Введение

Работа, совершаемая силой при перемещении частицы вдоль виртуального перемещения – основной принцип механики.

В механике виртуальная работа возникает при применении принципа наименьшего действия для изучения сил и движения механической системы. Работа силы, действующей на частицу при её перемещении, различна для разных перемещений. Среди всех возможных перемещений, которые может совершить частица, называемых виртуальными перемещениями, одно минимизирует действие. Следовательно, это и есть перемещение, которое частица совершает в соответствии с принципом наименьшего действия. Работа силы на частицу вдоль виртуального перемещения называется виртуальной работой. Исторически, виртуальная работа и связанное с ней вариационное исчисление были разработаны для анализа систем твёрдых тел, но впоследствии были применены и к изучению механики деформируемых тел.

История

Принцип виртуальной работы всегда использовался в той или иной форме с древности при изучении статики. Его использовали греки, средневековые арабы и латиняне, а также итальянские ученые эпохи Возрождения как «закон рычага». Идея виртуальной работы была задействована многими выдающимися физиками XVII века, такими как Галилей, Декарт, Торричелли, Уоллис и Гюйгенс, в различной степени обобщения при решении задач статики. В 1768 году Лагранж представил принцип виртуальной работы в более эффективной форме, введя обобщенные координаты, и сформулировал его как альтернативный принцип механики, позволяющий решать все задачи равновесия. Систематическое изложение программы Лагранжа по применению этого подхода ко всей механике, как статической, так и динамической, по сути, принцип Д’Аламбера, было дано в его «Аналитической механике» 1788 года. Показано, что эти обобщенные силы также могут быть выражены через отношение производных по времени. То есть, принцип виртуальной работы требует, чтобы виртуальная работа, совершаемая над системой силами Fi и моментами Mj, равнялась нулю, если система находится в равновесии. Следовательно, обобщенные силы Qk равны нулю, то есть

Динамическое равновесие для жестких тел

Если принцип виртуальной работы для приложенных сил применяется к отдельным частицам жесткого тела, то этот принцип можно обобщить для жесткого тела: когда жесткое тело, находящееся в равновесии, испытывает виртуальные согласованные перемещения, полная виртуальная работа всех внешних сил равна нулю; и наоборот, если полная виртуальная работа всех внешних сил, действующих на жесткое тело, равна нулю, то тело находится в равновесии. Если система не находится в статическом равновесии, Д’Аламбер показал, что, вводя члены ускорения из законов Ньютона в виде сил инерции, этот подход можно обобщить для определения динамического равновесия. Результатом является форма принципа виртуальной работы, предложенная Д’Аламбером, которая используется для вывода уравнений движения механической системы жестких тел. Под согласованными перемещениями понимается, что частицы остаются в контакте и перемещаются вместе, так что работа, совершаемая парами сил действия и противодействия между частицами, взаимно уничтожается. Различные формулировки этого принципа приписываются Иоганну (Жану) Бернулли (1667–1748) и Даниэлю Бернулли (1700–1782).

Альтернативные формы

Специализацией принципа виртуальных сил является метод единичной фиктивной силы, который очень полезен для вычисления перемещений в структурных системах. Согласно принципу Д’Аламбера, включение инерционных сил в качестве дополнительных объемных сил позволяет получить уравнение виртуальной работы, применимое к динамическим системам. Более общие принципы могут быть получены путем:

допущения варьирования всех величин; использования множителей Лагранжа для задания граничных условий и/или ослабления ограничений, заданных в двух состояниях. Эти принципы описаны в некоторых источниках. Среди множества энергетических принципов в строительной механике, принцип виртуальной работы занимает особое место благодаря своей универсальности, которая обеспечивает мощные применения в структурном анализе, механике твердого тела и методе конечных элементов в строительной механике.