Введение
Комплексное число, представляющее определенную синусоидальную волну. В физике и технике фазор (образовано от сочетания слов "фазовый вектор") – это комплексное число, представляющее синусоидальную функцию, амплитуда (A) и начальная фаза (θ) которой не изменяются во времени, а угловая частота (ω) фиксирована. Это связано с более общей концепцией, называемой аналитическим представлением, которая раскладывает синусоиду на произведение комплексной константы и множителя, зависящего от времени и частоты. Комплексная константа, зависящая от амплитуды и фазы, известна как фазор или комплексная амплитуда, и (в старых текстах) – синор.
In physics and engineering, a phasor (a portmanteau of phase vector) is a complex number representing a sinusoidal function whose amplitude (A), and initial phase (θ) are time invariant and whose angular frequency (ω) is fixed. It is related to a more general concept called analytic representation, which decomposes a sinusoid into the product of a complex constant and a factor depending on time and frequency. The complex constant, which depends on amplitude and phase, is known as a phasor, or complex amplitude, and (in older texts) sinor
A common application is in the steady state analysis of an electrical network powered by time varying current where all signals are assumed to be sinusoidal with a common frequency. Phasor representation allows the analyst to represent the amplitude and phase of the signal using a single complex number. The only difference in their analytic representations is the complex amplitude (phasor). A linear combination of such functions can be represented as a linear combination of phasors (known as phasor arithmetic or phasor algebra) and the time/frequency dependent factor that they all have in common. The origin of the term phasor rightfully suggests that a (diagrammatic) calculus somewhat similar to that possible for vectors is possible for phasors as well. The originator of the phasor transform was Charles Proteus Steinmetz working at General Electric in the late 19th century. Glossing over some mathematical details, the phasor transform can also be seen as a particular case of the Laplace transform (limited to a single frequency), which, in contrast to phasor representation, can be used to (simultaneously) derive the transient response of an RLC circuit. However, the Laplace transform is mathematically more difficult to apply and the effort may be unjustified if only steady state analysis is required. can represent either the vector or the complex number , according to Euler's formula with , both of which have magnitudes of 1. The angle may be stated in degrees with an implied conversion from degrees to radians. For example would be assumed to be which is the vector or the number
Типичное применение – анализ установившегося режима электрической цепи, питаемой переменным во времени током, где все сигналы считаются синусоидальными с общей частотой. Фазорное представление позволяет аналитику представлять амплитуду и фазу сигнала одним комплексным числом. Единственное различие в их аналитических представлениях – комплексная амплитуда (фазор). Линейную комбинацию таких функций можно представить как линейную комбинацию фазоров (известную как фазорная арифметика или фазорная алгебра) и общий для всех них множитель, зависящий от времени и частоты. Само происхождение термина "фазор" указывает на то, что для фазоров, подобно векторам, возможно (графическое) исчисление. Создателем фазорного преобразования был Чарльз Протеус Штайнмец, работавший в General Electric в конце XIX века. Если не вдаваться в математические детали, фазорное преобразование можно рассматривать как частный случай преобразования Лапласа (ограниченного одной частотой), которое, в отличие от фазорного представления, позволяет (одновременно) получить переходную характеристику RLC-цепи. Однако преобразование Лапласа математически сложнее в применении, и его использование может быть неоправданным, если требуется только анализ установившегося режима. может представлять либо вектор, либо комплексное число согласно формуле Эйлера, оба из которых имеют модуль 1. Угол может быть задан в градусах, подразумевая преобразование из градусов в радианы. Например, будет подразумеваться как , что соответствует вектору или числу .
In physics and engineering, a phasor (a portmanteau of phase vector) is a complex number representing a sinusoidal function whose amplitude (A), and initial phase (θ) are time invariant and whose angular frequency (ω) is fixed. It is related to a more general concept called analytic representation, which decomposes a sinusoid into the product of a complex constant and a factor depending on time and frequency. The complex constant, which depends on amplitude and phase, is known as a phasor, or complex amplitude, and (in older texts) sinor
A common application is in the steady state analysis of an electrical network powered by time varying current where all signals are assumed to be sinusoidal with a common frequency. Phasor representation allows the analyst to represent the amplitude and phase of the signal using a single complex number. The only difference in their analytic representations is the complex amplitude (phasor). A linear combination of such functions can be represented as a linear combination of phasors (known as phasor arithmetic or phasor algebra) and the time/frequency dependent factor that they all have in common. The origin of the term phasor rightfully suggests that a (diagrammatic) calculus somewhat similar to that possible for vectors is possible for phasors as well. The originator of the phasor transform was Charles Proteus Steinmetz working at General Electric in the late 19th century. Glossing over some mathematical details, the phasor transform can also be seen as a particular case of the Laplace transform (limited to a single frequency), which, in contrast to phasor representation, can be used to (simultaneously) derive the transient response of an RLC circuit. However, the Laplace transform is mathematically more difficult to apply and the effort may be unjustified if only steady state analysis is required. can represent either the vector or the complex number , according to Euler's formula with , both of which have magnitudes of 1. The angle may be stated in degrees with an implied conversion from degrees to radians. For example would be assumed to be which is the vector or the number
Умножение на постоянную (скалярную)
Умножение фазора на комплексную константу , производит другой фазор. Это означает, что его единственным эффектом является изменение амплитуды и фазы лежащей в основе синусоиды: в электронике, представляет собой импеданс, который не зависит от времени. Важно отметить, что это не является сокращенной записью для другого фазора. Умножение фазорного тока на импеданс дает фазорное напряжение. Однако произведение двух фазоров (или возведение фазора в квадрат) представляет собой произведение двух синусоид, что является нелинейной операцией, приводящей к появлению новых частотных составляющих. Фазорная нотация применима только к системам с одной частотой, таким как линейная система, возбуждаемая синусоидой.
