Кіріспе
(2^(2^n))+1 түріндегі оң бүтін сан. Математикада Ферма саны, оларды алғаш зерттеген Пьер де Ферманың есімімен аталған, мынадай түріндегі оң бүтін сан болып табылады: мұндағы n – теріс емес бүтін сан. Ферма сандарының алғашқы бірнешеуі: 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617. Егер 2k + 1 жай сан болса және k > 0 болса, онда k өзі 2-нің дәрежесі болуы керек, сондықтан 2k + 1 – Ферма саны; мұндай жай сандар Ферма жай сандары деп аталады. 2023 жылға дейін Ферманың белгілі жалғыз жай сандары: 3 = F0, 5 = F1, 17 = F2, 257 = F3 және 65537 = F4 болып табылады.
In mathematics, a Fermat number, named after Pierre de Fermat, the first known to have studied them, is a positive integer of the form: where n is a non negative integer. The first few Fermat numbers are: 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617,
If 2k + 1 is prime and k > 0, then k itself must be a power of 2, so 2k + 1 is a Fermat number; such primes are called Fermat primes. as of 2023, the only known Fermat primes are 1=F0 = 3, 1=F1 = 5, 1=F2 = 17, 1=F3 = 257, and 1=F4 = 65537 .
Қосымша қасиеттері
Ешбір Ферма саны, p – тақ сан болғанда, екі p-дәрежелі санның айырмасы түрінде жазылмайды. F0 және F1 сандарын есептемегенде, Ферма сандарының соңғы таңбасы 7 болады. Барлық Ферма сандарының кері шамаларының қосындысы иррационал сан болып табылады. (Соломон В. Голомб, 1963)
Псевдопримдер мен Фермат сандары
2p - 1 түріндегі құрама сандар сияқты, әрбір құрама Фермат саны 2-ге негізделген күшті псевдонормалы болып табылады. Бұл себебі 2-ге негізделген барлық күшті псевдопримдер сонымен қатар Фермат псевдопримдері болып табылады – яғни, барлық Фермат сандары үшін. 1904 жылы Чиполла кем дегенде екі әртүрлі жай немесе құрама Фермат сандарының көбейтіндісі 2-ге негізделген Фермат псевдопримі болады, егер және тек егер.
for all Fermat numbers. In 1904, Cipolla showed that the product of at least two distinct prime or composite Fermat numbers will be a Fermat pseudoprime to base 2 if and only if .
Құрылатын көпбұрышқа қатынасы
Карл Фридрих Гаусс өзінің "Disquisitiones Arithmeticae" еңбегінде Гаусс кезеңдерінің теориясын дамытты және дұрыс көпбұрыштарды салуға жеткілікті шартты тұжырымдады. Гаусс бұл шарттың да қажет екенін мәлімдеді, бірақ оның дәлелін жариялаған жоқ. Пьер Вантцель 1837 жылы қажеттіліктің толық дәлелін берді. Бұл нәтиже Гаусс-Вантцель теоремасы деп аталады:
n қабырғалы дұрыс көпбұрыш сызғыш пен циркуль көмегімен салынуы мүмкін, егер және тек қана егер n 2-нің дәрежесі болса немесе 2-нің дәрежесі мен әртүрлі Ферма жай сандарының көбейтіндісі болса: яғни, егер және тек қана n 1=n = 2k немесе 1=n = 2kp1p2…ps түрінде болса, мұнда k, s – теріс емес бүтін сандар, ал p1, p2,… ps – әртүрлі Ферма жай сандары. Оң бүтін сан n жоғарыда көрсетілген түрде болады, егер және тек қана оның Эйлер функциясы φ(n) 2-нің дәрежесіне тең болса.
Жалпыланған Ферма сандары
a және b кез келген өзара жай бүтін сандармен, a > b > 0 түріндегі сандар жалпыланған Фермат сандары деп аталады. Тақ жай сан p, егер және тек қана p саны 1-ге конгруэнтті болса (mod 4), онда ол жалпыланған Фермат саны болады. (Бұл жерде біз тек n > 0 жағдайын қарастырамыз, сондықтан ол кері мысал болып табылмайды.) Осы түрдегі ықтимал жай санның мысалы – 1215131072 + 242131072 (Келлен Шентон тапқан). Қалыпты Фермат сандарымен салыстырғанда, жалпыланған Фермат сандарын Fn(a) түрінде жазу қалыпты. Осы белгілеуде, мысалы, 100,000,001 саны F3(10) деп жазылады. Бұдан әрі біз осы түрдегі жай сандармен ғана шектесеміз, мұндай жай сандар "a негізіндегі Фермат жай сандары" деп аталады. Әрине, бұл жай сандар тек қана a жұп сан болған жағдайда ғана болады. Егер n > 0 болса, онда Ландаудың төртінші мәселесі шексіз көп жалпыланған Фермат жай сандары Fn(a) бар ма деп сұрайды.