close the doors and trap it inside? It is worth noting here a general feature of relativity: we have deduced, by considering the frame of the garage, that we do indeed trap the ladder inside the garage. This must therefore be true in any frame it cannot be the case that the ladder snaps in one frame but not in another. From the ladder's frame, then, we know that there must be some explanation for how the ladder came to be trapped; we must simply find the explanation. The explanation is that, although all parts of the ladder simultaneously decelerate to zero in the garage's frame, because simultaneity is relative, the corresponding decelerations in the frame of the ladder are not simultaneous. Instead, each part of the ladder decelerates sequentially, from front to back, until finally the back of the ladder decelerates, by which time it is already within the garage. As length contraction and time dilation are both controlled by the Lorentz transformations, the ladder paradox can be seen as a physical correlate of the twin paradox, in which instance one of a set of twins leaves earth, travels at speed for a period, and returns to earth a bit younger than the earthbound twin. As in the case of the ladder trapped inside the barn, if neither frame of reference is privileged — each is moving only relative to the other — how can it be that it's the traveling twin and not the stationary one who is younger (just as it's the ladder rather than the barn which is shorter)? In both instances it is the acceleration deceleration that differentiates the phenomena: it's the twin, not the earth (or the ladder, not the barn) that undergoes the force of deceleration in returning to the temporal (or physical, in the case of the ladder barn) inertial frame.

Парадокс лестницы и передача силы

Что делать, если задняя дверь (дверь, через которую выходит лестница) постоянно закрыта и не открывается? Предположим, дверь настолько прочная, что лестница не проникает сквозь неё при столкновении, и должна остановиться. Тогда, как и в описанном выше сценарии, в системе отсчета гаража существует момент, когда лестница полностью находится внутри гаража (то есть задний конец лестницы находится внутри передней двери), прежде чем она столкнется с задней дверью и остановится. Однако, с точки зрения лестницы, она слишком велика, чтобы поместиться в гараж, поэтому к тому моменту, когда она столкнется с задней дверью и остановится, задний конец лестницы все еще не достигнет передней двери. Это кажется парадоксом. Вопрос в том, пересекает ли задний конец лестницы переднюю дверь или нет? Сложность возникает главным образом из-за предположения о том, что лестница абсолютно жесткая (то есть сохраняет свою форму). В повседневной жизни лестницы кажутся жесткими. Но абсолютная жесткость требует, чтобы она могла передавать силу с бесконечной скоростью (то есть, когда вы толкаете один конец, другой конец должен реагировать мгновенно, иначе лестница деформируется). Это противоречит специальной теории относительности, которая утверждает, что информация не может распространяться быстрее скорости света (которая слишком велика для нас, чтобы заметить в реальной жизни, но важна в данном сценарии с лестницей). Следовательно, объекты не могут быть абсолютно жесткими в рамках специальной теории относительности. В этом случае, к тому моменту, когда передний конец лестницы столкнется с задней дверью, задний конец еще не узнает об этом и продолжит двигаться вперед (и лестница будет "сжиматься"). Как в системе отсчета гаража, так и в инерциальной системе отсчета лестницы, задний конец будет продолжать двигаться в момент столкновения, по крайней мере, до тех пор, пока не достигнет светового конуса столкновения (то есть точки, в которую сила, распространяющаяся назад со скоростью света от точки столкновения, достигнет его). В этот момент лестница будет фактически короче первоначальной длины, и задний конец окажется внутри гаража. Расчеты в обеих системах отсчета покажут, что это так. Что произойдет после того, как сила достигнет заднего конца лестницы (обозначенная как "зеленая" зона на диаграмме), не определено. В зависимости от физических свойств, лестница может сломаться; или, если она достаточно упругая, может согнуться и вернуться к своей первоначальной длине. При достаточно высоких скоростях любой реальный материал взорвется, превратившись в плазму.

What if the back door (the door the ladder exits out of) is closed permanently and does not open? Suppose that the door is so solid that the ladder will not penetrate it when it collides, so it must stop. Then, as in the scenario described above, in the frame of reference of the garage, there is a moment when the ladder is completely within the garage (i. e., the back of the ladder is inside the front door), before it collides with the back door and stops. However, from the frame of reference of the ladder, the ladder is too big to fit in the garage, so by the time it collides with the back door and stops, the back of the ladder still has not reached the front door. This seems to be a paradox. The question is, does the back of the ladder cross the front door or not? The difficulty arises mostly from the assumption that the ladder is rigid (i. e., maintains the same shape). Ladders seem rigid in everyday life. But being completely rigid requires that it can transfer force at infinite speed (i. e., when you push one end the other end must react immediately, otherwise the ladder will deform). This contradicts special relativity, which states that information can travel no faster than the speed of light (which is too fast for us to notice in real life, but is significant in the ladder scenario). So objects cannot be perfectly rigid under special relativity. In this case, by the time the front of the ladder collides with the back door, the back of the ladder does not know it yet, so it keeps moving forwards (and the ladder "compresses"). In both the frame of the garage and the inertial frame of the ladder, the back end keeps moving at the time of the collision, until at least the point where the back of the ladder comes into the light cone of the collision (i. e., a point where force moving backwards at the speed of light from the point of the collision will reach it). At this point the ladder is actually shorter than the original contracted length, so the back end is well inside the garage. Calculations in both frames of reference will show this to be the case. What happens after the force reaches the back of the ladder (the "green" zone in the diagram) is not specified. Depending on the physics, the ladder could break; or, if it were sufficiently elastic, it could bend and re expand to its original length. At sufficiently high speeds, any realistic material would violently explode into a plasma.