In electronics, would represent an impedance, which is independent of time. In particular it is not the shorthand notation for another phasor. Multiplying a phasor current by an impedance produces a phasor voltage. But the product of two phasors (or squaring a phasor) would represent the product of two sinusoids, which is a non linear operation that produces new frequency components. Phasor notation can only represent systems with one frequency, such as a linear system stimulated by a sinusoid.
Соотношение фазоров
Величина, называемая комплексным импедансом, является отношением двух фазоров, но сама не является фазором, поскольку не соответствует синусоидально изменяющейся функции.
Законы схемы
С фазорами методы решения цепей постоянного тока могут применяться для решения линейных цепей переменного тока. Закон Ома для резисторов: резистор не имеет временных задержек и, следовательно, не изменяет фазу сигнала, поэтому V = IR остаётся справедливым. Закон Ома для резисторов, индукторов и конденсаторов: V = IZ, где Z – комплексный импеданс. Законы Кирхгофа работают с напряжениями и токами, представленными в виде комплексных фазоров. В цепи переменного тока существует активная мощность (P), представляющая собой среднюю мощность, потребляемую цепью, и реактивная мощность (Q), указывающая на мощность, циркулирующую в цепи. Также можно определить комплексную мощность S = P + jQ и полную мощность, которая является модулем S. Закон мощности для цепи переменного тока, выраженный с использованием фазоров, имеет вид S = VI* (где I* – комплексно сопряжённое значение I, а модули фазоров напряжения V и тока I являются действующими значениями напряжения и тока соответственно). Исходя из этого, методы анализа резистивных цепей с использованием фазоров можно применять для анализа линейных цепей переменного тока с одной частотой, содержащих резисторы, конденсаторы и индукторы. Линейные цепи переменного тока с несколькими частотами и цепи переменного тока с различными формами сигнала могут быть проанализированы для определения напряжений и токов путём разложения всех сигналов на гармонические составляющие (с использованием ряда Фурье) с амплитудой и фазой, а затем анализа каждой частоты отдельно, что допускается принципом суперпозиции. Этот метод решения применим только к синусоидальным входным сигналам и к решениям в установившемся режиме, то есть после затухания всех переходных процессов. Данное понятие часто используется при описании электрического импеданса. В этом случае фазовый угол представляет собой разность фаз между напряжением, приложенным к импедансу, и током, протекающим через него.
Энергетическая инженерия
При анализе трехфазных систем переменного тока обычно набор фазоров определяется как три комплексных кубических корня из единицы, графически изображаемых в виде единичных векторов под углами 0, 120 и 240 градусов. Рассматривая полифазные величины переменного тока как фазоры, можно упростить анализ сбалансированных цепей, а несбалансированные цепи можно представить как алгебраическую комбинацию симметричных составляющих. Такой подход значительно облегчает расчеты падения напряжения, потока мощности и токов короткого замыкания в электрических цепях. В контексте анализа энергосистем фазовый угол обычно задается в градусах, а амплитуда – в действующем (RMS) значении, а не в пиковой амплитуде синусоиды. Технология синхрофазоров использует цифровые приборы для измерения фазоров, представляющих напряжения в сети передачи в различных точках сети. Различия между фазорами указывают на поток мощности и устойчивость системы.
Телекоммуникации: аналоговые модуляции
Образ вращающейся рамки с использованием фазоров может быть мощным инструментом для понимания аналоговых модуляций, таких как амплитудная модуляция (и ее варианты) и частотная модуляция, где выражение в скобках рассматривается как вращающийся вектор в комплексной плоскости. Фазор имеет длину , вращается против часовой стрелки со скоростью оборотов в секунду и в момент времени образует угол с положительной вещественной осью. Тогда форму сигнала можно рассматривать как проекцию этого вектора на вещественную ось. Модулированный сигнал представляется этим фазором (несущей) и двумя дополнительными фазорами (фазорами модуляции). Если модулирующий сигнал является одиночным тоном вида , где – глубина модуляции, а – частота модулирующего сигнала, то для амплитудной модуляции два модулирующих фазора задаются следующим образом:
Эти два модулирующих фазора скомбинированы таким образом, что их векторная сумма всегда находится в фазе с фазором несущей. Альтернативным представлением является два фазора, вращающихся в противоположных направлениях вокруг конца фазора несущей со скоростью относительно фазора несущей. То есть,
Частотная модуляция использует аналогичное представление, за исключением того, что модулирующие фазоры не находятся в фазе с несущей. В этом случае векторная сумма модулирующих фазоров сдвинута на 90° относительно фазы несущей. Строго говоря, представление частотной модуляции требует дополнительных малых фазоров модуляции на частотах и т.д., но для большинства практических целей ими пренебрегают, поскольку их влияние очень мало.