Введение

Положительное целое число вида (2^(2^n)) + 1.

В математике число Ферма, названное в честь Пьера де Ферма, который первым начал их изучать, — это положительное целое число вида: где n — неотрицательное целое число. Первые несколько чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617.

Если 2k + 1 является простым числом и k > 0, то k само по себе должно быть степенью 2, следовательно, 2k + 1 является числом Ферма; такие простые числа называются простыми числами Ферма. По состоянию на 2023 год известны только следующие простые числа Ферма: 3 (F0), 5 (F1), 17 (F2), 257 (F3) и 65537 (F4).

Дополнительные свойства

Ни одно число Ферма нельзя представить в виде разности двух p-х степеней, где p — нечётное простое число. За исключением F0 и F1, последняя цифра числа Ферма равна 7. Сумма обратных величин всех чисел Ферма иррациональна. (Соломон В. Голомб, 1963)

Псевдопримы и числа Ферма

Как и составные числа вида 2p − 1, каждое составное число Ферма является сильным псевдопростым числом по основанию 2. Это происходит потому, что все сильные псевдопростые числа по основанию 2 также являются псевдопростыми числами Ферма, то есть для всех чисел Ферма. В 1904 году Чиполла показал, что произведение по крайней мере двух различных простых или составных чисел Ферма будет псевдопростым числом Ферма по основанию 2 тогда и только тогда, когда.

Отношение к конструктивным многоугольникам

Карл Фридрих Гаус разработал теорию гауссовских периодов в своей работе «Disquisitiones Arithmeticae» и сформулировал достаточное условие для построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Гаусс утверждал, что это условие также необходимо, но так и не опубликовал доказательства. Пьер Вантцель представил полное доказательство необходимости в 1837 году. Результат известен как теорема Гаусса — Вантцеля:

Правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда n является степенью 2 или произведением степени 2 и различных простых чисел Ферма; другими словами, тогда и только тогда, когда n имеет вид 1=n = 2k или 1=n = 2kp1p2…ps, где k и s — неотрицательные целые числа, а pi — различные простые числа Ферма. Положительное целое число n имеет указанный вид тогда и только тогда, когда его функция Эйлера φ(n) является степенью 2.

Обобщенные числа Ферма

Числа вида с a, b любыми взаимно простыми целыми числами, a > b > 0, называются обобщенными числами Ферма. Нечетное простое число p является обобщенным числом Ферма тогда и только тогда, когда p сравнимо с 1 по модулю 4. (Здесь мы рассматриваем только случай n > 0, поэтому не является контрпримером.) Примером вероятного простого числа этой формы является 1215131072 + 242131072 (найденное Келленом Шентоном). По аналогии с обычными числами Ферма, обобщенные числа Ферма вида обычно записываются как Fn(a). В этой нотации, например, число 100 000 001 будет записано как F3(10). В дальнейшем мы ограничимся простыми числами этой формы, такие простые числа называются "простыми числами Ферма с основанием a". Очевидно, эти простые числа существуют только в том случае, если a четно. Если мы требуем n > 0, то четвертая проблема Ландау спрашивает, существует ли бесконечно много обобщенных простых чисел Ферма Fn(a).