Человек впадает в решетку

Эта ранняя версия парадокса была первоначально предложена и решена Вольфгангом Риндлером и включала в себя быстро идущего человека, представленного стержнем, падающего в решетку. Предполагается, что стержень полностью находится над решеткой в системе отсчета решетки перед началом ускорения вниз, которое применяется одновременно и одинаково к каждой точке стержня. С точки зрения решетки, стержень подвергается сокращению длины и помещается в решетку. Однако, с точки зрения стержня, сокращение длины испытывает решетка, из-за чего кажется, что стержень слишком длинный, чтобы упасть. Ускорение стержня вниз, которое является одновременным в системе отсчета решетки, не является одновременным в системе отсчета стержня. В системе отсчета стержня передняя часть стержня сначала ускоряется вниз (показано в ячейке 3 на рисунке), и со временем все большая и большая часть стержня подвергается ускорению вниз, пока, наконец, задняя часть стержня не ускоряется вниз. Это приводит к изгибу стержня в системе отсчета стержня. Поскольку этот изгиб происходит в собственной системе отсчета стержня, это истинная физическая деформация стержня, которая вызовет возникновение напряжений в нем. Чтобы это нежесткое поведение стержня стало заметным, как сам стержень, так и решетка должны быть такого масштаба, чтобы время прохождения было измеримым.

Парадокс "станок и кольцо"

Проблема, очень похожая, но более простая, чем парадокс стержня и решетки, и включающая только инерциальные системы отсчета, – это парадокс «стержень и кольцо» (Ferraro 2007). Парадокс стержня и решетки сложен: он включает неинерциальные системы отсчета, поскольку в один момент человек идет горизонтально, а через мгновение падает вниз; и он предполагает физическую деформацию человека (или сегментированного стержня), поскольку стержень изогнут в одной системе отсчета и прямой – в другой. Эти аспекты проблемы вносят осложнения, связанные с жесткостью стержня, которая имеет тенденцию скрывать истинную природу «парадокса». Парадокс «стержень и кольцо» свободен от этих осложнений: стержень, длина которого лишь немного превышает диаметр кольца, движется вверх и вправо, при этом его длинная ось горизонтальна, а кольцо неподвижно и плоскость кольца также горизонтальна. Если движение стержня таково, что в определенный момент времени центр стержня совпадает с центром кольца, то стержень будет подвержен сокращению Лоренца из-за продольной компоненты его скорости, и он пройдет сквозь кольцо. Парадокс возникает, когда задача рассматривается в системе отсчета, связанной со стержнем. Кольцо теперь движется вниз и влево и будет сокращаться по горизонтальной длине, в то время как стержень не будет сокращаться вовсе. Как же стержень может пройти сквозь кольцо? Разрешение парадокса вновь заключается в относительности одновременности (Ferraro 2007). Длина физического объекта определяется как расстояние между двумя одновременными событиями, происходящими на каждом конце тела, и поскольку одновременность относительна, то и эта длина относительна. Эта изменчивость длины и есть сокращение Лоренца. Аналогично, физический угол определяется как угол, образованный тремя одновременными событиями, и этот угол также является относительной величиной. В рассматриваемом парадоксе, хотя стержень и плоскость кольца параллельны в системе отсчета кольца, они не параллельны в системе отсчета стержня. Несокращенный стержень проходит сквозь сокращенное кольцо Лоренца, потому что плоскость кольца повернута относительно стержня на угол, достаточный для прохождения стержня. В математическом плане преобразование Лоренца можно разложить на произведение пространственного вращения и «собственного» преобразования Лоренца, которое не включает пространственного вращения. Математическое разрешение парадокса стержня и кольца основано на том, что произведение двух собственных преобразований Лоренца (горизонтального и вертикального) может привести к преобразованию Лоренца, которое не является собственным (диагональным), а включает в себя компоненту пространственного вращения.

A problem very similar but simpler than the rod and grate paradox, involving only inertial frames, is the "bar and ring" paradox (Ferraro 2007). The rod and grate paradox is complicated: it involves non inertial frames of reference since at one moment the man is walking horizontally, and a moment later he is falling downward; and it involves a physical deformation of the man (or segmented rod), since the rod is bent in one frame of reference and straight in another. These aspects of the problem introduce complications involving the stiffness of the rod which tends to obscure the real nature of the "paradox". The "bar and ring" paradox is free of these complications: a bar, which is slightly larger in length than the diameter of a ring, is moving upward and to the right with its long axis horizontal, while the ring is stationary and the plane of the ring is also horizontal. If the motion of the bar is such that the center of the bar coincides with the center of the ring at some point in time, then the bar will be Lorentz contracted due to the forward component of its motion, and it will pass through the ring. The paradox occurs when the problem is considered in the rest frame of the bar. The ring is now moving downward and to the left, and will be Lorentz contracted along its horizontal length, while the bar will not be contracted at all. How can the bar pass through the ring? The resolution of the paradox again lies in the relativity of simultaneity (Ferraro 2007). The length of a physical object is defined as the distance between two simultaneous events occurring at each end of the body, and since simultaneity is relative, so is this length. This variability in length is just the Lorentz contraction. Similarly, a physical angle is defined as the angle formed by three simultaneous events, and this angle will also be a relative quantity. In the above paradox, although the rod and the plane of the ring are parallel in the rest frame of the ring, they are not parallel in the rest frame of the rod. The uncontracted rod passes through the Lorentz contracted ring because the plane of the ring is rotated relative to the rod by an amount sufficient to let the rod pass through. In mathematical terms, a Lorentz transformation can be separated into the product of a spatial rotation and a "proper" Lorentz transformation which involves no spatial rotation. The mathematical resolution of the bar and ring paradox is based on the fact that the product of two proper Lorentz transformations (horizontal and vertical) may produce a Lorentz transformation which is not proper (diagonal) but rather includes a spatial rotation component.